книги из ГПНТБ / Гусев, К. Г. Поляризационная модуляция

Для описания такого сигнала в рамках корреляционной теории достаточно задать его математическое ожидание

и корреляционную матрицу Ru {t\\ 4), которая совпадает

с корреляционной матрицей аддитивной помехи, в отли-

—*

чие от (7.5.10), не зависит от Я и определяется из вы­ ражения

рис. 7.2 приведена классификация помех, которой мы будем придерживаться в дальнейшем изложении.

Г Л А В А 8

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИЕМА ПМ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ

В радиолинии с П'М сигналами происходит процесс преобразова­ ния временных процессов (напряжений, токов) в пространственновременные (поляризационно-модулированные электромагнитные по­ ля) и обратный процесс преобразования пространственно-временных процессов во временные. Эти преобразования осуществляются поля­ ризационными модулирующими устройствами и передающими антен­ нами на одном конце радиолинии и приемными антеннами с поля­ ризационными селектирующими устройствами на другом. Теория, основанная на рассмотрении только временных процессов на входе

в {36, 38], для радиолиний связи, в которых основным источником помех являются внутренние шумы аппаратуры.

В тех случаях, когда в радиолиниях используются ПМ сигналы и существенное значение преобретают внешние помехи, теория, осно­ ванная на изучении только временных процессов, не позволяет опре­ делить оптимальные схемы, полностью реализующие потенциальные возможности приемопередающих систем, ибо не используются в про­ цессе синтеза все априорно известные различия между помехами и ПМ сигналами, т. е. различия в функциональной зависимости ПМ сигналов и помех от пространственных координат (£т]?]. Этот недо­ статок восполнился в известных работах [13, 25, 37, 38] предложе­ ниями по пространственной и поляризационной селекции сигналов, которые непосредственно не следуют из временной теории статисти­ ческого синтеза оптимальных систем. Рассмотрение ПМ сигналов и помех на входах приемных антенн позволит определить потенциаль­ ные возможности радиолинии с ПМ сигналами и оптимальные си­ стемы пространственно-временной обработки таких сигналов, которые

2Q0

реализуют как частотйо-времейную, так и поляризационную се­ лекцию.

Целью настоящей главы является определение структуры опти­ мальных приемных систем, осуществляющих обнаружение ПМ сигна­

ла S(t; Л) или оценку его поляризационных параметров на основа­ нии принятой смеси '(7.5.15), в течение времени {0; Т].

8.1.ОТНОШЕНИЕ ПРАВДОПОДОБИЯ ДЛЯ ПМ СИГНАЛОВ

На основании выводов, сделанных в гл. 7, оптималь­ ной будем считать систему, формирующую на своем выходе при обнаружении ПМ сигналов функционал от­ ношения правдоподобия, при оценке поляризационных параметров — функцию правдоподобия оцениваемого па­ раметра.

Из выражения, отображающего взаимосвязь услов­ ных вероятностей

P(u)P(S/u)==P(S)P(u/S), (8.1.1)

находим апостериорную вероятность наличия ПМ сиг­ нала

и апостериорную вероятность отсутствия ПМ сигнала

Принимая во внимание, что

P(S/u)]-{- Р (0/и)— 1,

и разделив (8.1.2) на (8.1.3) с учетом (8.1.4), получим абсолютное отношение правдоподобия

Полагая априорные вероятности P{S) и Р ( 0) известны­ ми, часто множитель р)ц считают постоянной величиной,

и тогда выражение

определяет отношение правдоподобия.

201

Апостериорная вероятность P{S[u) из (8.1.5) связана

—► —►

с Л [и (t; Я)] соотношением

Таким образом, отношение правдоподобия определя­ ет вероятность наличия или отсутствия сигнала в реа­ лизации. Поскольку реализация позволяет определить только указанные вероятности, то отношение правдопо­ добия содержит в себе всю доступную информацию о на­ личии ПМ сигнала, которую можно извлечь из опыта по его обнаружению.

При неизвестных априорных вероятностях наличия и отсутствия ПМ сигнала, что является типичным случа­ ем в практике обнаружения, отношение правдоподобия дает все, что можно получить из наблюдения. Иногда в таких случаях полагают, что

p'==q = 0,5 и Ла \и(t\ Я)] = А[и (t; Г)],

т. е. отношение правдоподобия полностью характеризу­ ет вероятность наличия сигнала в реализации.

Если об априорной вероятности наличия сигнала из­ вестно только то, что она мала р < 1, получим ^ 1 и

P (Sju)= pA[u(t; Я)], т. е. апостериорная вероятность бу­

дет пропорциональна отношению правдоподобия. Исполь­ зуя известное в теории вероятности соотношение между вероятностью Р и плотностью вероятности f(x ) случай­ ной величины х, находим

Р (u/S) = / (м/5) du.

Подставляя выражения (8.1.8) в (8.1.6), получаем

Если на входе приемной системы действует аддитив­ ная -смесь (7.4.24), то вероятность получения в реализа-

ции величины Ui(t; Я) совпадает с вероятностью получе­

ния шума

202

Это, в свою очередь, означает, что вероятность полу-

%) — Si(t\ 1) в реализации, содержащей только шум.

Следовательно, при аддитивности ПМ сигнала и шу­ ма имеем

С учетом (8.1.11) выражение отношения правдоподо­ бия в окончательном виде запишется так

где f(uf0) — условный функционал плотности вероятности

реализации и (t\ Я), t G [0; Т\, при условии, что выборка

взята из совокупности (8.1.10а) при S(£;/l) = 0.

В заключение отметим, что все входящие в (7.4.24) компоненты будем считать узкополосными со средней частотой о)0. Длина интервала наблюдения удовлетворя­ ет неравенству

Г>2я/соо,

соотношение между степенью узкоиолости и (t; I) и ин­ тервалом наблюдения Т может быть произвольным. Ко­

нец выборки будем считать совпадающим с текущим моментом времени t. Обработка выборки совершается

практически мгновенно, что позволяет в момент време-

—у

ни ti определить А [и (t; Я)], а значит, и вероятность нали­

чия или отсутствия ПМ сигнала внутри выборки в неко­ торый, вполне определенный момент времени. Этот мо­ мент определяется настройкой анализирующего устрой­ ства, заключающейся в том, что на его выходе образу­ ется отношение правдоподобия наличия ожидаемого ПМ

203

Известно, что запаздывание 4-момента принятия ре­ шения от момента прихода сигнала должно быть не меньше длительности сигнала плюс время корреляции помехи.

8.2. ФУНКЦИОНАЛ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОМ ПМ СИГНАЛЕ

Для установления вида функционала A [u(t; Я)] восполь-

*•>

зуемся разложением процесса u(t; Я) в ряд по ортогональ

ным функциям. При модуляции параметров поляризации электромагнитной волны передаваемым сообщением бу­

дет сформирован ПМ. сигнал S ( t ; к) с изменяющимися

амплитудами и фазам ортогональных составляющих

^

S i(4 к) и S2{t\ к). Таким образом, обеспечивается пере­

дача и прием информации как бы по двум каналам (пер­ вому и второму).

Известно, что если элементы корреляционной матри­

ванная на данном интервале [0; Т] совокупность вектор­

ных функций, удовлетворяющих уравнению

Предполагается, что интеграл (8.2.3) сходится в сред­ нем квадратическом, а также, что ряд (8.2.1) сходится

в среднем квадратическом к процессу n(t), Статистиче-

—>

ские характеристики процесса n(i), таким образом, во­

площаются в совокупности случайных коэффициентов разложения {Л/Д Например, из (8.2.3) и (8.2.1) получа-

204

ем п ер в ы й и в т о р о й м о м ен т ы э т и х с л у ч а й н ы х в ек т о р о в :

вокупности векторных функций {Vh{t)} является произ­

вольным, то можно выбрать эту совокупность так, чтобы вторые моменты коэффициентов разложения были тоже ортогональны, т. е. чтобы выполнялось равенство

неотрицательных чисел, если процесс n(t) действитель­

ный.

Обозначив Nh — Y^nHh, можно формально представить

ряд (8.2.1), а также условия нормированное™ и ортого­ нальности соответственно:

П

205

n(t). Таким образом, случайный векторный процесс

представляется в виде суммы квазидетерминированных векторных процессов вида

"j/" пъУъ. (0>

где пи — случайные коэффициенты, определяемые взве­

шенным интегрированием этого процесса согласно

(8.2.7).

При выполнении вышеизложенных условий разложе­ ние (8.2.8) является ортогональным разложением про-

цесса n(t) на интервале [0; Т], a {Vu(t)} и {Ль}—соответ­

ственно совокупности собственных векторных функций

исобственных значений, соответствующие этому разло­ жению. Эти собственные функции и собственные значе­ ния имеют нулевые средние, попарно не коррелированы

иимеют одинаковые, равные единице дисперсии. Они за­

висят от корреляционной матрицы Rn {h\ 4) процесса

n(t) и определяются из решения однородного линейного

интегрального уравнения

[ Rn (4; t) Vk(4 № = hVu (t), t e [0; T\. (8.2.9)

6

—^

Если среднее значение случайного процесса n(t) отлич-

—^

но от нуля и равно п0, то разложение (8.2.8) следует

использовать для отклонения случайного процесса от его среднего

причем ядром интегрального уравнения (8.2.9) теперь

о

и исходя из векторной формы теоремы Мерсера для дву­ мерных действительных функций, можно получить пред-

206

мы можем представить поступающую на вход двухком­ понентной приемной антенны аддитивную смесь электро­ магнитных полей ПМ сигнала и помехи в виде

vk характеризует мощность k -к реализации ПМ сигнала.

Пусть теперь нормальный случайный векторный про- .

цесс n(t) задается своими координатами, т. е. конечной

совокупностью п выборок пи пг, . .., пп, взятых через ин­ тервалы времени A=Tjn на интервале наблюдения

[0; Г]. Тогда ортогональные компоненты векторов щ, t= 1, 2, ..., п, можно рассматривать как две совокупно­ сти п нормальных случайных величин

207

Корреляционная матрица этих случайных величин будет блочной размером 2«Х2га:

Совместное распределение 2n наблюдаемых случайных

величин представляет собой 2«-мерную нормальную функцию распределения

Если в качестве координат выбраны случайные векторы,

ортогональных компонент этих векторов существенно упрощается. - Действительно, если n(t) — нормальный процесс с нулевым средним, то его координаты у Я&ПьУь (t)

208

представляют нормальные некоррелированные, а следо­ вательно, и независимые векторы. Поэтому их 2п-мерное распределение представляет собой произведение п дву­

мерных нормальных функций_распределения независи­ мых случайных величин VhnnVik(t) и ]f ЪфъУ^{t),

имеющих нулевые средние и единичную корреляционную матрицу,

Аналогично, для аддитивной смеси ПМ сигнала и поме­ хи имеем

деленная постоянная величина, которую можно рассчитать,

зная уравнение ПМ сигнала S (t; Я)и статистические свойст-

терминированного ПМ сигнала оптимальным можно счи­ тать приемное устройство, формирующее на своем вы­ ходе