книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие

Пример 8.2

Втрехетержневой системе, выполненной из одного

итого же материала и с одинаковыми поперечными сече ниями, допущена неточность в изготовлении среднего стержня, он выполнен с отклонением на некоторую длину (Г короче, чем предусмотрено проектом (рис.20.2).

Решение

Из рисунка (20.2) нетрудно заметить, что для сое­ динения конца CQ с боковыми стержнями необходимо вытя нуть средний стержень на длину S . Вследствие этого, боковые стержни ( I и 3) получают сжимающие силы, а упруго вытянутый средний стержень (2) будет стремиться укоротиться до первоначальной длины. В этом случае уз С переместится в положение Cj . Если из точки Cj опусти перпендикуляр на боковой стержень, то отрезок С«Я буд представлять укорочение бокового стержня от действую­ щей по нему сжимающей силы.

Отрезок C0Cj будет характеризовать удлинение сред­ него стержня. Из рисунка (20,2,а) можно заметить, что

где С С- ^

Обозначим силу, растягивающую средний стержень через //г . а силы, сжимающие боковые отержни ( I и через /Уз , как изображено на рис. 20.2,6, тогда можно записать следующие соотношениям

78

Приняв это во внимание, выражение ( I ) можно за вать в следующей виде:

Вэто выражение входят две неизвестные величины

и. Чтобы найти указанные величины необходим составить уравнение статики, которое получим из уол вия равновесия узла Cj- (рис.20.2,б), т.е.:

Из 3-го уравнения находим, что Л/^ =• 2Л/$ C&So( Последнее подставим в выражение ( 2 ) . Получим:

79

+

PF £FEcH^ —££ ВРс^Г

Откуда находим значение растягивающей силы в боковом стержне, т.е.

Деля выражение (4 и 5) на F , находим значения начальных напряжений, возникающих в среднем и боковых стержнях: ~

Контрольные вопросы

1. Что называется абсолютным и относительным удли­ нением?

2.Как записывается аакон Гуна при растяжении?

3.Что называется коэффициентом Пуассона?

80

ГЛАВА Ш

Основы теории сложного напряженного состояния. Определение напряжений и деформаций

§ 1.3. Виды напряженных состояний

Существуют три вида напряженных состояний:

1)линейное

2)плоское

3)объемное

Чтобы выяснить точность конструкции необходимо уметь пределять величины наибольших нормальных и каса­ тельных напряжений, которые возникают под действием на грузки. В этом случае нужно исследовать законы распре­ деления эти:' напряжений в различных сечениях (площад­ ках) тела.

Из теории упругости известно, что при любом напр женном состоянии тела через каждую точку можно провес три взаимноперпендикуляркые главные площадки (в кото­ рых отсутствуют касательные напряжения). Главными площадками называются такие взаимно-перпендикулярные Еощадки, по которым действуют наибольшие и наименьшие нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю. Нормальные напряжения, действующие по этим пло­ щадкам, называются главными напряжениями. Условно глав­ ные напряжения обозначают буквами 6^ , 6*г , 6^ , причал 6^ будет овначать наибольшее по алгебраичес­ кой величине, а 6 ^ - наименьшее напряжение. Отрица­ тельными величинами будем считать сжимающие напряжения, а положительными - растягивающие напряжения.

Как ухе отмечалось ране различают три вида на­ пряженных состояний:

I ) Линейное напряженное состояние, при котором

82

одно из главных напряжений не равно нулю, а два д равны нулю, как изображено на рис.1.3 (а,б,в).

линейное

В этой случае имеет место растяжение (сжатие) в одном направлении.

Рио.1.3,в

2) Плоокое напряженное состояние характеризуетоя тем, что одно ив главных напряжений (например 63 ) разно нулю, а два других - не равны нулю ( 1,3,г). Имеет меото случай растяжения (вжатия) по двум взаи перпендикулярным направлениям.

3) Объемное напряженное состояние, при котором

83

6^ ) не рамы три главных напряжения ( 6*^ , 6 ^ ,

нулю (рнс.1.3,д) и будем иметь случая растяжения (сжа

тия) по трем взаимно-перпендикулярным напряжениям.

плоское ,

б2

гно.1.3,г

o&eiiHOQ 62

6V

Рис.1,? д

84

§ 2.8. Вычисление напряжений в наклонных площадках при осевом действии силы

Винженерной практике встречаются случаи, при ко­ торых нужно определять напряжения по наклонным сечени

Вначале рассмотрим растянутый стержень по сечению ГП-П, перпендикулярному к его оси (рис.2.3,а)

tit

\

У р

\ •

\

\

Рис.2.3,а

Пользуясь методом сечений мысленно разрезаем стер­ жень по оечению/77-/7 и отбрасываем правую часть, дейст­ вие отброшенной части заменяем силами, передающимися на оставшуюся часть. РавнодеРотвуюцая этих внутренних оил будет // (рис.2.3,6) равная cue Р, направлена по оси стержня в противоположную сторону внешней силе Р.

/77.

N

л

Рис.2.3,6

Вычислим напряжения в площадке т-О , наклонен­ ном под углом oi к поперечному сечению Л?-г? (рис.

85

2.3,в).

С этой целью отбросим верхнюю (правую) часть стер ня и заменим действие отброшенной части, равнодействую

внутренних сил А/ , Разложим эту силу на две составл

щие Л«: » перпендикулярную к плоскости наклонного се­ чения, и Ты .лежащую в этой плоскости.

Из рис.2.3,в нетрудно заметить, что:

Приняв эхо во внимание, можно написать оледующую формулу:

Аналогично запишем:

u С

u Foe *У *°1F Z (2.3)

86

Анализ зтих уравнений указывает, что в наклонных площадках при растяжении и сжатии возникают как норм ные, так и касательные напряжения.

Исоледуем указанные уравнения. При Ы « 0° имеем max

При ©С» 90° имеем AU'-7

Из уравнения (2.3) оледует, что наиоольшее каса­ тельное напряжение по абсолютной величине может быть лучено в площадках, наклоненных под углом 4 5 ° , т.е.

Зная, что уравнение (3.2) справедливо при любых углах, подставим в нее вмеохо оС уч>л (90° + оС ),

тогда получим:

Сравнивая пооледний результат с уравнением (2.3), находим, что

(5.3) - теорема парности касатель­ ных напряжений, которая

формулируется так:

касательные напряжения, действующие в двух взаимн перпендикулярных площадках, равны между собой по абсо лютной величине, но противоположны по знаку. Они мог быть направлены к линии пересечения этих площадок, л от нее (рис.3.3, а, б).

Теперь выясним знаки нормальных и касательных на пряжений, действующих по наклонной площадке, т.е.

87