книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие

Рис.4.5

1. Сечения бывшие до деформации плоскими и перпен­ дикулярными к оси стержня остаются такими же плоскими перпендикулярными к ней и после деформации, т.е. после закручивания.

2.Образующие стержня превращаются в винтовые лини т.е. происходит сдвиг частиц и в поперечных сечениях в никают касательные напряжения.

3.Углы поворота сечения тем больше, чем дальше с чение отстоит от места закрепления.

4.Радиусы поперечных сечений не искривляются и со раняют свою длину.

5.Принимается закон Гука, т.е. соблюдается прямая пропорциональность между крутящим моментом и утлом за­ кручивания в пределах упругих деформаций.

§5.5. Напряжения при кручении,круглого стержня. Расчетное уравнение на прочность

Для определения напряжений, действующих по сечения перпендикулярно к оси стержня воспользуемся методом сеч

148

ний. С этой целью вырежем из круглого стержня элемен длиной обе и нарисуем его в большом масштабе (рис.5.

Рис.5.5,а

Допустим, что вследствие кручения концы этого элемента повернулись на малый угол d'f .

Условимся, что передний конец этого элемента непо жен, как изображено на рис.5.5,а, а задний - повернулся на угол d f так, что радиус 01 занял новое положение 02. Угол с/У будем называть углом закручивания на дл не dec , Вследствие этого, образующая I - I займет ново положение 2-1 и повернется против своего прежнего поло жения на угол У , который будем называть углом сдв

Определим зависимость между углом сдвига и углом закручивания, Из рисунка 5,5,а нетрудно заметить:

•f-Z т {fdoc , но о другой стороны имеем:

,ГЛ j f

Приравнивая ати выражения, получим:

Пользуясь формулой закона Гука при сдвиге (3.5),

149

Из последнего уравнения (8.5) следует, что величина касательных напряжений, возникающих в любой точке попе­ речного сечения пропорционально радиусу_у° , т.е. рас­ стоянию от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки.

Для нахождения этих напряжений возьмем любую точку поперечного сечения (изображенной на рис.5.5,б), отстоя­

щей от центра круга на рас­

соответственно равен:

Рис.5.5,б

Считая площадку c/F бесконечно малой, можно опре­ делить сумму моментов всех сил,как определенный интегра распространенный по всей площади сечения, т.е.:

А/, Составив условие равновесия для данного сечения относи­ тельно оси OOi , имеем:

Из этой формулы следует, что крутящий момент есть сумма внутренних сил, действующих в плоскости сечения.

150

Подставив в формулу (9.5) значение 2" из уравне­ ния (8.5), получим:

Формула (10.5) служит для определения относительного угла закручивания (т.е. угол закручивания на единицу дли ны вала).

Подставив формулу (10.5) в уравнение (8.5) получим:

(П.5)

Формула(П.5) дает возможность определить касатель­ ные напряжения в любой точке поперечного сечения.Поль­ зуясь этой формулой, нетрудно установить, что наибольшие касательные напряжения будут возникать на поверхности круглого стержня, т.е. когда ^ Z ,

При эхом условии наша формула ( I I . 5 ) перепишется в оледующем виде:

Выясним картину распределения каоательных напряже­ ний по поперечному сечению круглого стержня, т.е. по­ строим эпюру этих напряжений по рассматриваемому сече­ нию (рис.б.5). Из этого рисунка видно, что при кручении касательные напряжения распределяются в поперечном се­ чении вала по линейному закону, возрастая ох центра к

151

его наружной поверхности, где достигает максимального значения, т.е.

, у/о (13.5), где И/£> - момент сопротив­ -3? = ИЛ

ления при кручении (или полярный момент сопротивления

Полярный момент со­ противления при круче­ нии равен полярному моменту инерции, де­ ленному на расстояние от центра круга до наиболее удаленной точки.

Рис.6.5

В этом случае формула (12.5) запишется так:

Z

Наибольшее касательное напряжение в опасном сече­ нии (т.е. в точках контура его поперечного сечения) будет равно:

в

торое при статической нагрузке принимают равным /Т/

-=[0,5 + 0,$£б)>] .

152

Формула (15.5) является расчетным уравнением на прочность при кручении.

Чтобы пользоваться этой формулой необходимо уметь определять полярный момент сопротивления поперечного с чения стержня.

Для круглого поперечного сечения получаем:

(16.5),

где

Для кольцевого сечения (рис.7.5) имеем:

(17.5),

3 этой формуле (17.5) полярной момент сопротивле­ ния кольцевого сечения не равен разности полярных моментов сопротивления, вычисленных для двух сплош­ ных сечений: одного о диа­ метром, соответствующему величине наружного диамет­ ра кольца, а второго - внутреннему.

Рис.7.5

153

§ 6.5. Деформации при кручении круглого стержня. Потенциальная энергия при кручении

Мерой деформации стержня при кручении является угол закручивания. Он характеризует угол взаимного пов рота двух сечений, расположенных друг от друга на оп деленном расстоянии £ .

Элементарный угол закручивания o f может быть опр делен из формулы (10.5), т.е.:

Полный угол закручивания стержня на участке длино ^ , где крутящий и полярный моменты инерции имеют

стоянные значения, будет соответственно равен:

Из формулы (17.5) вытекает, что угол закручивания прямопропорционален крутящему моменту и длине учаотка обратнопропорционален жесткости поперечного сечения ма­ териала ( G-Jjo ) . Для случая, когда крутящий момент момент инерции) будет непрерывно меняться по длине ст ня, полный угол закручивания определится интегралом, т.

Х

У= / Мк'<* (19.5)

Если на стержень действует несколько крутящих мо­ ментов, то полный угол закручивания произвольного сече равен алгебраической сумме полных углов закручивания н участке от этого сечения до яеподвижного сечения, т.

154

- крутящий момент на участке, значение которого берем из эпюры крутящих моментов.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины носит название относительного угла закручивания, кото­ рый равен:

(21.5)

Чтобы обеспечить необходимую жесткость вала нужно, чтобы максимальное значение этого угла закручивания не превосходило допускаемого, т.е.

(22.5)

Эта формула является расчетным уравнением на жеот кость при кручении.

При закручивании стержня в нем накапливается поте циальная энергия. Определим величину чтой энергии. Для этого рассмотрим круглый стержень (в дальнейшем будем называть его валом), закрепленный одним концом, а к св бодному концу которого приложим скручивающий момент. Вследствие этого вал будет постепенно закручиваться по действием указанного момента на угол *Р .

Если будем откладывать на оси ординат значения крутящих моментов - Мк. , а на оси абсцисс - ]Р (рис.8.5), то эта зависимость изобразится наклонной ли­

155

Рис.8.5

Если снимем со стержня нагрузку (крутящий момент;, то под действием внутренних сил стержень возвратится первоначальное состояние. При этом стержнем будет совер шена работа за счет накопленной потенциальной энергии. Подставляя вместо ^ его значение из формулы (17.5) в выражение (а) и, зная, что U' — /7 получим:

ич^г-Ъ^-щ:~ ~гЩ (2з.5)

Если по всей длине стержня изменяются значения - Мк. или жесткость поперечного сечения стержня, то эт формула перепишется так:

Miic/X

(24.5)

156

§7.5. Связь между крутящим моментом, мощностью

ичислом оборотов,передаваемых валом

Винженерной практике, как правило, задается не значение скручивающего момента, а мощность, передавае­ мая валом. Это связано с тем, что возникает необходи­ мость в определении числа оборотов этого вала в мину Поэтому необходимо выяснить зависимость крутящего мо­ мента от мощности, передаваемой валом.

Если мощность задана в лошадиных силах, то в пер воде на килограммометры она разна 75 кгм ( т.к. I л.с. « 75 кгм). Угловая скорость lO~ ёЖИ. , поэтому подставив соответствующие значения в выражение (а), на

157