книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие

нормальных напряжений будет иметь соответствующее зна­

б) случай растяжения по двум взаимно-перпендикуляр ным направлениям, когда нормальные напряжения б£= 6^-= а 6^ = 0. Тогда применяя формулу (15Гз), определим оо

ответетвующие удлинения:

§ б.З. Относительное изменение объема

определим изменение объема элементарного кубика с длиной ребер равной единице для того случая, когда о растягивается по трем взаимно-перпендикулярным направле

После деформации (длина ребер его удлиняется) объем кубика будет соответственно равен:

98

6 2

1

I

{сн

//

icti

Рис.II.3

Пренебрегая произведениями малых относительных де­ формаций (величинами второго и порядка малости), получим

Тогда относительное изменение объема будет равно:

Формула (17.3) выражает относительное изменение объема, которое будет равно сумме относительных удлине­ ний.

Если в эту формулу подставим значения относительных удлинений из формулы (l5*.3), то получим:

(18.3)

99

Эта формула служит для определения относительного изменения объема, выраженного через напряжения.

Исследуем это выражение $&3$, Если бы в предельном случае объем кубика не ив

нился, то относительное изменение объема равнялось бы нулю, т.е.:

Л- ° -

§7.3. Потенциальная энергия при объемном напряжен­

ном состоянии

Выделим из напряженного тела элементарный кубик о длиной ребер, равной единице и грани которого совмеще о главными площадками (рис.12.3).

Потенциальная энергия при растяжении (сжатии) опре делается формулой (17.2), т.е. РАсцпр.

а удельная потенциальная энергия (работа в единице об ма) будет выражаться формулой (18.2): (Х^Л.

Для кубика, испытывающего объемное напряженное со­ стояние, удельная потенциальная энергия будет равна:

100

Рис.12.3

Если подставим в указанное уравнение (а) значения S1 , £j_ и £ 3 , выраженные через напряжения, то полу­ чим формулу удельной потенциальной энергии в следующем

виде:

Л^^&%УУ$Ь*ЬЪ«ХЩ СШ.8)

§8.3. Расчет тонкостенных сосудов

Впищевой промышленности часто приходится встречать­ ся с тонкостенными сосудами (аппараты для шампанизации так называемые акратафоры, паровые котлы и т.д.). Тонк стенными сосудами называются сосуды, у которых толщина стенки мала по сравнению с поперечными размерами сосуд

101

При эхом толщину стонок принимают постоянной в продол ных и поперечных сечениях этого сосуда.

Толщина стенки сосуда определится в зависимости от критерия:

JT)

го сосуда под действием внешних сил, распределяются по ее толщине равномерно. Учитывая, что наибольшее рас­ пространение имеют сферические и цилиндрические сосуд то в этом разделе рассмотрим методику расчета этих с судов, находящихся под действием внутреннего давления.

Вначале рассмотрим сферический сосуд с радиусом

х

£ ) толщиной стенки сР , содержащий газ под давле­ нием Р(рис.13.3). При этом будем считать, что действие равномерно-распределенного внутреннего (или внешнего) давления Р во всех точках стенки сосуда направлено нормали к его поверхности.

Требуется определить напряжения в стенке этого сосуда.

Пользуясь методом сечений мысленно разрезаем сфе­ ру диаметральной плоскостью (сеч.1-1 рис.13.3,6) и от-

х

) Под Ъ понимается расстояние от центра до сере­ дины толщины стенки.

102

Действие отброшенной нижней части на оставшуюся чаоть верхнее полушарие заменяем внутренними растягивающими силами, равномерно распределенными по толщине стенки. Обозначим через в* напряжения, действующие по плоскости сечения I - I , а через / / - равнодействующую пряжений, действующих по толщине стенки в плоскости се чения I - I , Она будет равна произведению этих напряж ний на площадь поверхности сечения, т.е.Л/= 6"-2ЖЪО ру_- равнодействующая всех внутренних сил, действующих на внутреннюю поверхность сосуда и будет равна произ дению Р на площадь круговой поверхности, т.е^=^^2

Составляем условия равновесия между внешними и вну ренними силами, проектируя все силы на о о ь .

будвм иие1Ь!

_ е.&гг<Р+pJTL*-~ о

откуда находим:

Формула (1-1.3) показывает, что нормальное напряже ние в стенке сферического сосуда везде одинаково и п порционально внутреннему давлению и радиусу сферы и об ратно пропорционально толщине стенки.

В том случае, когда сферический сосуд будет нахо­ диться под внешним давлением (давлением извне), то в его стенке возникнут сжимающие напряжения той же вели ны как предусмотрено формулой ( 2 i . 3 ) ,

Теперь рассмотрим цилиндрический сосуд с радиусом <&и толщиной стенки <? , закрытого по концам днищами

104

любой формы, содержащего газ под давлением р . Тре­ буется определить напряжения в стенке этого сосуда*

Используя метод сечений, мысленно разрежем сосуд

сматриваемой круговой поверхности,

т.е. р) =pJTZz

Соотавим условия равновеоия оставшейся части цилин pa спроектировав внешние и внутренние силы на ооь J

получим:

Ъ.У^О или Ыу-Й,

Подставим значения /Уу и в наше выражение,

получим: <0ЛЖгЯ~р1ГЪ!1'-=О

105

ртсюда инеем:

нальное напряжение. Оно направлено вдоль образующей и стремится разрушить сосуд по окружности.

Затем выделим часть цилиндра длиной £, мери­ диональной плоскостью и двумя оечениями CLCL и С-С, перпендикулярными к оси цилиндра (рис.14.3,6).

Исходя из вызеуказанных рассуждений, составим условия рав­ новесия:

2Ж=Оили

—равнодействующая давлений Р.

Рис.14.3,6

106

Додставляя значения /Vx и в наше выражение,будем

Откуда

Анализ формул (22.3 и 3.3) показывает, что в ци­ линдрическом сосуде окружное нормальное напряжение

6^ в два раза больше меридиального напряжения ву . Пример 3.3

Цилиндрический резервуар со сферическими днищами (акратафор для шампанизации вин) имеет наружный диа­ метр 2>н= 1350 мм, а внутренний jD&* 1300 мм (рис.

15.3,а). По мере брожения давление в аппарате увели­ чивается. Конечное давление в аппарате составляет

Решение

На рис.15.3,6 показана расчетная схема акратофора. При переходе от конструктивной схемы к расчетной герметически закрываемый люк с горловиной в верхней части резервуара заменен сферичес.сой поверхностью.

Нетрудно заметить, что на прямоугольный элемент, вырезанный из цилиндрической стенки двумя смежными об­

Составим отношение, пользуясь формулой (20.3),

107