При этом считаем, что в окрестности точки М х соответствующие
частные производные = Ьг и — ■= Ь2 постоянные.
Если САР постоянства параметра К настроена таким образом, чтобы поддерживать качество процесса, соответствующее точке М lt постоянным, т. е. Кі — const, то она должна изменить технологи ческий режим так, чтобы он характеризовался не точкой М 2, а точкой М 2, в которой
Рис. 63. Диаграмма регулирования качества сепарации |
|
|
Величина |
|
|
|
|
|
|
|
(IV.165) |
|
A/G = h кт2+ b2Att>2. |
|
|
Подставляя значения Д /G и ДА і из выражений |
(IV. 165) |
и |
(IV. 162) в |
зависимость |
(IV. 164), |
получаем |
|
|
(IV. 166) |
|
Ь\ t^tn2 ~h b2 До)2 — b2 A(ûi. |
|
|
Обозначив A(Ö2 — AMI = |
ôco, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
Jî5L = |
_ |
А . = |
tg а. |
|
|
(IV. 167) |
|
Дт2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
Из функции качества процесса сепарации |
К = |
/ {щ, |
w) |
на |
рис. 62, б |
следует, что |
-А. = |
Ьх < |
0, а А - |
= |
б2 > 0, |
значит |
|
|
t g a |
= |
— |
А > 0 . |
|
|
|
(IV. 168) |
|
|
|
|
|
^2 |
|
|
|
|
|
|
Если рассечь поверхность К = / {tn< ®) на Рис62, б горизон |
тальными |
плоскостями |
К = Къ |
К = К 2, • ••> |
К — Кп> |
гДе |
Аі > /Са > |
> |
то |
проекции |
кривых |
пересечения |
на |
плоскости тОсо будут иметь вид, показанный на рис. 63, б. Пря мая пп, проведенная через точку М х под углом а, является каса тельной к соответствующей кривой п^п-у, вдоль которой соблю дается постоянство качества К процесса сепарации. Регулятор
постоянства параметра К настраивается для следования вдоль касательной пп к кривой п 1п 1 под углом а или под другим углом, близким к а.
Диаграммы на рис. 62 и 63 позволяют провести подробный анализ различных процессов регулирования качества с учетом
свойств |
продукта, тяговой способности |
передач и |
двигателя, |
а также |
с учетом выбранного значения |
топт для |
конкретных |
условий |
уборки и возможных ограничений. |
|
Рассмотрим статические характеристики датчиков такой САР постоянства параметра К (рис. 64). Сопоставим параметр К с дру-
Рис. 64. Схема динамической системы комбайна с регулятором качества
гим фиксируемым в САР параметром А, например статическим давлением. Пусть изменение давления ДА, в системе будет пропор ционально Д/С:
где с0 — коэффициент пропорциональности.
Изменение данного параметра А определим из выражения
ДА = сх Ат + с2х, |
(IV. 170) |
где Сц с2 — коэффициенты статических характеристик датчиков,
замеряющих соответственно |
изменение подачи Ат |
и отклонение угловой скорости молотильного бара |
бана X — Дм. |
|
(IV. 169) и (IV. 170) получим |
На основании выражений |
|
|
= |
|
Ат + ^~х. |
(IV.171) |
|
|
|
|
|
С0 |
|
Сопоставляя |
выражения |
(IV. 160) |
и (IV. 171), имеем |
Ci |
1 |
Со |
1 |
Сл |
Со |
|
t |
= bl’ |
- i = |
b* H t |
= t |
= = C o U J l H |
- Т - = - у - = ^ а - |
(ІѴЛ72> |
Соотношение (IV. 172) позволяет выбрать правильные статиче ские характеристики датчиков (сх и с2) САР на основании име ющихся величин Ьх и Ь2 из функции качества (IV. 160).
Покажем, что данный астатический регулятор параметра К или Л, будет статическим относительно параметра тх. Передаточ
ная функция |
(р) параметра АХ от F (t) в замкнутой САР ка |
чества (см. рис. 64) будет |
|
|
|
|
фі ІР) = 1+ IF, (p)Wu(p) ’ |
(IV, 173) |
где |
Wi (р) = |
kje-^p {сг + е - х°рсг lkxWxx (р) + |
kuWxu (р) 1} |
с уче |
том, |
что fx — kx Атхе~х*Р\ fu = ku Атхе~х*р. |
|
коор |
Принимая |
во внимание малое влияние величины fu на |
динату X, полагаем с сохранением общности |
выводов |
|
buWxu(P) с%е~х*Ръ 0.
Тогда
Wj (р) kxtr*'P [сх + e~x*pkxWxx (р) с2];
Wи {р) = Wpet (р) Wу Аівар (р) С,
где Wрег (р) = |
k{pfp----- |
передаточная функция астатического |
регулятора;
С— коэффициент при выводе уравнения (IV.54).
Подставляя значения величин W\ {p) и Wn (р) в зависимость (IV. 173), получаем
Ф / N |
____________ kxé ~ XlP [сх + е~~ХгР kxWxx (р) с2]____________ |
1 |
1+ Ѵ ~ ТіР [сх + e - x>pkxWxx (р) с2] Wpee(p)WyMeap(p) С ' |
|
(IV. 174) |
Рассмотрим отклонение регулируемого параметра АХ при уста новившемся режиме, т. е. при р = 0. Как видно из зависимости (IV. 174), Фх (0) = 0 при астатическом регуляторе. Таким образом, АХ —>0 при р — 0. Так как из схемы на рис. 64 величина
АХ ^ [сх + e~x*pkxWxx (р) с2] AmT, |
(IV. 175) |
то АХ — 0 при р —>0 означает возможность двух условий:
АЛ, — 0, так |
как Атх —*0 при р = 0; |
|
АЛ, — 0, так как |
[сх + e~x*pkxWxx (р) с21 = 0 |
(IV. 176) |
|
|
при Атх ф 0 и р —>0.
Второе условие выполняется вдоль линии пп (см. рис. 63, а).
|
^Г = — e~ t2P‘M ^ ( p ) |p^o== — kxkxx = — tga, • |
(IV. 177) |
|
^2 |
|
|
|
|
|
|
где |
k x x — коэффициент усиления, получаемый |
из передаточной |
Из |
функции |
Wxx (р) |
при |
р — 0. |
|
|
соотношения |
(IV. 177) |
имеем |
|
|
|
|
|
kxx = - |
^ . |
|
(IV. 178) |
Выражение |
(IV. 178) означает, |
что если из |
условия |
функции |
качества tg a = |
const, то при повышении коэффициента k x в связи |
с изменением физико-механических свойств обмолачиваемого продукта величина k xx должна быть уменьшена, т. е. падение угловой скорости на единицу приложенной нагрузки должно быть меньше. Это возможно при ужесточении (усилении) тяговых характеристик передач и приводного двигателя.
Выражение (IV. 178) связывает функцию качества tg a, коэффи
|
циент усиления k xx и физико-механические свойства |
продукта k x |
|
в одно |
целое. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем теперь передаточную функцию Ф2 (р) изменения по |
|
дачи |
Атх от F (t) в данной |
замкнутой САР (ск. рис. 64). |
|
|
|
|
|
( Р ) |
= |
Ѵ І (Р) |
|
|
|
(IV. 179) |
|
|
|
|
|
l + w[(p)Wu (p) ’ |
|
|
где |
W\ (р) |
= &ів-ТіР; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W b (р) ~ [ci + |
e ~ ^ k xWxx(p) c2] Wpez (p) Wy A i eap (p)C. |
|
Подставляя значения величин, W{ (p) и W'u (p) в выражение |
|
(IV. 179), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фг(Р) = |
|
|
k^e |
XlP |
|
|
|
|
ІСі + |
е - Х‘Р*Х1Рхх |
(P) |
C.1 WPee(p) Wy \ ieap( p ) C ' |
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV. 180) |
|
Если в установившемся режиме при |
ДА, —>0 и р —* 0 соблю |
|
дается |
второе условие (IV. 176), то |
в |
знаменателе |
выражения |
|
(IV. 180) |
при р = 0 возникает неопределенность вида |
|
|
|
|
Cl + |
e - x>pkx Wx x (p)c. |
|
|
|
0_ |
(IV. 181) |
|
|
|
|
|
Я (Р ) Р |
р ->о |
0 ■ |
|
|
|
|
|
|
|
Эту |
неопределенность |
раскрываем |
по |
правилу Лопиталя: |
|
ІІГП |
Cj-f-e XlpkxWx x ( p )c 2 |
|
- jß - fci + |
e |
X*pkxWxx (p) |
c2]- |
|
|
|
|
|
|
|
= М. |
|
р->о |
|
R (P) P |
|
|
|
|
|
|
|
|
р-»о
(IV. 182)
|
Д1 = — |
k x k xxCjt (т і |
О-хх) |
( j y |
jg g ^ |
|
|
Т3 |
|
|
|
где ахх— коэффициент в передаточной функции |
Wxx (р). |
при |
Функцию Ф2 (0) с учетом выражений (IV. 182) |
и (IV. 183) |
WyAieap (0) = — kyi |
запишем |
так: |
|
|
|
ФА 0) = |
________ _____________ |
(IV. 184) |
|
k i k p esk x k xxc2 (T J |
а хХ) k y i C |
|
|
—T,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании выражения |
(IV. 184) статическая |
ошибка |
à.tncm |
для |
координаты пгх |
при соблюдении |
X = const |
будет |
|
|
|
^ mcrn — |
______________F cm______________________ |
|
(IV. 185) |
|
|
k l kpeakx kx x C2 ( T 1 + |
a x x ) |
ky i C |
|
|
|
|
|
|
|
где |
Fcm — lim F (t) — статическое или |
установившееся |
значение |
|
t -» |
со |
внешнего возмущения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, данная астатическая система обеспечивает |
выходную координату X (или К) с нулевой статической ошибкой, |
а координату тх в общем случае с ненулевой, т. е. |
Дпгст ф 0 |
при |
АХ —* 0. |
Если в |
выражениях (IV. 174) |
и (IV. 180) |
принять |
с2 = |
0 или, |
ввиду |
малости, |
kxWxx (р) с2 |
0, то САР |
будет |
астатической для обоих параметров X и тх. Следовательно, регу лятор постоянства подачи является частным случаем регулятора качества технологического процесса, например, в условиях юга
СССР или при небольших подачах хлебной массы.
Г л а в а V. |
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА |
|
КОМБАЙНА |
Динамическая точность поддержания кинематического режима рабочих органов комбайна и динамическая точность технологиче ского процесса, выполняемого машиной, являются в первом при ближении функцией разности Ат между заданной топт и факти ческой секундной подачей хлебной массы в каждый данный мо мент времени т (t):
Ат = топт— т (t),
Динамическая точность в системе комбайна с автоматическим регулятором постоянства подачи хлебной массы, обеспечива ющим Ат —>0, будет, очевидно, выше, чем без регулятора. Объек тивный анализ динамической точности, однако, возможен только при статистическом изучении возмущающих воздействий, явля ющихся случайными функциями времени и имеющих непрерывный спектр частот со от 0 до оо. Динамическая система комбайна должна иметь наилучшие характеристики в наиболее вероятных условиях работы, которые должны быть изучены. Применяемый в данной работе анализ динамики системы при действии на нее стационар ных случайных внешних возмущений является важным дополне нием к анализу динамики системы при действии заданных внешних возмущений. Этот анализ разработан в ряде работ [9, 32, 20, 28 ] на основе спектральной теории случайных процессов, предложен ной А. Я- Хинчиным.
Стационарный случайный (стохастический) процесс, удовлетво ряющий условиям эргодичности, может быть изучен на любой из многих одинаковых динамических систем.
Для стационарного случайного процесса х (t) математическое ожидание т 0 постоянно и равно среднему по совокупности или по
времени: |
со |
Т |
|
|
|
m0= |
J |
xw (х) dx = jx{t)dt = |
const, |
(V.l) |
|
|
— со |
— 7* |
|
|
где |
X — значение функции; |
|
пределах |
|
w (x) — вероятность нахождения величиных в |
|
хч-(х + |
dx); |
|
|
|
2Т — интервал времени, в котором изучается функция x (t). |
Для центрированной функции х (t), т. е. при т 0 — 0, авто корреляционную функцию R (т), являющуюся математическим ожиданием произведения значений случайной функции для двух моментов времени tx и t2, находим из выражения
г |
|
R{r) = - ~ j x(t)x(t ^ x ) d t, |
(V.2) |
—г |
|
где т = ii — t 2.
Вывод выражения для определения функции R (т) дан В. В. Со-
лодовниковым |
[32]: |
|
|
|
|
|
В Д |
= Я(рД) = дгЦ - |
£ лсѵ*ѵ+ц. |
(Ѵ.З) |
|
|
ІѴ |
Г |
V = 1 |
|
где N — число |
выбранных точек |
на |
кривой х (/); |
|
р = (здесь А — шаг интегрирования в сек);
V — выбранная точка; ѵ = 1, 2, . . N — р. Нормированная автокорреляционная функция
Нормированная автокорреляционная функция для изменения подачи хлебной массы Am (t) — х (/) в общем случае имеет вид
|
|
г (т) = |
£ |
1т 1cos А,гт 4 - |
£ |
1т 1, |
(V.4) |
|
Л |
|
Л |
і=і |
|
(=і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где £ Л ,- |- |
S Bt = |
1; |
|
|
|
|
t= î |
|
/—1 |
|
|
|
|
|
|
a, |
À, у — постоянные величины. |
|
|
|
|
Функции вида (V.4) получены при анализе данных лабораторно |
полевых |
испытаний |
комбайнов. |
|
|
|
функции |
Отметим |
основные свойства автокорреляционной |
R (г). |
Для |
стационарного случайного |
процесса | |
(т) (т-х» = О |
I R (т) |х->0— х2, где X 2 — дисперсия данной функции. Спектраль |
ная плотность S (со), используемая далее при |
анализе |
динамики |
комбайна, определяется как преобразование Фурье |
для |
корреля |
ционной |
функции |
R (т): |
|
|
|
|
|
|
5 («) = |
СОJ |
R (т) е~Шх dx = 2 Jсо |
R (т) cos шт dr. |
(V.5) ' |
|
|
|
— со |
О |
|
|
|
|
Косинус— преобразование для величины 5 (ю) представляет собой корреляционную функцию R (т):
со
R.(т) = — J S (со) cos то» da>,
о
при т = О |
1 |
со |
|
/ ? ( 0 ) = 4 | S (со)d(ù = X2- |
(V.6) |
о |
|
Таким образом, площадь, ограниченная кривой S (со) и осью о, |
пропорциональна дисперсии х 2 случайной величины x |
{t). |
Найдем корреляционную функцию Rx (t) и спектральную плот |
ность Sx (со) выходной координаты х (t) при действии |
возмуще |
ния т (t) для линейной динамической системы с импульсной пере ходной функцией k (f) и передаточной функцией W (р).
Для этого найдем сначала переходный процесс на выходе си
стемы согласно интегралу |
Дюамеля: |
|
|
со |
|
X (0 = |
j т (t — I) k (I) dl, |
(V.7) |
тогда
|
СО |
СО |
I |
Rx(т) = |
lim f dl |
( dr\k (ц) k (X) I~ |
|
Ьсо Jco |
J œ |
( гІ |
После |
преобразований |
|
т
J m (t -f- т — т])tri {t -—
—T
(V.8)
Rx (T ) = соJ dl соJ k (r)) k (l) Rm (T + l — t)) dï).
Если 5 (о) = J Rx (т) е~Шх dx, то
—CO |
|
S* (со) = I W (m) I2 Sm (со). |
(V.9) |
Следовательно, спектральная плотность Sx (ю) выходного сигнала х (t) равна произведению квадрата модуля функции W (ш) на спектральную плотность Sm(co) внешнего возмущения m (t).
§ 18. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ КОМБАЙНА С ЛИНЕЙНОЙ САР ПОСТОЯНСТВА ПОДАЧИ ХЛЕБНОЙ МАССЫ
В общем случае динамическая система комбайна находится под действием нескольких стационарных случайных воздействий fx, fu, fy и т. д. (см. рис. 60, а и б).
Рассмотрим изменения выходной координаты х (t) — угловой скорости молотильного барабана под действием величин fx и На основании интегральной свертки (интеграла Дюамеля) имеем
00 |
со |
X (і) = J kxm (t — l ) k (l) dl + |
j kum (t — l) l (l) dl, (V.10) |
где k (X) и / (Л) — импульсные переходные функции для коорди наты X, соответствующие воздействиям 'fx и fu,
со
|
|
|
|
*(Ь) = - ^ |
J Wxx(m )e ^d t- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J Wxu(гео) еШ (ко. |
|
|
|
При |
этом |
воздействие |
на |
молотильный |
барабан |
fx (t) = |
= т (i) |
kx, а воздействие на вал |
контрпривода fu (t) = |
т (t) ku. |
Найдем автокорреляционную |
функцию |
Rx (т) |
для |
процесса |
X (t), |
пользуясь выражением |
(Ѵ.2) [32]. Подставляя в выраже |
ние |
(Ѵ.2) |
значение х |
(t) из формулы (V.10), |
получаем |
|
Rx (г) = |
|
|
I |
UL? |
|
|
|
UJ |
|
|
lim |
j |
dt J kxm (t + |
т — ц) k (т]) dr] |
j |
kxm (t — À) X |
|
|
Т-+ со 2Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
CO |
|
|
CO |
|
|
|
|
X k(k)dX |
J |
dt J |
kum (t + |
T — г]) l (T]) dr\ j |
kum (t — X) l (X) dX |
|
|
|
—T |
— CO |
|
|
— CO |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
+ |
f |
dt f |
kxm (t -]- T — rj) k (r)) dr] f kum (t — X) l (À) dX -j- |
(V.ll)
Отсюда с учетом зависимостей (V.7) и (V.8) имеем
Rx (т) = |
j |
dX j [k {X) klRm (T + X— T)) k (r|) + |
|
— со |
— CO |
|
-f kl l (Я) Rm (т + |
X— T]) / (rj) + / (X) Rm(т + X — t]) k (TJ) kukx -f |
■f k {X) Rm(T + к — л)1(л) kuK] dr], |
(V. 12) |
Умножая обе части выражения (V. 12) иа-е~Шх и интегрируя по т от —оо до оо, получаем выражение для спектральной плот ности Sx (ю) выходного сигнала:
|
Sx (“ ) = I WX X (tco) I2 Sm (м) kl + I |
Wxu (ко) |2 S,n (Oj) kl -f |
+ |
w xx’ (/0)> Sm(®) Wxu (m) kxku + WX X (ko) Sm(со)W*xu (tco) kxku, (V. 13) |
где |
S m (со) — преобразование Фурье для корреляционной функ |
|
ции Rm (т), выполняемое по формуле (V.5); |
|
W (со) — передаточные функции |
[см. выражение (IV.21)]. |
Аналогичным образом получаем выражение для спектральной плотности S u (со) выходной координаты и — угловой скорости вала контрпривода:
Su (со) - I Wuu (ICO) I2 Sm(со) kl + I Wux(ICO) j2Sm(со) kl +
+ W*uu(ico) Sm (со) Wux (tco) kukx + Wàu (tco) Sm(со)W*ux (too) kukx. (V. 14)#
Рассмотрим |
в |
выражении |
для |
Sx (со) |
функции |
W*xx (tco), |
Wxx (ico), |
Wxu (tco) |
и |
*W*XU(с®). |
При |
|
Wxx (tco) |
== a + iß |
W*xx (ico) = a — iß; |
|
при |
Wxa (ico) = |
y + |
iô |
(tco) = y — iô. |
Рассмотрим выражения (см. рис. 65, ô): |
|
|
|
Wxl (ico) = |
W*xx (ico) Wxu(ico) + Wxx (tco) W*xu (tco), |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ 1 |
(ico) = |
(a — tß) (y + |
iô) + |
(a + |
iß) (y — iô) = |
|
|
|
|
|
|
= 2 (ay + |
ßö). |
|
|
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wut (ico) = wlu (ico) |
(ico) + |
Wuu (ico) ÏF L (ico) = 2 (ay* + ß ö'). |
При |
Wuu (ico) = |
|
a* + |
iß |
(ico) =ce |
— iß ; |
|
при Wux (ico) |
= |
y' + |
iô |
(ico) = |
y |
— iô • |
|
После преобразований спектральные плотности Sx (со) и S u (со) |
выходных координат х и и будут |
|
|
|
|
|
Sx (со) = |
Sm(со) |
[| Wхх (ico) I kx -j- ] Wхи (ico) I |
ku |
2kxku(ccy -j- ßö)], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V.15) |
Su (CO) = Sm (со) [| Wuu (ico) I2kl + i Wux (ico) I2 kl + 2kxku (aV + ß'ö')].
(V. 16)
При работе комбайна СК-4 с автоматическим регулятором постоянства подачи хлебной массы в молотилку (см. рис. 60, б) спектральная плотность
Sm (со) = SM(со) \ Ф (ico) I2, |
(V. 17) |
где SM(со) — спектральная плотность входного сигнала, дей ствующего на вход САР постоянства подачи, определяемая неравномерностью урожайности на поле и подачи хлебной массы в молотилку;
] Ф (tco) I — амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы автоматического регулирования постоян ства подачи хлебной массы для координаты Атх.
