книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие
.pdfПодставив в это соотношение числовые значения, получим:
7Хс |
+Уус |
= /</Л*,*>-+ Ы0,36 |
3J &QOSсм Y |
Ju |
+ fa |
= / Л 9, Л + Mf, 03 |
£Z А ОО9 см " |
Как известно, центробежный момент инерции отно сительно глазных центральных осей инерции Ц и &~ должен быть равен нулю. Подставим числовые значения формулу (20.4), получим:
%, = Ъф*Ьп&(+ Уху!
Контрольные вопросы
1. Какие известны моменты инерции и для каких це лей они служат?
2.Чему равен статический момент относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры?
3.Какая связь существует между полярным и ооевы ми моментами инерции?
4.Как выражается зависимость между осевыми момен тами инерции относительно параллельных осей?
5.Чему равен момент инерции прямоугольника, отно
сительно оси, проходящей через его основание?
6.Чему равен момент инерции треугольника, круга, кольца и прямоугольника относительно осей, проходящих через центр тяжести этих фигур?
7.Как выражается зависимость между центробежными моментами инерции относительно параллельных осей?
138
8.Какая существует зависимость между осевыми мо ментами инерции относительно двух взаимно-перпендикуляр ных осей при повороте их на любой угол?
9.Чему равен центробежный момент инерции относи тельно новых осей, повернутых на любой угол?
10.Какие оси инерции называются главными централь ными осями инерции?
11. Как записывается формула для определения угла наклона главных осей инерции?
12.Чему равен центробежный момент инерции относи тельно главных осей инерции?
139
ГЛАВА У
Сдвиг и кручение
§ 1.5. Понятие о чистом сдвиге
Чистым сдвигом называется такой случай плоского напряженного состояния, при котором по двум взаимноперпендикулярным площадкам действуют одни лишь касатель ные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю.
Явление чистого сдвига бывает не всегда, а тольк лишь при определенных условиях.
Рассмотрим эти условия.
По условию чистого сдвига нормальные напряжения должны быть равны нулю, поэтому можно записать следу
щее соотношение: 6* |
* |
|
|
|
|
|
|
или |
= |
|
5 |
где |
= |
U |
= |
|
&м4зс ' |
|
^->» |
<%3^х |
|
^ 3U. |
|
Формула (1.5) выражает условия чистого сдвига. Следовательно, чистый сдвиг возникает в том случае, п котором на двух взаимно-перпендикулярных площадаахгНормальные напряжения равные между собой,но противоположны по знаку.
Напряженное состояние чистого сдвига можно предст вить в том случае, если из рассматриваемого параллеле пипида, изображенного на рис.1.5 выделить новый, грани которого наклонены под углом 45° к граням первого па лелепипеда, при этом условии он будет находиться под действием лишь касательных напряжений.
Следовательно, исходный параллелепипед будет на ходиться в состоянии чистого сдЕига.
140
j G/r>isi=~&/r?ax
Рис.I.5
Докажем, что при чистом сдзиге максимальные каса тельные напряжения будут равны главным нормальным напр жениям. С этой целью воспользуемся формулой (15.3).
Для нашего случая эту формулу (учтя, что 7?-0 на гранях внешнего параллелепипеда) перепишем так:
Итак &ыа-Х (2.5). Эта формула выра жает, что максимальные касательные напряжения по абсо лютной величине численно равны абсолютной величине но
141
мальных напряжений, действующих на грани внешнего па раллелепипеда.
§ 2.5. Закон Гуна при сдвиге. Понятие о модуле сд
Напряженное состояние чистого сдвига можно также изобразить в виде элементарного параллелепипеда, боковы грани которого совмещены с площадками сдвига и по н дейстзуют лишь касательные напряжения (рис.2.5,а).
Для определенности будем считать, что грань 1-4 н подвижна, как изображено на рис.2.5,б.
Г
г |
^77777777777777777 |
|
|
Рис.2.5,а |
Рис.2.5,б |
При чистом сдвиге длина ребер рассматриваемого п раллелепипеда не изменяется, а происходит изменение ли прямого угла между гранями. В этом случае прямые уг рестают быть прямыми. Это изменение прямого угла наз
ется относительным сдвигом или углов сдвига и обозна
s
ся буквой Q \
к) Относительный сдвиг есть отношение абсолютного сд га к расстоянию между гранями параллелепипеда и - вен -ЫУ ,но в виду малости деформаций принимаю
142
Как видно из рисунка (2.5,6) при чистом сдвиге ка дая из граней параллелепипеда смещаются по своему напр лению на величину A S называемую абсолютным сдвигом.
Он измеряется в метрах, a Y |
~ в |
радианах. |
|
Опытным путем установлено, что между касательным на |
|||
пряжением 1? и углом сдвига |
существует |
пропор |
|
циональная зависимость, которая записывается в следую щем виде:
которая выражает закон Гука при сдвиге, где Q- - коэффициент пропорциональности, называемый модулем сдви га или модулем упругости второго рода.
Он является физической постоянной для данного мате риала, т.е. характеризует способность материала сопротив
ляться упругим деформациям при сдвиге и измеряется в
2 2
кГ/см, т/м и т.д.
Вначале определим выражение потенциальной энергии при чистом сдвиге. Если грани кубика со стороной равн единице будем ориентировать по глазным площадкам, то м но применить формулу ( /V.3) для плоского напряженного состояния, к которому относится чистый сдвиг. Полагая
б£=0 получим:
г^
Теперь вычислим потенциальную энергию кубика. С этой целью вырежем кубик по площадкам сдвига и вычисл работу касательных напряжений. Для простоты допустим, чт грань 1-4 неподвижна (рис.2.5,б).
В этом случае работу совершат только касательные напряжения, действующие по грани 2-3, что вызовет смеще
10-1256 |
143 |
их по своему направлению.
Тогда потенциальная энергия кубика будет равна:
U - -^Tf^T (а). Подставляем значение }f из
закона Гука (3.5), получим:
2.
Формула (5.5) служит для определения удельной по тенциальной энергии при чистом сдвиге.
§3.5. Зависимость между модулями упругости первого
Еи второго рода Q-
Пусть р осматриваемый параллелепипед находится в с стоянии чистого сдвига (рис.3.5). Если закрепим грань
го параллелепипеда не подвижно (на рисунке указана грань ) , то под действием ка сательных напряжений грань ВС сдвинется параллельно неподвиж ной грани /7ID на величину^^ = СС/ (называемый абсолют ным сдвигом). При этом прямые углы прев ратятся в острые или тупые, изменившись на величину ^
14-4
Из нашего рисунка нетрудно заметить, что при сдв ге произойдет абсолютное удлинение диагонали й С , равное отрезку С^/С
Найдем относительное удлинение этой диагонали по
формуле: |
|
|
|
"2" |
ЯК - ~яс |
|
( I ) , |
где А£=С,/С |
И £=/7С=#К |
. |
|
При этом изменением угла пренебрегаем, |
поскольку имеем |
||
дело лишь с упругими деформациями и поатому этот уго
весьма мал.
Из треугольника СС^К (рис.3.5) имеем:
CiK^CCjCrtVS* |
(а) |
|
но из треугольника СЯ)С/ видно, что |
СС/~^^^^^^ |
|
Подставим значение CCj |
в выражение (а), будем иметь: |
|
Заметим, что из треугольника /?С*Х) |
следует: |
|
Теперь полученные значения подставим в выражение ( I ) и получим:
ЙС ~ С?> Z С6.5)
Из этой формулы видно, что относительное удлинени диагонали в два pasa меньше относительного сдвига.
С другой стороны относительное удлинение диагонали, вызванное действием главных напряжений ( &/tiaj( —fc^o-r
145
для случая чистого сдвига запиается так:
ко |
так как £ — |
.тогда |
frt^'lT |
Из |
закона Гука при сдвиго следует^мах— Gr<f |
||
Поэтому выражение (б) перепишется так:
Тогда:
|
|
|
|
|
|
|
|
с 7 - 5 ) |
|
|
Как видно из этой формулы численная зависимость |
||||||||||
между G~ |
и Е |
|
будет определяться величиной yU- для |
|||||||
данного мг~ериала. |
|
|
|
|
|
|||||
Так для стали 3, если у<У |
будет равно 0,25, то |
|||||||||
по формуле |
(7.5) |
следует: |
|
|
|
|
||||
П= |
|
|
^ |
|
^ |
£- = QV£ |
|
|||
В таблице 1.5 |
приведены средние значения модуля |
|||||||||
упругости П рода |
для наиболее распространенных ма |
|||||||||
териалов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.5 |
|
|
Наименование: |
|
|
|
? |
|
Наименование: ^ |
~ |
|||
материала |
: |
Q- кГ/смй |
материала : Сх кГ/см^ |
|||||||
Углеродистые |
|
|
|
с |
|
Чугун |
4,5-Ю |
5 |
|
|
стали |
|
8,1'Кг |
|
|
|
|
|
|||
Легированные |
|
|
|
с |
|
Алюминий.... 2,6'Ю |
5 |
|
||
стали |
|
8,1'Кг |
|
|
|
|
|
|||
Медь |
4«Ю |
5 |
*4,9«10 |
5 |
Дерево вдоль |
|
с |
|||
|
|
|
|
|
|
|
волокон |
0,055'Ю5 |
|
|
146
§4.5. Кручение круглых стержней
При эксплуатации технологического оборудования пи щевых производств (закаточно-укупорочные машины; авто маты для розлива пищевых жидкостей, машины для изгот ления шоколадных изделий и др.) приходится встречаться о явлением деформации кручения некоторых деталей этих шин: валов, пружин и т.д.
Кручением называется такой вид деформации, при ко тором в поперечных сечениях стержня (вала) возникает лишь один внутренний силовой фактор - крутящий момент т.е. если внутренние усилия приводятся к паре сил. Эт момент будем обозначать буквой М% .
Следует подчеркнуть, что возникновение внутренних крутящих моментов Мк происходит под действием внешни моментов, которые передаются на вал в зонах посадки неге зубчатых колес, шкивов и т.д.
Кручение будет происходить при действии на вал них пар сил, лежащих в плоскости перпендикулярной к е осИс Будем называть в дальнейшем моменты этих внешни пар окручивающими. Чтобы познакомиться с явлением круч ния представим круглый стержень, заделанный с одного конца, а к свободному концу его приложен внешний скр вающий момент (рис.4.5). Как видно из этого рисунка вследствие ваделки левого конца этот стержень будет чиваться. Если на поверхность вала предварительно нан сем сетки линий, параллельных и перпендикулярных к ег оои, то в результате закручивания этого вала будет п исходить деформация указанной сетки, т.е. образующие принимают вид винтовой линии, а окружности останутся кими же неискаженными как и до закручивания.
В основу расчета круглых стержней при кручении п ложены следующие основные допущения:
IV?