книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие

но: F,UifCL • Пользуясь формулой (4.4) для нашего случая напишем следующим образом:

Если отарая ось 2 будет проходить через центр тяжести фигуры, то $ 2 = 0 (так как статический момент относительно оси, проходящей через цен-:р тяжести, равен нулю) и поэтому наше выражение примет следующий вид:

Из этой формулы вытекает, что осевой момент ине ц/ч относительно новой оси В1 равен осевому моменту инерции относительно собственной оси фигуры, проходящей через центр тяжести плюс площадь, умноженная на квад расстояния между параллельными осями. Анализ формулы (8.4) показывает, что момент инерции относительно прои вольной оси, не проходящей через центр тяжести, будет больше момента инерции относительно оси, проходящей че рез центр тяжести на величину второго члена уравнен

J ^ ^ o S ^ e F

§ 5.4. Зависимость между центробежными моментами инерции относительно параллельных осей

Допустим, что для сечения произвольной формы (рис 5.4) известен центробежный момент инерции относительно

старых осей

2

Если старые оси ~& и проходят через центр тя-

119

жести, то и будут равны нулю (рис.6.4), то наша формула примет следующий вид:

(ЮЛ)

§ 6.4. Моменты инерции простейших фигур

Как уже отмечалось ранее, при определении момент инерции сложных фигур необходимо ее расчленить на ря простейших фигур (прямоугольник, треугольник, круг). В связи с атим, в наотоящем параграфе дается методика деления моментов инерции простейших фигур относительно осей, проходящих через основания и центры тяжести ук ных фигур.

120

а) Прямоугольник.

Пусть задан прямоугольник высотойI) и шириной € (рис.7*^4).

Пользуясь формулой (4.4) для определения осевого момента инерции, можно записать

Затем определим момент инерции прямоугольника отно­ сительно оси, проходящей через его центр тяжести. Поль­

зуясь формулой перехода осевых моментов инерции относи

Z

тельно параллельных осей (8.4) имеем: ^UzJ F<Z

111

откуда

(12.4)

Формула ( I I . 4 ) служит для определения моментов ине ции прямоугольника относительно оси, проходящей черев ос нование, а формула (12.4) - для определения момента отн сительно оси, проходящей через центр тяжести прямоуголь­ ника.

б) Треугольник.

Пусть имеет треугольник высотой А и шириной £ (рис.8.4).

Рис.8.4

Нужно найти осевые моменты инерции треугольника относи тельно двух параллельных осей Z, и £ 0 , проходящих че­ рез основание и его центр тяжести. С этой целью выде из треугольника параллельными линиями оси JJ, элементар­ ную полоску (заштрихованную на рисунке) о основанием 2

122

деления осевого момента инерции, будем иметь:

Иа подобия треугольников можно записать:

*h

которое подставив в выражение (а), получим: ,

(13 4

Ъгтк - >

Формула 13.4 служит для определения момента инер­ ции треугольника относительно оси, проходящей через его основание.

Найдем осевой момент инерции треугольника, проходя­ щей через его центр тяжести. Для э-ого воспользуемся формулой (8.4) и будем иметь: . j .

в) Круг.

Разобьем площадь круга на элементарные полооки площадью с/Г (рио.9.4). Одна из таких заштрихованных полосок изображена на рисунке, которая будет равна

123

но центробежные моменты инерции круга вследствие симмет рии фигуры будут одинаковы, поэтому формула (7.4) для нашего случая может быть записана так:

Формула 16.4 служит для определения момента инерции круга относительно осей, проходящих через его центр тя

124

жвоти.

Далее определим сначала полярный момент инерции кольца (рис.10.4), а затем найдем осевые моменты инер­

ции его относитель­ но осей, проходящих через центр тяжес­ ти кольца. Приме­ нив формулу (15.4),

имен. у

— Z 7 - ^ 8 - Ш

Обозначим с/= ^

Рис.10.4

Тогда наше выражение перепишем так:

Осевые моменты инерции будут ' авны:

Пример 2.4

Определить ооевые моменты инерции относительно ooettj£ и Ъ сечения, изображенного на рио.П.4.

Тешение Разбиваем сечение на две простейшие фигуры: прямо

угольник (показанный на рис.II.4 под номером I ) и пря­ моугольный треугольник - П.

125

— 2а—

Рис.П.4

В этом случав осевые моменты инерции всего сечения относительно осей ? иJf выражаются следую­ щим равенством:

Следует заметить, что для прямоугольного треуголь

ника используем формулу перехода осевых моментов ине цииОД***;относительно параллельных осей:

Для прямоугольника осевые моменты инерции будут соответственно равны:

Полученные значения поставим в выражение (а) и

126