![](/user_photo/_userpic.png)
книги из ГПНТБ / Алферов, С. А. Динамика зерноуборочного комбайна
.pdf2 |
7 |
W , (P) = П W j (P ); |
W u (P ) = П W } (P ). |
/=1 |
/=3 |
После подстановки значений Wj (p) в выражения для опреде ления W} (р) и Wn (р) получим
Wx(p) = kjtr-ър-,
Wu (P) = TsP(T2iP2 + T.p + 1) (P4P+1)
(Т’гР-Ь 4 (74p + 1) T3p ’
где kp = />2&зР4Р5Рб; Г ^ О .
Д/77г |
|
T,=0 |
|
0 |
|
|
|
AmT |
5 |
10 |
|
О t e |
r, =0,5ceк |
||
5 |
10 |
||
âmT |
|||
O K |
T, =0,95ceк |
||
Avг |
|
10 |
|
S |
!б) |
||
0 |
1 |
и |
|
5 |
|
||
Avг |
10 |
||
0 |
1Г, =0,5секк |
||
Avг |
5 |
10 |
|
|
fi |
=<9,95сек |
|
|
|
10 |
|
|
5 |
в) |
(IV.71)
(IV.72)
J__ i t сек
|
t сек |
|
|
|
t сек |
|
|
' |
I |
f |
|
|
t сек |
||
1 |
I |
, |
|
ч |
t сек |
||
I |
\ |
||
' |
t сек
Рис. 53. Кривые переходных |
процессов |
в САР |
постоянства подачи |
при |
различных |
т4: |
|
а —в линейной разомкнутой; 6 и в — в |
замкнутой |
Тогда |
|
У ~ т'р___________ |
|
|
Ф(р) = |
|
(IV.73) |
||
1-j- k^e - T l P . |
kp |
|
||
|
|
|
||
или |
|
(Т’гP+ Ч (^p-j-l) 73p |
|
|
V T|p (Tgp-H) (? > + |
Ч т 3р |
|
||
|
(IV. 74) |
|||
|
(Г2р + 1 ) ( 7 4р + 1 ) Г 3р + |
^ Ѵ _ТіР |
’ |
|
где k-^kp = k0. |
. |
анализ полученной |
передаточной |
|
Проведем предварительный |
функции замкнутой системы. На основании предельных свойств преобразования Лапласа можно охарактеризовать статические
190
свойства данной линейной модели системы автоматического регу лирования постоянства подачи хлебной массы. Действительно, так как
lim (Атх) = lim pL | Атх| ,
|
|
|
СО |
р->0 |
то |
при |
разомкнутой |
системе |
автоматического регулирования |
|
|
lim Атх = li m ^ (р) pL \ f (t) | |
||
|
|
t->co |
|
0 |
или |
при |
p L \ f 1 (t) I = |
f lcm |
|
|
|
|
hmxcm = |
W 1(0)flcm, |
гДе ficm — установившееся (статическое) значение внешнего |
воз |
|
мущения f x (t). |
|
|
Таким образом, если система разомкнута, то Атхст = k j lcm, |
||
т. е. изменение |
подачи А пгх пропорционально статическому |
воз |
действию f lcm. |
При работе с регулятором подачи передаточная |
|
функция будет Ф (р), тогда |
|
|
|
Атхст = Ф(0)ficn, |
|
но Ф (0) = 0 и, |
следовательно, Атхст = 0. |
|
Таким образом, рассматриваемая замкнутая астатическая си стема автоматического регулирования постоянства подачи хлеб ной массы обеспечивает нулевую статическую ошибку при ра боте, что является, несомненно, основным достоинством данной системы. При статической же замкнутой САР ошибка Атх обратно пропорциональна коэффициенту усиления регулятора kp. Ана лиз переходного процесса Атх (t) в замкнутой системе автомати ческого регулирования можно сделать приближенно, при раз ложении е~Т'р по степеням т хр. Характеристическое уравнение для функции Ф (р) после разложения е_ТіР имеет вид зависи мости (IV.59). Найдем корни этого полинома при трех значе ниях т х : тх — 0, тх = 0,5 сек и х г — 0,95 сек. Полиномы после
преобразований |
будут |
5р2 + |
6,14р + |
1,85 = |
0; |
|
||
при |
т х = |
0 |
р3 + |
0; |
||||
при |
х г = |
0,5 |
сек |
р3 + |
5,26р2 + |
5,24р + |
1,86 = |
|
при |
т х = |
0,95 сек |
р3 + |
8,1 р2 + |
5,86р + |
2,51 = |
0. |
Корни этих полиномов следующие: |
р3 = |
—3,324; |
|||
при т х — 0 р х = —0,452, р 2 = |
— 1,224, |
||||
при |
тх = |
0,5 сек р г — —-4,09, |
рг; з = —0,585 |
±Ю,33; |
|
при |
тх = |
0,95 сек р х = —7,351, рг; з = |
—0,374 ±І0,446. |
Передаточная функция, согласно теореме Безу, может быть представлена как
Ѵ _ТіР (Т,р + \)(т іР+ \ ) Т зР
k т3
тлят. кот1 (р — Рі) (Р — Ра) (Р — Рз)
3!
тогда изображение переходного процесса будет
L\Am x (t)\ = L \ f 1(t)\0(p)-
При единичном внешнем возмущении f x (t) = 1
L ] Аmt (t) I |
|
|
У ~ т ,р (Л Р + 1 ) ( Т < р + 1 ) Т а |
|
(IV.76) |
||||||||||
|
|
|
Кч |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
тйт,т. |
(Р — Рі) (Р — Ра) (Р — Рз) |
|
||||||||||
|
|
|
3! |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Исходя из характера корней полиномов, запишем при |
= О |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з |
R{Pk) |
|
pk a - и |
|
|
|
|
||
|
|
Аmx (t) = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
D' (pk) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где R (p) |
и D' (p) — соответственно |
числитель |
и |
знаменатель |
|||||||||||
|
|
|
|
передаточной |
функции |
Ф (р). |
|
||||||||
Для случая комплексных корней при |
=f=О |
|
|
||||||||||||
Аягт (t) = |
epl (t~Xl) + |
2Akeak V |
Ti) cos | ß* (t — іу) -f щ |
||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A k = y rô2 + |
a2; |
щ |
= |
arctg |
|
; |
|
|
|||||
|
|
R (Pt) |
|
= |
ô + l'a; |
fl(P .) |
|
= ô — i'a. |
|
|
|||||
|
|
D’ (Pi) |
|
|
|
D' (p3) |
|
|
|
|
|
|
|||
После подстановки корней в соответствующие выражения по |
|||||||||||||||
лучим при |
= О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Атх(0 = |
[0,99е“ °'452і — 0,514e-1.22« + |
0,052в—з-за<], |
(IV.77) |
||||||||||||
при t = 0 |
Ат х (t) = |
|
1, |
а при f |
—» оо |
AmT(f) |
= |
0. |
График апе |
||||||
риодического процесса |
Атх (t) при ту = 0 показан на рис. 53, б. |
||||||||||||||
При Tj = 0,5 сек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
AmT(0 = - ë ^ [0 ,1 0 5 e- 4.o9<;-o,s) + |
|
|
|||||||||||
|
+ |
1,66е-°’585 {#—о.б) COs {0,33 (t — 0,5) -f- 75°}]^, |
(IV.78) |
||||||||||||
при |
= |
0,95 сек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à m x ( 0 |
|
= |
-0 ^ 98- |
[0 ,2 5 8 6 - 7.351 (1- |
0.95) |
+ |
|
|
|||||
|
+ 0,75е-°>374 (7-°.95>cos {0,446 |
|
— 0,95) + 69°}]. |
(IV.79) |
Графики этих переходных процессов также даны на рис. 53, б. Вследствие большого периода Т гармонической функции Aпгх (t)
192
согласно |
зависимостям (IV.78) |
и |
(IV.79) Т х |
2я = |
028 |
__ |
|||||
(Ö! |
0,33 |
|
|||||||||
= 19 сек, |
т2 = |
2л |
_ |
6,28 |
|
|
|
|
|||
= |
14 |
сек перерегулирование |
со- |
||||||||
со, |
~~ |
0,446 |
ставляет около 9%, что можно считать вполне допустимым. С уве личением запаздывания х г частота длиннопериодических колеба ний увеличивается, а абсолютная величина степени при е, опре деляющая интенсивность затухания процесса, уменьшается. При тх = 0 переходный процесс является апериодическим. Длитель ность t переходного процесса, соответствующая уменьшению сиг нала в 18 раз, равна в этом случае 5 сек. Действительная длитель
ность переходных |
процессов определяется |
видом и величиной |
|||||||
возмущения f x (t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим переходный процесс для координаты Аѵ при еди |
|||||||||
ничном возмущении / х (/) = |
1. Из выражений IV, (р) = |
.LIAmrt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц х ы \ ’ |
|
(Р) = Т \ ~Кщ\' |
нах°Дим |
L\A m x\ = Wx (p) L \x ex\ и |
подстав- |
||||||
ляем изображение Amx в выражение (IV.72). |
|
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wu(p) Г , (p)L\xex\ = |
L I Ди|. |
|
|||||||
Но, так как для замкнутой |
системы |
хвх = —А у + |
f x (t), то |
||||||
(P) |
(р) [ - L \ A v \ |
+ L \ f 1(t)\] = L \A v \ . |
|
||||||
Отсюда |
|
L I Д» I |
_ |
( p ) W n (р ) |
|
||||
Фдѵ І Р ) |
(ІѴ.80) |
||||||||
L I fi (О I |
i+ w l (р) wu (p) ■ |
||||||||
|
|||||||||
Подставляя значения Wx (р) |
и |
Wn (р) |
в формулу |
(ІѴ.80), |
|||||
получаем при k xkp = |
k0 |
|
|
|
|
|
|
||
Фаѵ (P) |
|
__________ У ~ Тір__________ |
(IV.81) |
||||||
|
( T 2p + l ) ( T i P + l ) T 3p + k 0e - ^ |
||||||||
|
|
|
На основании предельных свойств передаточной функции можно считать, что при действии внешнего возмущения /у (/) установив
шееся значение A v = l f 1 (t), т. е. установившееся изменение *-»оо
скорости пропорционально установившемуся значению внешнего возмущения. Представляя передаточную функцию (IV.81) на основании теоремы Безу при условии разложения е~ХгР по сте пеням т хр, найдем изображение переходного процесса для коорди наты Аѵ при единичном внешнем возмущении /у (t) — 1:
£|Д»<0| = ;------------------------------------------------- |
■ (ІѴ'82) |
І Т 2Т 3Т Х-------- |
| j i - J (p — P i) (P — Pi ( p — Р з) P |
При тх = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ди (О = А (0) |
|
|
RJPk) |
сРь\ |
||||
|
|
|
Dj (О) |
L |
|
PkD'i(Pk) |
|||
где рП ^р) — знаменатель |
выражения |
(IV.82). |
|||||||
Для случая комплексных корней при тх Ф 0 получим |
|||||||||
|
Дv(t) = |
Я(0) |
|
__ ___________ e pi |
( f —Tl) _ p |
||||
|
|
|
D[ (0) |
|
pA |
(pO |
|
||
|
+ 2Лйеа* |
Ti) cos 1ß& |
— ту) -j- cp* |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ak = y Ь*+о*\ |
|
Ф* = |
a r c t g ; |
||||
|
RJP*) |
= Ô+ io\ |
|
R ( P a ) |
= ô — io. |
||||
|
PAl (P2) |
|
P A {Pz) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
После подстановки корней в полученные выражения будем |
|||||||||
иметь при тг = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дv(t) = |
1 — І,81е-°'452< + |
0,96e-1'22' — 0,09e~3'32'. (IV.83) |
||||||
Из |
выражения (IV.83) |
при |
t — 0 |
получаем Ди = 0, а при |
|||||
t — оо |
At» = 1. |
Эти |
результаты |
подтверждаются предельными |
свойствами функции (IV.82). Полученный апериодический про цесс изменения Ди дан на рис. 53, в.
При Tj = 0,5 |
сек и тх |
= 0,95 сек |
|
|
До (0 = 1 |
— 0,035е-4-09 |
— |
|
|
— 2,34e |
-0'583 <'-o.s> sin I 0,33(* — 0,5) + 24° 10' j, |
(IV.84) |
||
|
До(0 = 1 — 0,007e17'35 <'-°'95>— |
|
||
— 1,39е-°'374 ('-°'95) sin I 0,446 (t — 0,95) + 46° |. |
(IV.85) |
Графики , этих переходных процессов даны на рис. 53, в. Выводы, сделанные для переходных процессов Дтх (t), пол
ностью относятся к переходным процессам До {t).
§ 16. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОЙ САР ПОСТОЯНСТВА ПОДАЧИ ХЛЕБНОЙ МАССЫ
Рассматриваемая нелинейная САР (рис. 54) отличается от линейной тем, что между датчиком толщины слоя хлебной массы и электромагнитным золотником находится существенно нели нейное звено— трехпозиционное реле. Уравнения всех звеньев, кроме третьего и четвертого, остаются без изменений.
Датчик толщины слоя хлебной массы представляет собой мало инерционное звено с демпфером и упругостью и имеет уравнение:
(Т2р + 1) Ах = k 2Amx. |
(IV.86) |
Релейный усилитель состоит из трехпозиционного контактора и электромагнитного золотника. Электромагнитный золотник из-за высокого быстродействия может рассматриваться в первом приближении как безынерционное звено. Характеристика релей ного усилителя (рис. 55, б) может быть представлена как нечет ная в виде
h 0 |
при |
Ах > |
а; |
|
|
|
|
Ah — { 0 |
при |
I Ах I < I а | ; |
|
|
|
||
-й0 |
при |
Ах < |
— а, |
|
|
|
|
|
|
|
(IV.87) |
|
|
|
|
где Ah — перемещение |
штока |
|
|
|
|||
электромагнитного зо |
Рис. 54. Структурная схема нелиней |
||||||
лотника |
из среднего |
||||||
|
ной САР постоянства подачи |
||||||
положения; |
|
|
|
|
|||
Ах— входная величина; |
|
нелинейного |
элемента. |
||||
а — зона нечувствительности |
|||||||
Наличие |
существенно нелинейного звена в |
системе делает |
возможным возникновение автоколебаний вследствие внутрен них свойств системы регулирования. Поэтому, помимо устойчи вости, приходится определять условия возникновения автоколе баний и их характеристики. Для приближенного определения периодических решений, являющихся близкими к гармоническим изменениям выходных величин во времени, воспользуемся мето дом фильтра или методом гармонической линеаризации, пред ложенным H. М. Крыловым и H. Н. Боголюбовым, а также раз витым в трудах Л. С. Гольдфарба и Е. П. Попова [28].
Система дифференциальных уравнений в операторной форме для описания движения нелинейной астатической САР постоян ства подачи следующая:
A m = kxД о + h (/); |
У |
|
Атх = Ате~Тір; |
|
|
(Т2р + 1) Ах = |
k2 Amx; |
|
Ah = В (А) Ах; |
(IV.88) |
|
Т3р As = kt Ah; |
|
|
At —kbAs; |
|
|
{Tip —|—1) Аи = |
Aike -^-f2{t). |
|
цией или коэффициентом гармонической линеаризации. Функ ция В (А ) для релейного элемента с зоной нечувствительности равна [28 ]
= |
- ( - т ) ' ' |
<ІѴ-89) |
где А — амплитуда входного |
гармонического |
сигнала. |
Для определения частоты fi, амплитуды А и устойчивости возможного периодического решения (автоколебаний) методом гармонической линеаризации необходимо соблюдение ряда ус ловий. Эти условия являются обобщением так называемого ре
ального свойства фильтра |
[28 ] на любые САР с характеристиче |
|||||
ским уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
Q(p) + |
R (р) В (А) = О, |
|
(IV.90) |
||
где Q (р) |
и R (р) — многочлены любой степени с вещественными |
|||||
|
постоянными [здесь р = ~ |
и степень много |
||||
Этими |
члена R (р) ниже степени |
многочлена Q (/?)]. |
||||
условиями |
являются: |
гармоник реальной линейной ча |
||||
1. |
Непропускание высших |
|||||
стью системы — свойство |
фильтра. Аналитически |
это условие |
||||
выражается так: |
|
|
|
|
|
|
|
R {ikй ) |
// |
R (tfl) |
(k = 2 , 3 . . . .). |
(IV.91) |
|
|
Q (іШ) |
Ч*ч |
Q (iQ) |
2. Малость высших гармоник. Это условие должно соблю даться, если степень R (р) меньше степени Q (р):
R (іШ) |
I |
~ |
(k 5= 2, 3 ,...) . |
(IV.92) |
|
Q(ikQ) |
І^со |
||||
|
|
3. Отсутствие в многочлене Q (р) чисто мнимых корней или корней с положительной вещественной частью. Наличие корней, равных нулю, в многочлене Q (р) допускается, так как они улуч шают непропускание высших гармоник приведенной линейной частью.
Из выражений (IV.91) и (IV.92) видно, что они являются ам плитудно-частотными характеристиками приведенной линейной части системы, выраженной уравнением (IV.90):
^ (*■«)! = |
R Qm) |
(IV.93) |
|
Q(«*>) |
|||
|
|
||
На основании системы уравнений (IV.88) получим уравнение |
|||
линейной части САР: |
|
|
|
(7 > + 1) (Г4 р + 1) |
Т зр Ах = kj>~™ Ah, |
(IVМ ) |
|
где кл = k^k^kji&ke — коэффициент усиления линейной |
части |
||
САР. |
|
|
Амплитудно-фазовая характеристика ЦТ, (іа) линейной части системы
WA(m) = |
кле— X,1(0 |
(IV.95) |
(T2i(àJr 1) (Tttco + 1) Т3ш ' |
Выражение (ІѴ.95) удовлетворяет всем трем условиям: ампли туды высших гармоник много меньше первой; они стремятся к нулю при со —►оо; в знаменателе в скобках стоят только поло жительные коэффициенты; нулевой корень в знаменателе делает систему нейтральной и улучшает непропускание высших гармо ник.
Общая амплитудно-фазовая характеристика всей разомкнутой САР с нелинейным звеном имеет вид
W (іа) = WA(іа) В (А). |
(ІѴ.96) |
Незатухающие синусоидальные колебания с постоянной ам плитудой в замкнутой системе определяются согласно частотному критерию устойчивости прохождением амплитудно-фазовой ха рактеристики разомкнутой системы через точку (— 1, і 0), т. е. равенством W (іа) = — 1. Это и будет в данном случае условием существования периодического решения для замкнутой нелиней ной системы, которое приближенно принимается синусоидальным.
Из условия Wj, (іа) В (А) = — 1 получим |
|
w * № = — B W - |
(IV.97) |
Левая часть уравнения (IV.97) представляет собой ампли тудно-фазовую характеристику второго рода для линейной части системы и является комплексной функцией частоты а, а правая — амплитудно-фазовую характеристику первого рода для нелиней ной части, взятую с обратным знаком и являющуюся в данном слу чае вещественной функцией амплитуды входных колебаний А.
Амплитудно-фазовая характеристика линейной части (рис. 55, а) на основании выражения (ІѴ.95) после преобразований имеет вид
Т2-f* Т4
т, \(Tt + |
+ (Г27 > 2 - I)2] |
|
|
T%Tt0? 1 |
I |
b p—ù |
(IV.98) |
+ г Т*аЦТ, + Т № + (Т,Т1(* — l)a]j |
|
Амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена при
ведена |
на рис. 55,в. Графическим решением'уравнения (IV.97) |
|
можно |
получить точку пересечения двух |
характеристик (см. |
рис. 55, а). Точка пересечения годографов |
(іа); — B JÄ) 0ПРеде‘ |
ляет амплитуду и частоту возможных автоколебаний в системе.
197
Если эти годографы не пересекаются, то, следовательно, в си стеме не будет автоколебаний.
Получив точку пересечения амплитудно-фазовой характе ристики линейной части и обратного коэффициента гармони ческой линеаризации, исследуем устойчивость периодического ре-
Рис. 5!э. Амплитудно-фазовая |
характеристика линейной ' |
и нелинейной части САР |
постоянства подачи |
шения, так как каждому значению В (А) соответствуют два зна
чения А. (рис. 55, в и г). Зоны ВТ1(Л)тіп и ВГ1 (Л)тіп (см. рис. 55, а) определяют отсутствие автоколебаний при устойчивой системе. Чистое запаздывание оказывает сильное действие на поведение
нелинейной системы. Оно влияет как на устойчивость подачи хлебной массы, так и на возможность возникновения автоколе баний.
На рис. 55, а показаны амплитудно-фазовые характеристики нелинейной и линейной части системы при различных значениях времени чистого запаздывания х г и коэффициента усиления ли нейной части kA. Как видно из приведенного графика, с увеличе нием времени чистого запаздывания точка пересечения характе ристики линейной части системы с вещественной осью сдвигается в сторону возможных автоколебаний. При этом чем больше время чистого запаздывания т 1; тем больше амплитуда возможных авто
колебаний и |
меньше их частота. |
данном случае |
|
Из приведенных |
рассуждений видно, что в |
||
в замкнутой |
системе |
регулирования возможны |
автоколебания, |
1
так как кривые WA{m)\ — В (А) могут пересекаться. Выбирая па
раметры линейной и нелинейной части системы kA, Т 3, а можно избежать автоколебаний. Как видно из рис. 55, а, для повышения устойчивости системы выгодно увеличивать зону нечувствитель ности реле. Однако эти возможности ограничены из-за увеличе ния статической ошибки.
Как видно из выражения (IV.95), для амплитудно-фазовой характеристики ІѴДко) при Т 2 —>0 устойчивость нелинейной системы ухудшается, но она не переходит в неустойчивую, как линейная система при Т 2 = 0.
Уменьшение постоянной Т 3, определяющей изменение диапа зона передаточных чисел вариатора и входящей в знаменатель выражения (IV.98), приводит к резкому ухудшению устойчивости из-за приближения амплитудно-фазовой характеристики линейной части к линии — В " 1 (Л).
С увеличением передаточного числа привода ходовой части комбайна СК-4 коэффициент усиления k3 объекта уменьшается, что приводит к уменьшению коэффициента усиления линейной части kA и, следовательно, к увеличению запаса устойчивости й уменьшению возможности автоколебаний. Следовательно, си стема, устойчивая при работе на II передаче, будет устойчива и
при работе на I передаче. |
|
|
|
||||
|
Автоколебания в нелинейной системе на II передаче согласно |
||||||
графикам на |
рис. |
55, а |
возможны при |
т х = 0,5 |
сек, |
кл = 1 и |
|
а |
0,3 кг/сек |
или |
при |
тх = 0,9 сек, kA = 0,8 и |
а |
0,3 кгісек |
|
с частотой со |
0,9 |
Мсек, т. е. с периодом Т — 7 сек. При а = 0 |
|||||
автоколебания |
в |
системе неизбежны. |
Несмотря |
на |
простоту |
графо-аналитического метода, он не позволяет осуществить ана лиз нелинейной САР в общем виде.
Для общего анализа нелинейной САР постоянства подачи воспользуемся приближенными способами исследования нелиней ных систем, разработанными Е. П. Поповым [28] на основе ме тода гармонической линеаризации. Для определения амплитуды А