книги из ГПНТБ / Гусев, К. Г. Поляризационная модуляция

Уравнения (1.6.6) и (1.6.7) являются конечными для определения фазы ф. В них кроме ф0, фп и 60, 0П необ­ ходимо подставить значения <р и 0, которые получаются

из совместного решения уравнений (1.6.8) и (1.6.9). Решения системы уравнений (1.6.8) и (1.6.9) также

Если в качестве главной оси поляризационного эллип­ са взять ближайшую к положительному направлению оси ох полуось (большую или малую), то пределы одно­ значного определения параметров ф и 0 будут —я/2 ... я/2

и —я /4 ... я/4 соответственно, а формулы для определе­ ния ф' и 0 будут иметь вид

^ ^ —' cos 29 + (sin 2<f0sin 2<fn + cos 2<p0cos 2yn cos 2Д9)

Если электромагнитная волна в произвольном орто­

гонально-эллиптическом базисе Э(фп, 0п) задана своими проекциями на орты этого базиса в виде

U = E1ei*, + iEiei*1,

то параметры поляризации этой волны находятся ана­ логично предыдущему из уравнения

40

Левая часть выражения (1.6.13) путем замены три­ гонометрических функций показательными с мнимой единицей i и показательных функций — тригонометри­

ческими преобразуется в форму

cos (Д/2) е11-j- / sin (Д/2) е_‘т,

после чего путем приведения (1.6.13) к базису e_,/<peifl получим уравнение с комплексными членами

из которого путем приравнивания коэффициентов при одинаковых мнимых единицах слева и справа и решения полученной системы уравнений находим, как и в пре­ дыдущем случае, два вида соотношений для определе­ ния параметров поляризации:

Из выражений (1.6.15) получаем однозначные значения

41

Однако выражения (1.6.15), (1.6.16) позволяют опре­ делять значения ф, 0 и в пределах, больших пределов

однозначности функций tg (-) и sin (-). Расширение пределов определения <р и 0 скажется на определении

главной оси поляризационного эллипса, до которой от­ считывается угол 0, и, в конечном счете, на изменении

фазы ф. Форма и ориентация поляризационной диаграм­ мы при этом не изменяется. При вычислениях важно лишь, чтобы для определения ф и 0 использовались либо

совместно уравнения (1.6.15), либо уравнения (1.6.16). Заметим, что во всех известных авторам работах, посвященных изучению поляризационных свойств элек­ тромагнитных волн, приводятся лишь первые из (1.6.15) и (1.6.16) соотношения для определения параметров поляризации волны по ее проекциям на ортогональные

орты, т. е.

tg20 = tg2YCOS A, sin 2ф= э т 2у sin А. (1.6.18)

Ясно, что соотношения (1.6.18) позволяют однознач­ но определить <р и 0 лишь в пределах —я /4 ... я/4. Соотношения для определения общей фазы эллипти- чески-поляризованной волны вообще не приводятся.

Из формы представления поляризационной диаграммы эллиптически-поляризованной волны в виде (1.4.1) следу­

ет, что функция <§* = e“ ,J'V 8е/ф периодична с периодом

2я по каждому из параметров ф, 0 и ф. Следовательно,

оперируя с числами типа (1.5.1), мы можем не забо­ титься об ограничениях, накладываемых на величины ф,

42

0, г|). Однако при окончательных выводах о форме поля­ ризационной диаграммы необходимо привести конечные выражения к форме, в которой <р и 0 находились бы

в определенных выше пределах однозначности.

1.7.ПАРАМЕТРЫ СТОКСА И МАТРИЦА КОГЕРЕНТНОСТИ

Параметры электромагнитного излучения, носящие теперь имя Стокса, были введены Стоксом [39] в 1852 г. для описания поляризационных свойств частично поля­ ризованного поля, т. е. такого поля, которое можно, как это показал Стокс, представить в виде суммы полностью поляризованной составляющей и составляющей, в кото­ рой невозможно выделить даже в среднем какой-либо преимущественный вид поляризации, называемой неполяризованной составляющей излучения. Параметры Стокса тесно связаны с представлением эллиптически-поляризо- ванной волны точкой на сфере Пуанкаре и являются фактически координатами этой точки в прямоугольной системе координат. Подробно такое представление пол­ ностью поляризованной волны описано, например, в ра­ ботах [15, 40].

Для описания свойств радиосигналов с изменяющи­ мися параметрами поляризации сфера Пуанкаре особо­ го значения не имеет и может найти лишь частичное применение для лучшего физического представления происходящих процессов. Поэтому мы определим пара­ метры Стокса электромагнитной волны не как коорди­ наты точки на сфере Пуанкаре, а так, как принято сей­ час в литературе, посвященной поляризационным свой­ ствам электромагнитного поля. Будем рассматривать монохроматическую волну единичной амплитуды с поля­ ризационной диаграммой

£ = е- г/<?еге.

Тогда все параметры Стокса, полученные для этой вол­ ны, будут нормированными. Ненормированные же пара­ метры получаются умножением нормированных на интенсивность волны, т. е. на До2.

Итак, первым параметром Стокса является интенсив­ ность волны /. В нашем случае этот параметр равен 1. Второй параметр носит название «преимущественность волны горизонтальной поляризации» и обозначается

43

Остальные параметры — преимущественность колеба­ ния под углом 45° U и преимущественность круглополяризованной волны правого направления вращения V —

определяются аналогичным образом:

Вычисления по вышеприведенным формулам дают:

Из приведенных соотношений следует, что параметры Стокса являются энергетическими параметрами волны. Они применялись Стоксом для описания частично и пол­ ностью поляризованного квазимонохроматического излу­ чения оптического диапазона. В этом диапазоне волн в то время можно было регистрировать только средние по времени от квадрата компонент поля значения, т. е. интенсивность волны. Поэтому собственно параметрами Стокса являются усредненные по времени величины (1.7.1) — (1.7.3), т. е. О, U, V и средняя интенсивность/.

Для частичного поляризованных волн интенсивность / состоит из интенсивности неполяризованной части излу­ чения / сл и интенсивности полностью поляризованной части излучения / п. Отношение 1п/1 называется степенью

поляризации электромагнитной волны.

Параметры Стокса тесно связаны с часто применяе­ мой при описании частично и полностью поляризованно­

Для частично и полностью поляризованных квазимонохроматических излучений матрица когерентности полу­ чается усреднением (1.7.5) по времени, т. е.

7 = £ £ +.

44

Определим вид матрицы когерентности для пол­ ностью поляризованной волны.

Для этого подставим в (1.7.5) выражение матрицы

<§ волны с параметрами поляризации <р, 0:

cos у cos 0 + j sin о sin 0

cos if sin 0 — j sin if cos 0

После перемножения матриц § и <f+ получим

След этой матрицы Tr / равен интенсивности волны Е0 .

Нетрудно видеть, что матрицу J можно разложить по

спиновым матрицам Паули, как это сделано для аналогич­ ного случая в [46]:

Фактически для монохроматической волны достаточ­ но знать только параметры Q, U, V. Интенсивность /

определяется из соотношения

E=Q^+U 9-+ V i.

Зная Q, U, V, можно определить геометрические пара­

метры поляризационной диаграммы волны:

45

Выражение (1.7.8) позволяет определить параметры поляризации волны через ее параметры Стокса в том случае, когда волна задана своими проекциями на оси прямоугольной системы координат:

При этом параметры Стокса определяются подстановкой (1.7.9) в (1.7.1) — (1.7.3). В результате осуществления математических преобразований получим выражения па­ раметров Стокса через амплитуды и фазы ортогонально­ линейных компонент поля:

а соотношения (1.7.8) дают возможность определить па­

не позволяют определить общую фазу волны.

Наконец, получим соотношения для определения пара­ метров Стокса в произвольном базисе i, tj, если известны

параметры Стокса волны, например, в ортогонально-ли­ нейном базисе оху. Для этого разложим исходную волну

£(?о, во) по ортам базиса Ё, тр Если положить, что этот

базис квадратурный, т. е.

<§ (фо, 0о) в базисе |, rj можно определить через ее про-

46

Вычисления по формулам (1.7.12) позволяют получить следующее соотношение:

зиса в ортогонально-линейном базисе оху\ эти же симво­

лы, но с индексом У — параметры Стокса орта S, раз­

Стокса орта ^ = 3(<p1-j-n/4, 6,) в базисе оху.

Соответственно, если известны параметры Стокса Qa р, I/. р, Уа р волны в базисе а, (3, то параметры Сток­

са этой волны в квадратурном базисе S, -ц можно опре­

делить из соотношения

Элементы матрицы 3X3 в выражении (1.7.13) явля­

ность волны — инвариантен относительно изменения ба­ зиса.

Зная параметры Стокса волны в любом базисе, мож­ но всегда определить матрицу когерентности волны из соотношения (1.7.7).

В заключение отметим, что существует ряд других параметров, характеризующих поляризационные свойст­ ва волны, и разработаны различные графики и номо-

47

Граммы для Перехода от одних параметров к другом .

Подробно с этипи вопросами можно ознамомиться по работам [2, 15, 40]. В рамках данной работы вполне до­ статочно лишь тех параметров поляризации, которые описаны в этой главе.

ГЛАВА 2

МГНОВЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ ДВУМЕРНЫХ СИГНАЛОВ

Параметры поляризации ф и 0 применялись, как пра­ вило, для характеристики электромагнитных колебаний неизменной поляризации. Электромагнитная волна с пе­ ременными параметрами поляризации представляется обычно в виде суммы полностью поляризованной и де­ поляризованной составляющих. При этом неполяризованная составляющая волны характеризуется только своей интенсивностью. Такое представление электромаг­ нитной волны не применимо в случае поляризационномодулированных сигналов. В этом случае должны быть известны значения параметров <р и 0 как функции вре­

мени и передаваемого сообщения. Описание электромаг­ нитной волны комплексными числами двойной комплекс­ ной плоскости позволяет найти эти функции практи­ чески для всех возможных сигналов.

Вопросам определения параметров <p(f), 0(/) и ip(i) по заданным проекциям электромагнитной волны на ко­ ординатные оси и посвящена данная глава.

2.1.ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Монохроматическая волна, параметры поляризации которой были рассмотрены в гл. 1, является идеализа­

цией электромагнитного колебания, так как, по опреде­ лению, монохроматическое колебание должно быть неиз­ менным и непрерывным в течение неограниченного вре­ мени. Используемые на практике радиосигналы имеют конечную длительность и, согласно преобразованию Фурье, должны иметь бесконечно широкий частотный спектр. Однако чаще всего характер изменения реаль­ ных сигналов таков, что за пределами сравнительно узкой полосы частот амплитуды спектральных состав­ ляющих настолько малы, что общая энергия их состав­ ляет лишь незначительную часть энергии сигнала. По­

48

этому составляющими спектра вне пределов узкой поло­ сы частот можно пренебречь. Такие сигналы называют узкополосными, что означает, что спектральные состав­ ляющие сигнала группируются в относительно узкой по сравнению с некоторой центральной частотой соо спектра полосе. Электромагнитную волну, образующуюся при излучении такого сигнала, называют квазимонохроматической, тем самым подчеркивая сосредоточенность ее

энергии около монохроматической линии спектра, соот­ ветствующей частоте со0-

Математическая запись такого радиосигнала имеет

изменяются по закону передаваемогосообщения, и тог­ да сигнал называется амплитудно- и (или) фазомодулированным сигналом.

Квазимонохроматическая волна может.быть пред­ ставлена совокупностью своих проекций на оси ортого­ нального базиса,-т. е. совокупностью двух радиосигна­ лов Si(t) и Sz(t) :

Средние или, как их еще называют, несущие частоты этих сигналов не обязательно одинаковые, но, по край­ ней мере, близки друг к другу настолько, что спектры сигналов Si(t) и S2{t) перекрываются на большей части

занимаемой ими полосы частот.

связанных между собой квазимонохроматических волн, па­ раметры поляризации которых совпадают с параметрами

поляризации ортов щ, и нет смысла рассматривать ё (^