книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие

ные напряжения в точке А. Напряжением в точке называе предел отношения элементарной силы к элементарной площ

Величина' вектора К предотавляет собой полное напр жение в точке А рассматриваемого сечения, которое мож быть разложено на составляющие. Проекция вектопа полно напряжения на нормаль называется нормальным напряжением и обозначается через S* , а составляющая, расположенная

вплоскости сечения называется касательным напряжением

иобозначается через 2" (рио.16.1).

Рио.16.1

Полное напряжение определяется по следующей фор­ муле:

Совокупность напряжений (нормальных и касательных), действующих по различным площадкам, проходящим через исследуемую точку, характеризует собой напряженное состояние в данной точке.

Прочность конструкции определяется величинами этих напряжений, поэтому важно уметь находить их значения.

28

Контрольные вопросы

1.Что называется брусом, балкой, пластинкой

иоболочкой?

2.Что называется расчетной схемой?

3.Какие основные задачи решаются в сопротивле­ нии материалов?

4.Какие нагрузки называются равномерно-распреде­ ленными, сосредоточенными и объемными?

5.Какая разница между статической ч динамичеокой нагрузками?

6.В чем выражается связь сопротивления материа­ лов о другими дисциплинами?

7.Какие допущения принимаются в сопротивлении материалов?

8.В чем состоит особенность международной оистемы единиц измерения?

9.Какие виды внутренних усилий возникают в попе­ речном сечении стержня при действии нагруэок на кон­ струкцию?

10.Что называется напряжением в точке?

11.Что называется нормальным и :аоательным напря­ жением и их раэмерность?

12.В чем состоит сущность метода сечений?

13.По каким признакам можно производить класси­ фикацию внешних нагрузок?

29

ГЛАВА П

Растяжение и сжатие призматических стержней

§ 1.2. Продольные и поперечные деформации.

Коэффициент Пуассона

Рассмотрим случай растяжения призматического стержня постоянного сечения (рис.1.2). С этой целью

солютным удлинением стержня. Отношение абсолютного удли­ нения к первоначальной длине стержня называется относи­ тельным удлинением и обозначается буквой Е .

- ^ £ - . £ (1.2) или £ш 100% (2.2)

Из этих формул нетрудно заметить, что в первом сл чае £ будет безразмерной величиной, а во втором - £ выражается в % .

Аналогично можно записать:

30

£ ? - относительное поперечное сужение стержня.

Опытный путем установлена зависимость между отно­ сительными деформациями продольной £ и поперечной

, которая записывается так:

Он характеризует способность материала к поперечным деформациям.

Коэффициент Пуассона предотавляет собой отношение

лах от 0 до 0,5. Значения коэффициента Пуассона для раз­

Целлулоид. . . .0,39

§ 2.2. Напряжения в поперечных сечениях стержня

При растяжении стержня справедлива гипотеза плос ких сечений, т.е. поперечные сечения бруса плоские и нормальные к оси бруса до приложения к нему нагруз остаются такими же плоскими и нормальными к его ос при действии нагрузки.

Чтобы убедиться в справедливости этой гипотезы несем на поверхность призматического стержня сетку, стоящую из линий, параллельных и перпендикулярных к стержня (рис.2.2,а) и приложим к центру тяжести этог стержня растягивающую силу Р.

При действии этой силы поперечные линии сетки таются прямыми и перпендикулярными к оси стержня, х расстояния между ними увеличиваются (рис.2.2, б).

Л

Л

Рис.2.2,а Рис.2.2,б

Это дает основание предположить, что напряжения буду распределяться равномерно по всему поперечному сечени стержня. Исходя из указанного положения, определим н пряжения, действующие в поперечном сечении стержня. С этой целью рассечем стержен по сечению I - I (рис.2.2, и отбросим левую часть. Действие отброшенной части н оставшуюся часть заменяем внутренними нормальными уси лиями, которые будут численно равной растягивающей с Р. Равнодействующая этих сил будет приложена в центр

32

трое выразится следующим соотношением:

Просуммировав усилия с/А/ по всей площадке р поперечного сечения стержня, найдем продольную силу/У, т.е. получим:

f&dF~A/~P (7.2)

Но для однородного и изотропного материала нор­ мальные напряжения во всех точках поперечного сечения будут распределяться равномерно. При этом условии можно в выражения (6.2) величину 6* вынести за знак инте­ грала и получить:

(8.2)

Откуда находим нормальное напряжение:

6"-£~£ (..2)

Формула (9.2) является следствием гипотезы плоских сечений.

Необходимо учесть, что в указанную формулу (9.2) входит величина фактической площади поперечного сече­ ния, которую нужно предварительно определять. Например, при расчете заклепочных соединений определяется факти­ ческая площадь сечения, так называемая площадь Р нетто которая может быть получена из полной площади сечения

33

( f брутто) минус площадь ослабленного сечения

/Г 0Л

( Я)слабл.), т.е. / Г н е т т о = /£~ брутто""" ° '

Вбольшинстве случаев требуется иметь картину ра пределения нормальных напряжений в поперечных сечениях по всей длине стержня. Ее можно получить построением так называемой эпюры нормальных напряжений. Кроме эт го, отроят эпюры продольных сил и вертикальных переме ний всех поперечных сечений стержня. Построения указан ных эпюр по длине стержня будут осуществлены в соот ствующих примерах этой главы.

§3.2. Закон Гука при растяжении и сжатии

Всовременной трактовке закон Гука выражает лине ную зависимость между напряжением и относительной про­ дольной деформацией, т.е.

(10.2)

В этой формуле £ будет являться коэффициентом пропорциональности, называемый модулем продольной упру­ гости или модулем упругости первого рода.

Он изменяется в тех же единицах, что и напряжение т.е. вкГ/сы^ и характеризует упругие свойства материа­ ла, т.е. способность материала сопротивляться деформа­ ции.

Величины модуля упругости определяются опытным путем. В таблице 2.2 приведены средние значения Е для некоторых материалов.

34

Средние значения модуля продольной упругости

Что касается других материалов, то соответствующие значения Е могут быть найдены в справочной литературе

Подставив значения б' и £ в формулу (10.2) получим: Л/=/Г.Дб

Отсюда находим полное удлинение (укорочение)бруса, ко торое он будет иметь в пределах упругих деформаций:

прямопропорционально первоначальной длине и продольной силе и обратнопропррционально жесткости бруса.

В самом деле, чем больше будет произведение ^ f v ^ " , тем меньше (при заданных /V и £ ) будет удлинение нашего бруса.

35

£F' - называется жесткостью бруса при растяжении (сжатии).

Пример 1.2.

Построить эпюры продольных сил и нормальных напря­ жений для ступенчатого стержня (рис.3.2) если дано

Используем метод сечения для определения внутренних сил

Сэтой целью мысленно разрезаем стержень по сечениямI -

и2-2 как изображено на рис.3.2. Идем со свободного (ни него)конца. Рассмотрим условие равновесия отсеченной час ти (ниже сечения I - I )

ts

'HHy^-Oj Nff^~0 откудаД/=/^ 2,0T (растяжение)

Аналогично запишем условие равновесия отсеченной части (ниже сечения 2-2):

yy^Oj -Ns+Z^-f^—O отсюда A/z ~Зт или -А/г +S-2-0

"о найденным значениям строим в выбранном масштабе эпюру продольных сил. Условимся считать положительной продоль­ ную силу, если она растягивает рассматриваемую часть стержня, а сжимающую - отрицательной. Построение указан­ ной эпюры позволит выявить закон изменения продольных по длине стержня.

С этой целью проводим ось ординат эпюры параллельн оси стержня и откладываем в выбранном масштабе получен значения продольных сил. В нашем случае эпюра /И штри­ хуется горизонтальными линиями, так как величины продол ных сил откладываются в горизонтальном направлении, как

36