книги из ГПНТБ / Алферов, С. А. Динамика зерноуборочного комбайна

и подставляем в формулу (IV. 104):

1

На основании зависимости (IV. 106) можно сделать следующие выводы:

1. При хх — 0, т. е. при отсутствии запаздывания в системе,

(IV.107)

Ѵт2т 4

2.Частота периодического решения fi не зависит от величин кл и В, а определяется только параметрами линейной части САР

Т2, Ті и т.

3.Так как fi2 >• 0, то из числителя выражения (IV.106) при

Точные расчеты подтверждают упрощенные выражения (IV. 108) и (IV. 109). Как видно из рис. 56, а, кривая 1, полученная согласно

величины основных параметров данной САР используем выра­ жение (IV. 105), подставляя в него значение В из зависимости

получаем

для различных зон нечувствительности а и запаздываний

Рис. 56. Влияние параметров нелинейной САР на частоту автоколебаний ß и на границы областей устойчивости

Д

и б показаны графики — = f (Т3). для данной нелинейной САР.

одно относится к устойчивому периодическому решению. Для определения этого отношения найдем кривую Михайлова L (ш) для характеристического уравнения (IV.90) путем подстановки в него р = ію, где.ш — текущий параметр кривой Михайлова.

После выделения вещественной и мнимой частей из выраже­ ния (ІѴ*412) получаем

При автоколебаниях, т. е. при наличии двух чисто мнимых корней р 1і2= ±П в уравнении (IV.90), кривая Михайлова (IV. 112) проходит через начало координат в момент, когда ее па­ раметр равен величине П, т. е. когда соблюдается уравнение (IV.99).

Для устойчивости данного периодического решения требуется, во-первых, чтобы соблюдался аналитический критерий [28]:

(IV. 114)

Звездочка в этом выражении указывает, что частные производ­ ные взяты при частоте П и амплитуде А периодического решения.

Рис. 57. Области устойчивости и автоколебаний для нелинейной САР в зависимости от Т 3

Во-вторых, чтобы для системы третьего и четвертого порядка были положительные коэффициенты характеристического уравне­

и подстановки уравнений (IV. 115) в выражение (IV. 114), а также

соответствуют неустойчивым режимам. При значениях параметра Т 3 > 2,05 сек и Т 3 > 3,33 сек (см. рис. 57, б) соответственно для зон нечувствительности а = 0,25 (0,5 кгісек) и а = 0,15 (0,3 кгісек) нелинейная САР будет всегда находиться в области устойчивости. Следовательно, предельным значениям параметра Т 3, находя­ щимся на границе области устойчивости, соответствуют периоди­ ческие решения данной нелинейной САР с амплитудой А = 1,41а.

Из графика изменения коэффициента гармонической линеари­ зации (см. рис. 55, в) для данной нелинейности видно, что при А = 1,41а кривая В (А) имеет максимум. На основании этого можно рекомендовать следующий метод для построения областей устойчивости в плоскости действительных параметров нелиней­ ной САР.

1. Для вычисления области устойчивости в плоскости двух действительных параметров, например кл и Т 2, необходимо при

заданных неизменных значениях Т4 и т х найти последовательным приближением из выражений (IV. 106) и (IV. 108) величину

Аналогично можно построить область устойчивости в пло­ скости двух действительных параметров тх и Т 3 при неизменных Т 2, Т4, кл. Функция Т 3 = Т3 (T J ), и с х о д я и з выражения (IV. ПО), будет

4kjth0 ”|/" l — -]Д)2

САР (см. рис. 52, б), отмечаем их полную аналогию. Из рис. 56, в видно, что в отличие от линейной рассматриваемая нелинейная САР при Г 2 = 0 может быть вполне устойчива. С уменьшением зоны нечувствительности а, как видно из рис. 56, в, уменьшается область устойчивости нелинейной САР по параметру kA. Рост ве­ личины запаздывания т х в САР (рис. 56, г) приводит к резкому увеличению параметра Т 3 и, следовательно, к снижению общего коэффициента усиления системы и точности регулирования. Уменьшение параметра Т3 возможно за счет увеличения зоны нечувствительности а, т. е. снижения точности регулирования.

Такие области устойчивости можно построить в плоскостях других действительных параметров САР. Данный анализ имеет большое значение для проверки выбора рациональных пара­ метров подобных нелинейных САР.

Оценка качества симметричных колебательных переходных процессов в нелинейной САР. Рассмотрим колебательный пере­ ходный процесс для области устойчивого равновесия нелинейной САР, т. е. для области, где комплексные сопряженные корни харак­

теристического уравнения р Ь2 = е ± і со. Так как при затухании колебаний меняется коэффициент гармонической линеаризации В , зависящий от амплитуды А, и, следовательно, общий коэффициент усиления САР, а также и значения корней р ь 2,'то эти колебания имеют плавно переменные частоту w и коэффициент затухания е, зависящие функционально от А.

Считаем, что в нелинейной САР переходный процесс х (t) на конечном отрезке времени приблизительно описывается вы­ ражением

где А = A (t) — функция времени, определяемая из дифферен­ циального уравнения

ф = ф (t) — функция времени t, определяемая из дифферен­ циального уравнения

Учитывая, что « (А) при подстановке А — А (t) из выраже­ ния (IV. 121) становится ш = w (t), получаем

йф = со (t) dt или ф = j со (t) dt.

Для определения переменных значений е = е (А) и со = со (А) пары комплексных корней р 12 подставим в левую часть характе­ ристического уравнения (IV. 102) для нелинейной САР значение р = е + iw, тогда получим

Система из двух уравнений при известных параметрах САР позволяет найти величины 8 (А) и а> (А), если зависимость В = В (А) задана на основании вида нелинейности:

X (В, 8, со) = 0;

(IV. 124)

Y (В, г, w) = 0.

Уравнения (IV. 124) для данной нелинейной САР следующие:

Из первого уравнения системы (IV. 125) в развернутом виде имеем

Полагая в формулах (IV. 126) и (IV. 127) е = 0, получаем вы­ веденные ранее уравнения (IV. 104) и (IV. 105) для определения частоты fi и амплитуды А автоколебаний. Построим на плоскости

— ; кл линии е = const и © = const, пользуясь выражениями

(IV. 126) и (IV. 127). Для ускорения построения этого графика, т. е. для выбора соответствующих значений е и со, на основании характе­ ристического уравнения (IV. 101) построим корневой годограф, являющийся траекторией, описываемой корнями уравнения (IV. 101) на комплексной плоскости при плавном изменении, напри­ мер, общего коэффициента усиления k0 от 0 до оо. Из уравнения

переходных процессов при анализе корневых годографов видны

неаризованной системы с запаздыванием тх Ф 0 являются непре­ рывными функциями (в области в <j 0) параметров системы, в ча­

k0> 1,0 при исследовании устойчивых систем практически не