книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие

6. Какие дифференциальные зависимости вытекают из теоремы Журавского? Какие следствия могут вытекать из этих зависимостей?

7.Что называется эпюрой внутренних силовых фак­

торов?

8.Как можно определить М Н 9 . участке балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой?

9. Что называется участком балки?

10. Укажите правила, которыми нужно руководство­

ваться при построении эпюр Q и Af ?

11. Какие существуют способы проверки построения эпюр и в чем их сущность?

12. В чем состоит особенность метода сложения дей­ ствия сил при построении эпюр Q и М ?

228

ГЛАВА УП

Напряжения при изгибе

§ 1.7, Чистый изгиб. Положение нейтральной линии при изгибе

В главе У1 было отмечено, что при чистом изгибе поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю, причем изгибающи момент будет иметь постоянную величину. В связи с эти рассмотрим деформацию балки, по концам которой приложе­ ны изгибающие моментыМ (рис.1.7).

229

нах с:сатие постепенно уменьшается и в некоторый про жуток времени на определенной высоте переходит в рас жение. Причем растяжение будет возрастать и достигает своего наибольшего значения в крайних нижних волокна Опытным путем установлено, что на границе сжатых и тянутых волокон существует такой слой, волокна которо не испытывают ни растяжения, ни сжатия, т.е. длина кон остается неизменной. Этот слой называется нейтрал ным слоем. ,

Линия пересечения нейтрального слоя с поперечным чением балки называется нейтральной линией или осью. обходимо отметить, что при чистом изгибе приняты сле щие допущения;

1. Плоские поперечные сечения балки, бывшие до д формации плоскими, остаются такими же плоскими после гиба. Это эначает, что эти сечения при изгибе тольк ворачиваются на некоторый угол, оставаясь перпендикуля ными к нейтральному слою. Это допущение называется г тезой плоских сечений.

2.Между продольными волокнами отсутствует взаим­ ное силовое воздействие, т.е. не производят одно на гое бокового давления.

3.Имеет место закон Гука»

4.Материал должен быть однородным и изотропным. Опытным путем также выяснено, что поворот попер

ных сечений при изгибе происходит вокруг нейтральной нии. В связи с этим приведем доказательства о том, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечен и что она является главной осью инерции.

а)Докажем, что нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Для доказательства этого положения вырежем из б ки элемент длиной dx, поперечными сечениями I - I и 2

230

(рис.2.7,а).

Рис.2.7,а

Этот элемент по сечению I - I изображен на рис.2.7,6. Согласно гипотезы плоских сечений при изгибе балки се ние 2-2 повернется на угол d<f , займет положение Z* -

и останется плоским.

#

Если линии I - I и 2 - Z' продлить, то получим точк пересечения (точка 0 на рис.2.7,а) - центр кривизны изог нутой оси балки.

Обозначим расстояние от точки 0 до нейтрального слоя через . Выделим на расстоянии ^ от нейтраль ного слоя волокно, длина которого, как видно из рис будет равна dx+ AdCC

231.

Найдеи относительное удлинение этого волокна по формуле (1,2), т.е.

Но из рисунка можно заметить, что/кУЭГ^о^

Иdx = JDdf

Подставим значения dbc и АО^Съ выражение (а),

Из формулы закона Гука (10.2) следует, что£=££ Или подставив вместо £ его значение в формулу для & , получим:

Тогда наше выражение, исходя из формулы (б), пер

232

:

тогдаинтеграл будет равен нулю, i*Q,iJf?d/ =0-Su.jJL

F

где *^нл ~ статический ыоиент сечения.

Так как статический момент сечения относительно н тральной линии равен нулю, то нейтральная линия прохо через центр тяжести сечения.

б) Докажем, что нейтральная линия является главной осью инерции.

Для доказательства возьмем второе уравнение статик

как

ЗЕМц? О» показано на рис.3.7,г; из рисунка 3.7, следует^ ч т о ( Q j , но 6'= £JL

Рис.3.7,г

233

мент инерции относительно нейтральной оси и оси ^ .

в) Нормальные напряжения при изгибе.

Так как равнодействующая продольных сил, действующ в сечении, равна нулю, то эти силы приводятся к пар момент которой должен быть равен изгибающему моменту т.е. сумма моментов внутренних сил есть изгибающий мо Тогда можно записать так:

(а)

234

нейтральная

линия

Рис.4.7

Подставив значение & из выражения (б) в равенство (а), получим:J&dF£~JB^dF-y^Mz

-кривизна изогнутой оси балки и характеризует в личину деформации при изгибе;

-жесткость балки.

Из формулы (1.7) следует, что кривизна равна изги­ бающему моменту, деленному на жесткость балки.

295

Формула (2.7) служит для определения напряжений в любой точке поперечного сечения балки, где Л/г - изги­ бающий момент относительно нейтральной линии; J - осе­ вой момент инерции относительно нейтральной линии; JL- расстояние от центральной линии до той точки, где опр ляют напряжение.

Анализ этой формулы показывает, что наибольшие нор мальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удале ных от нейтральной оси. На нейтральной линии нормальны напряжения равны нулю. Поэтому эпюра нормальных напряже ний по поперечному сечению будет иметь вид треугольник (рис.5.7).

нейтраль

ось

<2>тах

Рис.5.7

Из этого рисунка нетрудно заметить, что максималь­ ные нормальные напряжения будут в точках наиболее удал ных от нейтральной линии, т.е. когда ty^^f^x. «Тогда формулу (2.7) можно выразить следующим образом:

236

ния при изгибе равен моменту инерции, деленному на рас­ стояние от нейтральной оси до наиболее удаленного волок на.

Тогда расчетное уравнение на прочность при изгибе можно записать в следующем виде:

Mi

Из этой формулы следует, что условие прочности бал­ ки будет обеспечено в том случае, когда наибольшее рас­ тягивающее (или сжимающее) напряженке при изгибе в опас­ ном сечении (где по абсолютной величине достигает наи­ большего значения) не будет превышать соответствующего допускаемого напряжения.

Чтобы вычислить по формуле (5.7) наибольшее нормаль­ ное напряжение необходимо уметь определять моменты сопро­ тивления широко распространенных поперечных сечений.

а) прямоугольник (рис.6.7).

прямоугольник Для вычисления момента сопротивления поперечного

сечения прямоугольника ис­ пользуем формулу (4.7), согласно которой будем иметь:

В_

Рис.6.7

237