книги из ГПНТБ / Гусев, К. Г. Поляризационная модуляция

+ i (ij) sin (?, - f 9,) sin (0, + 02)].

Очевидно, что § 2 = ( ? 12, если равны действительные

коэффициенты при одинаковых комбинациях мнимых единиц. Отсюда и следует выражение (1.3.8). Учитывая это правило перемножения мнимых единиц, можно по­ казать справедливость основного определения для про­ изведения двух и более комплексных чисел вида (1.3.7)

II ПрН ф1=/=Ч>2 =И=0 .

Из (1.3.8) следует и еще один важный вывод: совме­ щенную мнимую единицу (ij) можно раскрыть, но при

этом необходимо изменить на противоположный знак у остальных сомножителей с совмещенной мнимой еди­ ницей.

Если остается только один сомножитель с совмещен­ ной мнимой единицей, то его можно раскрывать без всяких последствий и полученные самостоятельные мни­

(ij)e- il9 = ijeil'r= eil,fel' ,azM2

II т. д.

Справедливо и обратное: свертывание произведения двух мнимых единиц i j в совмещенную мнимую еди­ ницу (ij) сопровождается изменением на противополож­

ный знака перед совмещенной мнимой единицей у осталь­ ных сомножителей.

Введенное выше правило перемножения комплекс­ ных чисел с двумя мнимыми единицами коммутативно.

20

Можно также ввести правило деления таких комплекс­ ных чисел на комплексное число, не равное нулю, по обычным правилам для комплексных чисел, т. е.

<м (ч>1 • 9i- Ф.)

Ф. - Ф.)-

&2(¥2' 02' Фг)

Эта алгебраическая операция совместно с операция­ ми суммирования и вычитания превращает пространство комплексных чисел типа (1.3.7) в поле.

Дальнейшее исследование этого вопроса увело бы нас -в сторону от основной темы, поэтому рассмотрение комплексных чисел с двумя мнимыми единицами мы закончим определением суммы таких чисел, полагая, что вычитание, как операция, обратная суммированию, не требует особого определения.

Сумма двух (и более) комплексных чисел <?,(?,, 0,, ?,) и <ёа(?2, 62. ф2) равна комплексному числу, которое полу­

чается при суммировании действительных коэффициен­ тов при одинаковых мнимых единицах в развернутой форме записи этих комплексных чисел.

Запись поляризационной диаграммы эллиптическиполяризованной волны в виде (1.3.6), т. е. числом на двойной комплексной плоскости, позволяет сравнительно Просто получить многие интересные формы представле­ ния этой волны в различных базисах разложения. Неко­ торые из этих форм представления нам понадобятся в дальнейшем. Они позволяют лучше понять структуру эллиптически-поляризованной волны, наглядно демонст­ рируют многообразие форм ее представления. Наконец, приведенные ниже преобразования помогут лучше осво­ иться с правилами оперирования над комплексными чис­ лами вида (1.3.5), (1.3.6).

ны в виде суммы двух линейных векторов. Если в выра­ жении (1.3.6) раскрыть показательные формы по триго­ нометрическим функциям, то после несложных преобра­ зований мы получим хорошо известное разложение эллиптически-поляризованной волны по координатным

21

осям ох и оу:

Q- m £ie _ ycos <pcos q_j_у s;n cp sin Qy _j_

(1.4.1)

-j-1 (cos 9 sin 0— j sin 9 cos 6).

Поскольку мнимой оси i на комплексной плоскости соответствует ось оу, то в выражении (1.4.1) действи­

тельная по i часть есть составляющая Ех, а мнимая

по [ часть — Еу.

Таким образом, проекции эллиптически-поляризован- ной волны на координатные оси определяются как дей­ ствительная и мнимая по i части комплексного числа

вида (1.3.5):

Ёх= Re* { § (t)}; £ у= 1 т г- {£ (0},

где символы Re,, Inij означают вещественную и мнимую части по комплексной плоскости ( 1, /).

Действительные выражения компонент волны, совпа­ дающих с осями ох и оу, найдем из условия

Ex= R<Ui Еу = 1тгRe/{(? (/)}.

Представим теперь поляризационную диаграмму эллиптически-поляризованной волны нулевой фазы в виде

жителей с совмещенной мнимой единицей, кроме одного, и, следовательно, раскрытие (ij)' или свертывание ij не

сопровождается никакими изменениями этого выра­ жения.

Разлагая далее coscp и sin ср по формулам Эйлера и группируя соответствующие члены, получаем две фор­

22

Очевидно, эти выражения равнозначны, так как они, во* первых, описывают одну и ту же эллиптически-поляри-

зованную волну (при j умножении их на eJ (<fi_fe)) и, во-

вторых, эти выражения переходят одно в другое путем простой замены i на j и наоборот в круглых скобках,

что согласно (1.4.2) не приводит к изменению комплекс­ ного числа <§. Очевидно также, что равнозначны все выражения (1.4.1) —(1.4.4).

Физическая же интерпретация этих выражений раз­ лична. А именно, эллиптически-поляризованная волна

венной и временной квадратуре и ориентированных вдоль осей поляризационного эллипса (рис. 1.4,а);

—двух одинаковых по амплитуде векторов с фазами

+Ф и —ф, развернутых на —я/4 и я/4 относительно

главной полуоси эллипса поляризации (т. е. находя­ щихся в пространственной квадратуре) (рис. 1.4,6);

—двух одинаковых по амплитуде векторов, находя­

щихся во временной квадратуре и развернутых в про­ странстве на угол —ф и ф относительно главной полуоси поляризационного эллипса (рис. 1.4,в).

23

Эллнптйчески-поляриздванную волну формально можно представить и в виде двух линейных гармони­ ческих векторов, не находящихся ни в пространственной, ни во временной квадратуре, однако физически осуще­ ствить такое разложение не представляется возможным.

ны в произвольном ортогонально-эллиптическом базисе.

Перепишем выражение (1.3.6) в виде

где <рj -f-<р2= <р. Далее показательную форму e_i/<Pl можно

представить в виде комплексного числа через тригоно­ метрические функции по формулам Эйлера: е~‘т =

= cos{pi— (ly)sin cpi. Раскрывая затем совмещенную мни­ мую единицу (ij) согласно правилу (1.3.8), получаем

следующее выражение для эллиптически-поляризован­ ной волны с параметрами поляризации ф'=ф1+ ф2 и 0:

§ = [cos 'р1е“ г/фа — ij sin <р, е",4’2*]Э е ‘9еуф

или

'£ = [cos ?1е_г/<Рае‘8- / sin ?,ег/фа ег (9+*/2)] е/ф. 0-4.6)

Выражение (1.4.6) есть не что иное, как разложение поляризационной диаграммы (1.3.6) по ортогональным эллиптическим ортам

Орты Э, и Э2 ортогональны, так как они имеют одинако­

вую эллиптичность (одинаковая абсолютная величина угла эллиптичности), противоположное направление вращения и их главные полуоси развернуты на я/2.

Кроме того, эти орты синфазны и имеют нулевую фазу. Такие два орта называют базисными или просто

базисом.

Выражение (1.4.5) можно представить и в несколько ином виде, если в последующих выкладках не раскры­ вать совмещенную мнимую единицу— (ij), а предста­

вить ее каке”’1/,1/ « Тогда вместо соотношения (1.4.6)

24

получим

£ = [cos <fle_i/iPi' e!9+ sin ф2е-</' (ч’а+'1/2) e‘e] е'ф. ^ (1.4.8)

Соотношение (1.4.8) есть разложение волны (1.3.6) по двум ортам, у которых углы эллиптичности отличаются на jt/2. Поскольку справедливо равенство

т. е. находятся в пространственной и временной квадра­ турах.

В дальнейшем два орта, находящихся в пространст­ венной и временной квадратурах, будем называть для краткости квадратурными в отличие от ортогональных ортов, которые поляризационно ортогональны, но синфазны. Кроме того, базис будем обозначать только пер­

вым ортом 3i = 3((p, 0), подразумевая при этом, что вто­ рой орт ортогонального базиса есть орт Э (—<р, 9 + я/2),

а второй орт квадратурного базиса — Э(ф + я/2, 0).

'В следующем параграфе покажем связь представле­ ния эллиптически-поляризованной волны в виде ком­ плексных чисел двойной комплексной плоскости с дру­ гими формами ее представления, в частности, с формой представления в виде комплексных векторов, а также докажем соответствие ортогональных и квадратурных ортов двумерного векторного пространства и комплекс­ ных чисел (1.4.7) с совмещенной мнимой единицей. Пока же огарничимся лишь тем замечанием, что если орты выражения (1.4.7) представляют поляризационные диа­ граммы двух когерентных волн одинаковой амплитуды, то эти две волны поляризационно ортогональны и могут быть приняты за орты при разложении эллиптическиполяризованных волн. Это справедливо и для квадра­ турных ортов.

Выражения (1.4.6) и (1.4.8) представляют эллипти- чески-поляризованную волну в ортогонально-эллиптиче­ ском базисе, у которого угол ориентации первого орта равен углу ориентации поляризационного эллипса самой волны (см. выражение (1.4.5)). Найдем теперь выраже­ ние для разложения волны в любом ортогонально-

эллиптическом базисе ЗМфо, 0о). Для этого запишем

25

поляризационную диаграмму волны в виде

где Л0 = 0—0о-

Представив е‘Л0 в тригонометрической форме, перепи­

шем (1.4.10) в виде

единицу — {ij):

g = [cos Дбе_ ‘/Ф— / (г/) sin Д0ег/ф] ei9°.

Далее выносим е~1;Фо из каждого слагаемого в квадрат­ ных скобках и представляем оставшиеся показательные формы в тригонометрической форме:

g = {cos Д0 [cos Д<р — (г/) sin Д?] — / (г/) sin Дб [cos (<р ф- <?0) ф-

+ Щ) sin (9 + ?„)]} е~‘т е‘е°,

Af — f — f 0.

Раскрывая прямоугольные и фигурные скобки, полу­ чаем окончательно

g = [cos Д<р • cos Дб ф- / sin (<р ф- <р0) sin Дб[ e~U4V 9° ф-

ф- [sin Д<р ■cos Дб ф- / cos (f ф- <i>o) sin Дб] X

Выражение (1.4.11) представляет собой разложение эллиптнчески-поляризованной волны в квадратурно­ эллиптическом базисе. Переход к ортогонально-эллип­ тическому базису осуществляется преобразованием вто­ рого орта согласно равенству (1.4.9).

Можно подобрать ортогонально-эллиптический базис так, чтобы амплитуды обеих компонент волны в этом базисе были однаковы. Соответствующее разложение получается следующим:

у 2

26

Это и есть разложение эллиптически-поляризованной

волны в квадратурном базисе Э, = Э(<р— тс/4, 6), Э2=

— Э(? -j-it/4, 6). Проекции вектора вращающегося поля

на эти орты одинаковы по амплитуде и фазе. Преобра­ зование выражения (1.4.12) к ортогонально-эллиптиче­ скому базису дает

ны в ортогонально-круговом бази се. Угол эллиптичности кругополяризованной волны правого направления вра­ щения равен л/4, левого —я/4, поляризационная диа­ грамма

т. е. изменение ориентации главного радиуса поляриза­ ционной диаграммы кругополяризованной волны равно­ сильно изменению фазы этой волны, что, впрочем, ясно и из физических соображений.

Получим теперь формулы для представления эллип­ тически-поляризованной волны в ортогонально-круговом базисе:

Таким образом, проекции эллиптически-поляризованной волны на круговые квадратурные орты нулевой ориента-

27

(шп правого ii левого направления вращения равны соответственно

1.5.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДВОЙНОЙ

к о м п л е к с н о й п л о с к о с т и и к о м п л е к с н ы е в е к т о р ы

Итак, состояние поляризации монохроматической электромагнитной волны вполне описывается числами двойной комплексной плоскости:

стыми соотношениями с параметрами поляризации ф, 0 и фазой ф волны; Е — приведенная амплитуда электри­

ческого поля волны.

Форма (1.5.2) представления эллиптической поляри­ зованной волны тесно связана с ее представлением в ви­ де комплексного вектора. Чтобы показать эту связь, запишем эллиптически-полярнзованную волну в виде суммы ее проекций на оси ох и оу координатной пло­ скости хоу:

или в развернутом виде

£ = х 0(Ех cos <[>, + /£* sin фх) + у0(Еу cos + jEy sin фу).

(1.5.4)

28

Сгруппируем в (1.5.4) отдельно действитель­ ные и мнимые части. Тогда комплексный

вектор (§ будет опреде­ лен как сумма двух действительных векто­ ров, находящихся во временной квадратуре,

образуют вращающийся вектор, конец которого описы­ вает эллипс, являющийся поляризационным эллипсом для рассматриваемой волны, и, таким образом, сами являются сопряженными полудиаметрами этого эллипса

(рис. 1.5).

—>

Любой действительный вектор Е может быть пред­

или в виде матрицы-строки, и тогда сам вектор назы-

вается транспонированным Е = |] ЕХЕУ||.

—►

Соответствие вектора Е комплексному числу Е:

Е<— >Е, есть соответствие

\\ExEy \ \ + - ^ E x + iEy.

29