книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие

акратофор как тонкостенный цилиндр. Толщина стенки ц

линдра будет равна:

Здесь р - внутреннее избыточное давление, которое

109

Подставим деловые значения в соответствующие формулы, получим: gj) Щ/.{30

Контрольные вопросы

1. Какое напряженное состояние называется линей­ ным, плоским и объемным?

2.Какие площадки называются главными?

3.Какие напражения называются главными и как он определяются?

4.Как вычисляются напряжения в наклонных площад­ ках растянутого упругого тела?

5.В чем сущность теоремы парности касательных н пряжений?

6.Как вычисляются напряжения в наклонных площад­ ках при плоском напряженном состоянии упругого тела?

7.В чем выражается сущность обобщенного закона Гука при объемном напряженном состоянии тела?

8.Как определяется относительное изменение объема

ипотенциальная энергия при объемном напряженном со­ стоянии?

9.Какие сосуды называются тонкостенными и как вычисляются напряжения в стенках сферического и цилин рического сосудов, находящихся под внутренним давле­ нием?

НО

ГЛАВА 1У

Геометрические характеристики плоских сечений

§ 1.4. Введение

Выяснено, что в поперечных сечениях стержня при осевом растяжении (сжатии) возникают нормальные на­ пряжения (равномерно распределенные), которые равны отношению продольной силы к площадке поперечного сече­ ния. При этом установлено, что прочность и жесткость стержней зависит от площади поперечных сечений этих стержней. Следовательно, площадь будет являться геомет­ рической характеристикой поперечного сечения.

Однако, при вычислении напряжений при изгибе,кру­ чении и т.п. (когда имеется неравномерное распределе­ ние напряжений по сечению стержня) приходится встре­ чаться с различными геометрическими характеристиками.

Так, прочность стержней при изгибе будет зависеть не только от размеров, но и от формы сечения.

Винженерных расчетах часто приходится иметь дело

сгеометрическими характеристиками сложных сечений. В этом случае сложное сечение разбивают на ряд простей­ ших фигур и используют формулы, определяющие зависи­ мость между геометрическими характеристиками относи­ тельно различных осей.

Геометрические характеристики простейших фигур определяются по нижеприведенным формулам. С этой целью рассматриваются в соответствующих параграфах данной главы особенности статических моментов и моментов инерции сечений, а также определенные зависимости меж­ ду геометрическими характеристиками относительно раз­ личных осей.

8-1256

I I I

§ 2 Л . Понятия о статических моментах оечения

Предотавим поперечное сечение бруса (рис.1.4) связанное с системой координат а? и У и рас­ смотрим два следующих интеграла

где S £ - статический момент сечения относительно оси 2 ; статический момент сечения относительно

ОСИ \£ .

112

Из этой формулы следует, что каждый из интегра­ лов будет представлять собой сумму произведений элеме тарных площадок dF на расстояние до некоторой оси ( 2? или W ) . Они могут быть положительной или от-

выражаться в см", м" и т.д.

Еоли отождествить площадь с силой, то можно раооматривать элементарную площадку как силу, а расстояни ее от оои как плечо силы. Тогда используя теорему менте равнодействующей, известную из теоретической ме­ ханики, можно написать:

Исходя из этого выражения координаты центра тяжео ти любой фигуры будут определяться по следующей фор­ муле:

центра тяжести фигуры.

Если обратиться снова к рисунку 1.4 и допустить, что оси и z£ будут проходить через центр тяжести всей фигуры, то из формулы (2.4) следует, что статиче кий момент сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести будет равен нулю (так как в наше чае координаты центра тяжести будут равны нулю, т.е.

ИЗ

Пример 1.4

Найти положение центра тяжести таврового сечени изображенного на рис.2.4.

5см

Рис.2.4

Решение

Разбиваем тавровое сечение на два прямоугольник (нижний, прямоугольник с площадью / > в ^ " ^ в *fCAfi и верхний прямоугольник с площадью Fz = S~Z = /Ос**).

Центры тяжести этих прямоугольников Cj и С2 пок заны на рис.2.4.

Проведем случайную ось i i и вычислим статичес-

114

кие моменты в отдельности.

Как видно из рисунка, статический момент 1-го п моугольника (нижнего) найдется как произведение его п щадки на расстояние от оси 27 до его собственного центра тяжести, равное 2 см, т.е. получим:

Аналогично определяем статический момент инерции второго (верхнего)прямоугольника:

Вычисляем статический момент всей фигуры относи­ тельно 2.J » который будет равен

Заметим, что полная площадь сечения будет соотве ственно равна:

Пользуясь формулой (3.4), находим центр тяжести таврового сечения, т.е.:

Так как значение ^ с положительно, то откладываем ее величину вверх от оси j? r и находим положение це ра тяжести С указанного сечения как показано на ри 2.4.

§ 3.4. Моменты инерции сечений

Осевым (или экваториальным) моментом инерции фигу­ ры относительно некоторой оси называется выражение вида:

115

где Пг и осевые моменты инерции относительн ответствующих осей 2- и у .

Осевые моменты инерции выражаются в см\ м^ и т.д. Они всегда положительны.

Центробежным моментом инерции фигуры называется выражение вида:

Полярный момент инерции берется относительно осей, пересекающихся в полюсе (точка 0 ) . Докажем, что полярн

116

момент инерции фигуры связан с осевыми моментами ин ции определенным соотношением. Из рисунка 3.4 мокко

Из формулы (7.4) вытекает, что сумма осевых мом тов инреции фигуры относительно двух взаимно перпенд кулярных осей равно полярному моменту инерции этой гуры относительно точки пересечения указанных осей.

§ 4.4. Зависимость между осевыми моментами инерции относительно параллельных осей

Представим, что дана плоская фигура и пусть из тен ее момент инерцииJ относительно старой оси £ (рио.4^4)

Рис.4.4

117