книги из ГПНТБ / Гусев, К. Г. Поляризационная модуляция

из которого, меняя порядок суммирования и интегриро­ вания, получим

A[u(t; Я)];

где

Умножим (8.2.29) слева и справа на матрицу R в ; Q и проинтегрируем по ts:

Тогда, подставляя в правую часть последнего выражения

разложение Rn (ti',t2) в соответствии с векторной формой

теоремы Марсера

k = \

и используя условие ортогональности, а также разложе­ ние (8.2.29), получаем

210

Оk=\

или

т

Исходя из (8.2.28), можем отметить, что в случае полностью детерминированного ПМ сигнала функцио­ нал отношения правдоподобия включает в себя операции скалярного перемножения вектора (матрицы-строки) принимаемой смеси электромагнитных полей Г1М сигна-

ла и помехи и (t; Я) на некоторый вектор (матрицу-стол-

-У

бец) &l(t; Я), удовлетворяющий интегральному уравнению

(8.2.33), и усреднение результата перемножения на интер­ вале времени [0; Т\. С учетом изложенных ртаосуждений

функционал отношения правдоподобия запишется в виде

о

6

где "&(t; Я) определяется из интегрального уравнения

(8.2.33).

Выражение (8.2.34) для функционала отношения

правдоподобия можно представить в другом виде, опре-

—У

делив ft (if; %) как

т

о

где матрица 0 (t; tt) определяется из интегрально-матрич­

ного уравнения

6

/ — единичная матрица. Подставляя (8.2.35) в (8.2.34), получаем

Из полученных выражений (8.2.34), (8.2.37) находим, что функционал отношения правдоподобия зависит от вида аддитивных помех, на фоне которых принимается ПМ сигнал, и самого полезного сигнала. В работах [23, 25] показано, что в регулярном случае, когда функцио-

нал отношения правдоподобия существует Л [и (t\ А)]> О,

при любом конечном интервале наблюдения [0; Г] прави-

ло, использующее A [u(t\ Я)], неизбежно приводит к веро­

ятностям ошибочных решений, отличным от нуля. В син­

гулярном случае, когда функционал отношения правдо- —> —>

подобия A [u(t\ А.)] обращается в нуль или неограничен­

но возрастает, существует возможность достоверных ре­ шений при любом конечном интервале наблюдения [0; Т].

Так как функционал отношения правдоподобия A[u(t\ А)]

является монотонной функцией, то на практике можно пользоваться не самим функционалом, а произвольной

взаимно-однозначной функцией ср{Л[«(/; А)]}, в частности

—>

его логарифмом 1пЛ[«(^; А)].

8.3. СТРУКТУРА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ПМ СИГНАЛА

Положим, что приемная система должна решать про­ стейшую задачу оптимального обнаружения ПМ сигна­ ла, состоящую в проверке простой гипотезы Я0, что на­ блюдаемый векторный процесс — стационарный, нор­ мальный, с нулевым средним значением, против простой альтернативы Ни что этот процесс также нормальный,

но со средним значением 5(/;. А).

Такая постановка задачи и связанный с .ней расчет функционала отношения правдоподобия имеет особую практическую важность для проектирования приемных

212

систем ПМ сигналов, так как на этапе проектирования часто приходится задаваться сигналом, который необхо­ димо обнаружить. Выбирая расчетный ПМ сигнал, заве­ домо неблагоприятный для обнаружения, мы в какой-то мере следуем минимаксному критерию обнаружения и освобождения на этапе проектирования от неопределен­ ности, связанной с незнанием априорной информации.

На основании выводов, сделанных выше, запишем функционал отношения правдоподобия в виде

—>

стемы, а корреляционный интеграл g(K) представляет

собой выходной эффект, который должна формировать приемная система для целей обнаружения ПМ сигнала. В теории синтеза оптимальных приемных систем ПМ

сигналов можно считать, что g(K) определяет необходи­

мую и достаточную статистику или выходной эффект оптимальной приемной системы ПМ сигналов, если эти сигналы детерминированы.

Пусть ПМ сигнал принимается на фоне деполяризо­ ванного поля аддитивной помехи с обратной корреляци­ онной матрицей

213

нальном базисе; £ = Ех(Я) -f- Ег (Я) — полная энергия ПМ

сигнала.

В общем случае некоторые параметры ПМ сигнала могут влиять на его энергию, поэтому они называются энергетическими, в отличие от неэнергетических пара­ метров, от которых энергия сигнала не зависит.

Оптимальный выходной эффект приемной системы (8.3.5) относится к аппроксимации аддитивной помехи

Рис. 8.1.

полем белого шума. Из его выражения находим, что оптимальная структурная схема приемной системы об­ наружения детерминированного ПМ сигнала строится

по двухканальной схеме, как это показано .на рис. 8.1.

—у —>

Над принимаемым сигналом ’u(t;'X) в структурной схе­

ме осуществляется линейная операция, заключающаяся в формировании корреляционного интеграла (8.3.5) при известных значениях параметров поляризации обна­ руживаемого ПМ сигнала. Это значит, что оптимальная приемная система обнаружения детерминированного ПМ сигнала должна осуществлять операцию скалярного

результат подвергать усреднению на интервале време­

ни [0; Т\.

—>

Выходные эффекты g{(X) после суммирования подают­

ся на решающее устройство, которое при сравнении

ё М ~ Si ('*-) + gVW с порогом, определенным в соответ-

214

N

ствии с выбранным критерием, выдает решение «.ПМ сиг­ нал есть» или «ПМ сигнала нет». Корреляционный йыгод формирования (8.3.5) можно заменить эквивалентным методом оптимальной фильтрации. В этом случае основ­ ными элементами оптимальной приемной системы явля­ ются два линейных фильтра с импульсными характери­ стиками

(рис. 8.2). hi(t) представляют собой зеркальное отобра­ жение ортогональных компонент Si(t\ К) относительно

Рис. 8.2.

оси t = 0, сдвинутых на U. Ограничением, налагаемым на временной сдвиг to, является условие физической

реализуемости этих фильтров

Пусть теперь аддитивная помеха имеет корреляционную матрицу

О— *,) + 3! р.(*1— *i)

т. е. ее взаимно независимые ортогональные компоненты представляют собой сумму белого и коррелированного шума. Если подставить корреляционную матрицу

(8.3.9) в (8.2.33), то получим

(8.3.10)

215

гд е

Vj = ^/a2, i = 1, 2.

Положив, что Si(t; Я) и необходимое число гих произ­

водных на концах интервала наблюдения [0; Т] обраща­

ются в нуль, а также справедливость представления преобразования Фурье от корреляционной функции

где Ni((d2) и /\(co2) — полиномы с действительными

коэффициентами, мы можем интегральные уравнения (8.3.10) свести к дифференциальным уравнениям вида

Определив по изображениям функций 'дг(р) их ориги-

налы, можно представить функции $i(t; Я,) двумя спо­

собами:

216

где

/00 ~ т Mt i—P*) ехР (рО

О;

М 0 = 2л

dp.

-J00 р ( - //) + - М (-/»*)

Если основной вклад в неполяризованную помеху вносит

поле белого шума, то X) лучше определять в соот­

ветствии с (8.3.15). При взаимно независимых компо­ нентах, у которых pi(ti—и ) Ф ‘0 при значительно

превышающих по своей интенсивности в полосе спектра ПМ сигнала компоненты поля белого шума, лучше поль-

зоваться $i{t\ X), определяемыми из (8.3.14). Таким

образом, структурную схему оптимальной приемной си­ стемы, осуществляющей обнаружение детерминирован­ ного ПМ сигнала на фоне поля неполяризованной адди­ тивной помехи, ортогональные компоненты которой в об­ щем случае имеют pi(ti—Ь)ФО при 1\ф12, можно пред­

ставить в двух вариантах, зависящих от способа получе-

-У

ния функций X), представляющих собой опорные

сигналы местного гетеродина корреляционного приемни­ ка или импульсные характеристики соответствующих оптимальных линейных фильтров в ортогональных кана­ лах приемника.

На рис. 8.3 представлена структурная схема опти­

мальной приемной системы для получения выходного

—>

эффекта g{X), когда используются опорные сигналы,

определенные согласно (8.3.15). В этом случае каждый ортогональный канал состоит из двух каналов, причем

один из них полностью согласован для приема Si(t\ X)

на фоне ортогональных компонент поля белого шума, другой — на фоне ортогональных коррелированных ком­

понент поля неполяризованной помехи.

—>

Опорные сигналы #i(/; X) для первых каналов опти­

мального приемника определяются в соответствии с (8.2.33) как

а для вторых каналов, если положить, что в (8.3.9)

Oi2pi = a? exp (—Pi | ti—t21),

F [of exp ( - P i | h - t 21)]= 20j2Pi/ (pi2+ о 2) , (8.3.17)

217

как

Если вместо корреляционного метода формирования оптимального выходного эффекта используется метод оптимальной фильтрации, то вид частотных характери-

Рис. 8.3.

стик оптимальных линейных фильтров в ортогональных каналах с точностью до постоянных множителей опре­ деляется выражениями:

— для обнаружения детерминированного ПМ сигна­ ла на фоне поля белого шума

— для обнаружения детерминированного TIM сигна­ ла на фоне неполяризованного поля помехи, взаимно независимые компоненты которого имеют рi(tx—

218

при t i ^ k ,

характеристики оптимальных линейных фильтров в орто­ гональных каналах приемника определяются для пер­ вого случая спектрами ортогональных компонент ПМ сигнала, а для второго случая — еще и соотношениями частотных характеристик ортогональных компонент по­ мехи и ИМ сигнала.

В общем случае детерминированный ИМ сигнал при­ нимается на фоне частично поляризованной помехи, кор­ реляционная матрица которой отлична от диагональной. Для этого случая функционал отношения правдоподобия

как это показано на рис. 8.4, что значительно усложняет структурную схему оптимального обнаружения детер­ минированного 'ПМ сигнала на фоне частично поляри­ зованной помехи. Однако этих усложнений можно избе­

элементы корреляционной матрицы \Яц, не лежащие на

главной диагонали, т. е. при комплексны, однако они являются комплексно-сопряженными. Матрица,

у которой Rij='R*; при всех i и /, называется эрмитовой,

и ее можно диагонализировать с помощью унитарного преобразования. Тогда в соответствии с (8.2.36) диагонализируется и обратная ей корреляционная матрица

е = ^ ‘.

219