книги из ГПНТБ / Алферов, С. А. Динамика зерноуборочного комбайна
.pdf6) с помощью коэффициентов усиления kіЧ сравнить влияни одного и того же воздействия ficm на величины всех выходных координат Xj, т. е. оценить инвариантность до е выходной коорди наты от внешнего возмущения при тех или иных режимах (на стройках).
Амплитудно-фазовые характеристики рабочих органов комбайна СК-4. При каждом из двух режимов работы комбайна для его рабочих органов и частей могут быть построены амплитудно фазовые характеристики второго рода, представляющие собой
отношение векторов |
, где гшх — вектор выходного колеба- |
ГѲХ |
|
ния; гвх— вектор входного колебания. |
|
Амплитудно-фазовую характеристику находят из выражения |
|
(IV. 10) для определения |
передаточной функции W (р) путем под |
становки величины гео вместо р и умножения числителя и знамена теля на комплексно-сопряженное знаменателю W (tco) выражение. При этом
W (т) = U (со) + іѴ (со).
Подставляя различные значения со от 0 до оо, получим ряд значений U (со) и V (со), на основании которых построены зависи мости W (гео) (рис. 46). Фактические значения амплитуды и фазы будут
Аха = хаХ,
где
|
l/|^ (co )|2-f-|V(co)|2, |
|
|
|
|
cp = arctg V(«о) |
• |
|
|
|
U (со)' |
|
|
|
Если входное колебание определяется выражением |
fx = |
|||
= А х sin с о т о |
выходное колебание |
|
|
|
Ax(t) = AXXV\V(<Ù) I2 - f | V(со) I2 sin |
cot — arctg |
E(co) I |
’ |
|
|
|
|
U (со) I |
|
амплитуда этих |
колебаний |
|
|
|
|
АХа = AJL У I (У (со) I2 -ф I V (со) |2 |
|
|
|
Годограф амплитудно-фазовой характеристики второго рода должен обойти п квадрантов до прихода в начало координат, т. е. в точку'О, где п = 4— степень знаменателя W (р). При выбранном масштабе на рис. 46 обход четырех квадрантов виден не везде.
Рассмотрим случай внешнего воздействия на молотильный барабан в виде
fx = fxcm + fxd И ïu = fy = fz = 0,
гДе î x c m — статическое воздействие, f x c m = |
A |
l x ; |
fxd— динамическое воздействие, fxd |
= |
А гх sin a>t. |
Рис. 46. Амплитудно-фазовые характеристики динамической системы комбайна СК-4 при втором режиме работы
При этом фактическое максимальное и минимальное отклоне ния угловой скорости молотильного барабана будут
Дхтах = А*! + Дх2; А^тіп = Ахх — Ал:2,
где Ахг — фактическое статическое отклонение; Ах2— фактическая амплитуда динамического отклонения.
Из теории преобразований Лапласа известно, что статическое отклонение выходной координаты зависит от статического уста новившегося воздействия.
хі — Wlxx (0) fx ст,
а
Ахг — Wlxx (0) А1хХ,
где Wlxx (0) = kxx — передаточная функция при р = 0, равная коэффициенту усиления.
Амплитуда динамического отклонения в данном случае выра
жается так: |
|
|
|
|
|
Ах2 = А2хХ К |£/(® )Г + |
|Ѵ » ! 2 • |
|
|||
Обозначая безразмерную |
амплитуду |
колебаний |
|
||
V \U (со) |2 + I V (со) j2 |
через | |
W (ію) |, |
получаем |
|
|
Ахтах = |
А1хХ ■Wlxx(0) + |
А2хХ ■I W2xx(i<o) |. |
(IѴ.22) |
||
Выражения типа (IV.22) позволяют строить частотные графики изменения угловых скоростей Ах = f (со) при данных возмуще ниях ft, являющиеся основой для оценки динамических и техноло гических свойств различных рабочих органов. Для комбайна СК-4 при івар = 0 и возмущениях fx, fu, fy, fz, не равных нулю, а равных каждое сумме статического и динамического воздействия
(fan + |
/д)> |
результирующие максимальные отклонения координат |
X, и, |
у, z |
и приближенно их переходные процессы определяются |
как суммы элементарных отклонений, вызванных соответственно статическими и динамическими возмущениями:
У1
Л
*2
u2
II
Уг
Z2
fxc
fuc
А Т1
I у cm
fxd fud fy à fzd
(IV.23)
(IV.24)
где AT1 и AT1— матрицы обратного преобразования, представляю щие собой матрицы типа (IV.21) передаточных функций W (р), соответствующих первому и вто рому нагрузочным режимам линеаризации (см. табл. 5).
Приближенные значения отклонений выходных координат X, и, у, z можно найти на основании выражений (IV.23) и (IV.24), не решая самих уравнений.
Пусть внешние |
возмущения f x , |
f y , f z выражаются зависи |
|
мостью |
— f i cm + f i d ==A i + |
A i Sintû^. |
(IV.25) |
f t |
|||
Так как сложение амплитуд колебаний для каждой из выход ных координат X, и, у, г от воздействий А 2І sin сог( происходит при различных фазовых углах, то при приближенном определении отклонений следует учитывать только доминирующую амплитуду в каждой выходной координате. Так, например, приближенное значение максимального отклонения координаты х на основании выражений (IV.23)—(IV.25) будет
д*тах ^ ÄlxXWlxx (0) + А2хХ I W2XX(гео) I 4-
+ А1иШ 1хи(0) + А1уШ Хху(0) + А1гШ ш (0).
Аналогично получаем выражения для определения отклонений других координат и, у, z. Величины W ( і с о ( ) для соответствующих частот сог берут из графиков амплитудно-фазовых характеристик (см. рис. 46).
Для оценки эффективности и быстроты метода определения максимальных отклонений выходных координат х, и, у и 2 без решения уравнений (IV.23) и (IV.24) рассмотрим следующий пример.
Пусть fx = 1 4 + 8 sin (ùxt и |
/и = |
/„сот = H ,2 + 1,77?, где q — подача |
хлебной массы в молотилку. При |
q = |
4 кг/сек fu = 18,2 кГ-м. Пусть частота |
со* = 2,38 и 5 Мсек. Передаточные функции комбайна СК-4 на первом нагрузоч
ном режиме имеем согласно табл. |
5 и выражениям (IV. 17) и (IV.21): |
Wlxx (0) = |
|||||||
= 0,119; |
\Ѵ1хи (0) = 0,051; |
Wlux (0) = 0,0917; |
Wluu (0) = 0,0593. |
Обозначаем |
|||||
A xx — I |
W2XX (tco) I |
и A ux = I W2ux (too) |. |
По |
амплитудно-фазовым характе |
|||||
ристикам для второго нагрузочного режима (см. рис. 46) находим: |
|
||||||||
|
при |
шХ1 = |
2,38 Мсек |
Ахх = |
0,435 и А их = 0,1; |
|
|||
|
при |
(Oja = |
5 |
Мсек |
Ахх = 0,063 |
и А ^ = 0,02. |
|
||
Выписываем заранее |
выбранные |
величины |
отклонений [см. |
выражение |
|||||
(IV. 14)]: X = -у- = |
-Q-gTT. и |
U — - j - = -ущ -. Определяем отклонения коорди |
|||||||
наты X при двух частотах со* и ор = |
15 кГ/см2: |
|
|
||||||
при (Ùx1 = 2,38 1/сек Дхх max = 1 4 0 , 1 1 9 + 8 0 , 4 3 5 +
+ 18,2 0,051 = 9,9 Цсск-,
+ 18,2 -Q-jjg-0,051«* 5 1 / с е к .
Соответствующие этим частотам со*! и со*2 значения Дхтах, полученные на ЭЦВМ
при О р = 16 к Г / с м 2, равны 12,3 1/сек и 7,9 М с е к |
(см. рис. 43, а ) . |
Расхождения А х ' составляют: |
|
А х \ = 12,3 — 9,9 = 2,4 |
М се к ) |
Ах2' = 7,9 — 5 — 2,9 М сек .
Полученные расхождения А х ^ и Дх2 невелики и объясняются неучтенными
нагрузками f u d , f y и т. д., которые на основании принципа суперпозиции оказы вают влияние на отклонения координат. Определяем отклонения координаты и при двух частотах со*:
|
при со*! = 2,38 |
М с е к А щ max = |
18,2 |
* ■0,0593 + |
|
||
|
|
|
|
|
|
1,Uo |
|
|
+ 1 4 -j^g 0,0917 + 8 - jig - 0,1 = |
2,94 1/сек; |
|
||||
|
при со*2 = |
5 М с е к А и 2 шах = |
18,2 ■■* 0- 0,0593 + |
|
|||
|
|
|
|
|
1,0о |
|
|
|
14- 1,08 |
0,0917 + 8 1,08 |
0,02 = |
2,35 1/сек. |
|
||
Соответствующие значения Д«тах, полученные на ЭЦВМ, при а р |
= 16 к Г / с м 2 |
||||||
равны 6,8 М с е к и 5,35 М с е к |
(см. рис. 43, б). Расхождения Auj составляют: |
||||||
|
А«! = |
6,8 — 2,94 = |
3,86 |
М сек ; |
|
||
|
Д«2 = |
5,35 — 2,35 = |
3 М се к . |
|
|||
Среднее |
расхождение |
Аи с р = 3,43 М с е к |
объясняется также |
неучтенными |
|||
остальными |
нагрузками f ug, f y |
и др. |
|
|
|
|
|
Об упрощении передаточных функций динамических систем. Анализ переходных процессов в сложных динамических системах затрудняется иногда из-за сложности получаемых передаточных функций, имеющих вид
|
|
|
Woip) |
Q n (р) |
|
|
|
|
R m ( P ) ’ |
||
|
|
|
|
||
где п я т |
— степени |
полиномов с |
переменным параметром р |
||
|
|
при т т> п. |
|
|
|
Для получения приближенного выражения W (р) передаточной |
|||||
функции |
W 0 (р) разделим числитель и знаменатель ее на числи |
||||
тель: |
|
|
|
|
|
• «у (п) = ______ Q (р)_____ _________ !______ |
|||||
|
0 |
Qn(Р) гт~п (р) + q (р) |
г т-п , , , ± { р ) _ ’ |
||
где Q” (р)г’п-п |
(р) + |
q (р) ~ R m(р)- |
Qn(p) |
||
|
|||||
164
Очевидно, что при q (р) = 0 получим W0 (р) = W (р) =
=ш_„ ^ ^ • При этом п нулей числителя совпадают с п полюсами
знаменателя и степень полинома г (р) равна т — п. В том случае, когда q (р) ф О,
W0(p ) ^W (p ) = ?F7r^ - - c . |
(IV.26) |
Для обеспечения одинаковой сходимости переходных процес сов, соответствующих передаточным функциям W (р) и W 0 (р), при t — со или р —>0, полагаем
|
Г(0) = Г о(0) |
Q"(0). |
|
|
|
тогда из формулы (IV.26) получаем |
||
ІГ0(0) = |
1 |
С = Wо (0) |
’((>) + С |
||
г т ~ п ( 0 ).
Подставив полученное выражение в уравнение (IV.26), имеем
|
W(p) = --------------- |
г --------- |
----- (IV.27) |
|
г т - п ( р ) -4__________ _____________ г т ~ п ( 0 ) |
||
|
КР) ^ |
Wo (0) |
W |
Условием равенства W Q(р) = |
W (р), очевидно, является С = |
||
= 0 или |
г Д Ô) = гт~п (°)- |
|
|
Особенно простые выражения для определения передаточной |
|||
функции |
W (р) получаются при т— п = |
1 или т = п. В другом |
|
случае для обеспечения одинаковой реакции новой передаточной
функции |
W (р) |
и старой W 0 (р) вблизи |
определенной |
частоты X |
||
получим |
равенство |
|
|
|
|
|
W (ік) = W0 (іХ) = |
Qy >:)- или W0 (іХ) = |
т _■1-------- |
• |
|||
|
Ѵ ’ |
0Ѵ ' |
R m (iX) |
’ |
г т п ( і к ) ф С |
|
Из последнего выражения определяем С и подставляем его значение в формулу (IV.26):
1 С гт~п (іХ).
Wo(iX)
Тогда
W0( m ) ^ W ( m ) = ------------------ |
\------------------ |
• (IV.28) |
Полученная функция W (іа) будет иметь амплитудно-фазовую характеристику, близкую к действительной вблизи частоты со = X,
а при а = Я, W0 (іХ) = W (ОС).
Переходные процессы в линейной модели привода комбайна
G K -4 . Из-за нелинейности динамической системы комбайна ана литическое выражение для переходного процесса молотильного барабана найдем раздельно для каждого из нагрузочных режимов
по |
соответствующим им различным передаточным функциям |
^ |
1« (Р) и \Ѵ2хх (р). |
|
Считаем, что в области существования функции W 1хх (р) при |
ложена статическая нагрузка f lx (t) = А и , а в области существо
вания |
функции |
W 2хх (р) — переменная периодическая нагрузка |
f 2x = |
А 2х sin at. |
Тогда выражения переходного процесса в опера |
торной форме для первого и второго режимов линеаризации за пишем так:
L\x1.(t)\ = Wlxx(p)L\flx (01;
L\x2(t)\ = W2xx(p)L\f2x(t)\.
Преобразования Лапласа для функций f lx (t) и f 2x (t) имеют вид
L\hÄt)\ |
H1X |
|
|
L \ f 2x( t ) \ = - |
A2X sin at. |
Обозначая передаточные функции W lxx (р) r i ( P ) , Г 2«(Р)
D i ( P )
=получаем
иx 2 (t):
L\xi{t)\
изображения |
|
переходных |
процессов х х (/) |
||||
r i ( Р ) Л 1Х |
J I „ |
|
(t) |
, _ |
г 2 ( р ) А 2х со |
||
Di (р) р |
L, I |
х2 |
|
' D 2 (P) |
(р2 + ш2) * |
||
|
|
|
|
|
|||
Передаточные функции W Ххх (р) и W 2xx (р) определяем по выражению (ІѴЛО) с учетом зависимостей (ІѴ.17) и (IV.21).
Оригинал переходного процесса для первого режима линеари зации при четырех действительных отрицательных корнях харак
теристического уравнения D ± (р) будет следующим: |
|
|||
|
Xi (t) = Aixri (0) |
|
ri (Pk) Au |
(IV.29) |
|
Di(0) |
|
PkDi (Pk) |
|
Для второго режима линеаризации оригинал переходного про- |
||||
цесса |
С |
|
k= s |
|
|
Pkt |
|
||
х2 (!) = |
Г2 (Pk) ыА2х |
2Ak sin (at — cp), |
|
|
|
|
|
||
D '2(Pk)
где с = 4; s = 1;
2Л* — амплитуда колебаний с частотой со.
166
Приняв D 2 (р) = D 2 (p)(p2 + со2), получим
D’2(p) = 2pDJß) + (p2 + со2) D'2(p).
При подстановке четырех корней характеристического урав
нения D2 (р) в выражение |
(р) имеем |
Ö ;(P ) = (P 2+ CO2) D '(P ),
а при подстановке корней р5і6 = ±со выражения р2 + со2
|
|
|
|
Ö; (p) = |
2pD2 (р). |
|
|
||
Учитывая |
это, функцию ха (/) запишем в виде |
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
*2 (0 = |
^ |
/ |
г |
|
|
^ |
+ 2^4Л2л.соsin (со/ — cp), |
||
|
Z— I [Pk + |
cù ) D 2 (Pk) |
|
|
|
||||
|
k = \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
У ô2 + |
о2; |
ф = |
arctg |
; |
|
|
r2 (Ps) |
Г2 (Ps) |
__ |
S I |
j a . |
r 2 (p u ) |
Г2 (Рб) |
g |
||
D ’2{pь) |
2p'°Dî |
|
|
|
’ |
Щ {P&) |
2peDss ^ |
|
|
ô и o — соответственно действительная и мнимая часть выражения. Подставляя А 0 = А 2х\ W 2xx (tco) |, где | W 2xx (tco) | = 2Лсо,
получаем
4
Хо (/) — |
2 2 |
— е к*+ |
А2х I W2xx (гео) | sin (соt — ср). |
|
4 |
J (р і + »2) D |
(Pk) |
2x1 |
л |
|
|
|
|
(IV.30) |
Значения величин А 0 и ер для соответствующего значения |
час |
|
тоты со берут из амплитудно-фазовой характеристики (см. рис. |
46). |
|
Корни характеристических уравнений D x (р) = |
и Ь 2 (р) = |
|
=А 2 определены с помощью приближенного итерационного метода
[9].После вычислений переходного процесса х г (/) по формуле
(IV.29) с учетом значений корней уравнения D 1 (р) получим
*1 (/) = А1х (0,119 — 0,léT°’508< — 0,0189e-2'1' —
|
|
— 0,001<Г7'62< — 0,00022е~9’9е<). |
(IV.31) |
||
При |
/ = 0 |
х ± (0) = 0, а |
при / —Vоо |
(оо) |
= А 1х-0,119. |
Фактическое |
уменьшение |
угловой скорости |
будет Дхх = |
||
= х х (оо) |
X. При X = |
и А 1х = 14 кГ-м |
|
||
|
|
Дху = 0,119-14--0^ 2" — 2,7 |
1 /сек. |
|
|
Значение величины Ахг при t = оо совпадает с результатом, полученным при определении максимальных отклонений.
График переходного процесса х г (t) дан на рис. 47. Выразим этот же переходный процесс х г (t) для молотильного
барабана с использованием упрощенной передаточной функции:
|
W(p) |
|
|
|
fTn-tl |
UMO) |
! (0) |
|
( P ) |
||
где Г» (0) = W lxx (0). |
|
||
|
10p + 19, a W lxx (0) = |
||
Для |
Wxx (p) величина rm~n (p) = |
||
= 0,119, |
тогда |
|
|
Рис. 47. Кривые переход ных процессов молотиль ного барабана
Корень характеристического уравнения для W (р) будет р х =
— —0,84, |
тогда |
|
|
|
*1(0 = 0,119(1 |
А\х. |
|
При t —>со х[ (0 = |
0,119Л 1лг. |
|
|
Кривая |
х\ (0 также |
дана на рис. 47. |
Кривые xl (t) и х[ (t) |
близки друг к другу и соответствуют расчетным кривым, получен ным при решении нелинейных уравнений на ЭЦВМ.
Для периодической нагрузки f 2x (t) при со = 3 Нсек величина х2 (0 в безразмерной форме согласно зависимости (IV.30) будет
*2(0 = А2х [0,294е-°’-42* + 0,037e~2,6t —
— 0,0197е 3,5/ + 0,001е_8< + 0,321 sin (31— 81° 10')]. (IV.32)
При определении переходного процесса угловой скорости молотильного барабана в размерном виде вводят коэффициент
X; Ах2 = х 2Х. Амплитуда вынужденных колебаний угловой ско рости при этом
А0 = ХА2л.0,321.
График переходного процесса х %(t) дан на рис. 47.
168
Приближенный переходный процесс х'2 (/) может быть опреде лен также с использованием приближенной передаточной функции
W (р) [см. формулу (IV.27)] для |
W 2хх (р) = |
W 0 {p). |
||||||||
|
Для |
W2xx(p) — W0 (р) |
получаем |
гт п (р) = |
р -|- 0,6 и гт "(0) = |
|||||
= 0,6, при этом |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Г(р) = |
-----Ц - , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
р + 1Гбб |
|
|
где |
W2xx (0) = |
Wo (0) = |
3,66. |
Тогда корень |
рі = —0,273. |
|||||
|
*2 W ^ |
( |
2 |
I ГА п' / |
ч ^ |
+ A2X \ W (/(Ö) I Sin И — ф)* |
||||
|
|
|
(Pk |
L ® ) D |
(pk) |
|
|
|
||
|
Так |
как D' (p) |
= 1, |
то |
|
|
|
|
||
|
|
x2(t) = |
A2X [0,ЗЗе~°’273*+ 0,321 sin(3^ — 81° 10')]. |
|||||||
|
Если |
в системе имеется транспортное запаздывание, равное |
||||||||
т = |
А^, |
то |
при |
fx (t) — f |
(t) e~x°p независимое переменное t |
|||||
в оригиналах переходных процессов будет иметь слагаемое —т0. Суммарный процесс х (t) = х г (t) + х 2 (t) на основании прин ципа суперпозиции можно рассматривать приближенно как про
цесс под |
воздействием |
усилия |
fx (t) = |
f lx (t) + |
f 2x (t), |
T . e. |
f x ( t ) |
A 2xsin at. |
График |
процесса |
x (t) дан на рис. |
47. |
|
Изложенная методика |
определения переходных |
процессов и |
||||
приближенных максимальных отклонений угловых скоростей рабочих органов комбайна позволяет использовать линейные ме тоды анализа для изучения сложных динамических систем сельско хозяйственных машин с неголономными связями.
Для рассмотрения влияния какого-либо варьируемого пара метра динамической системы, например момента инерции Jx молотильного барабана, на динамику комбайна подставим в мат рицу А (IV. 17) выражения для определения коэффициентов пх и
л5, в которые входит величина Jх. |
дМх |
1 |
|
|||
( дМу |
дМс. |
-) X |
- j - , «5 |
Х = п5 |
||
Пі = — [- дх |
дх |
дх |
|
|||
где X = А - .
*>X
Тогда передаточная матрица (IV. 17) модели привода комбайна СК-4 будет
Р+Пі ~ h |
— n2 |
«3 |
0 |
|
A = n'5- h |
P + «4 |
«7 |
— n6 |
(ІѴ.ЗЗ) |
|
||||
0 |
0 |
P + щ |
— Щ |
|
|
|
П13 |
P + пи |
|