книги из ГПНТБ / Гусев, К. Г. Поляризационная модуляция

Пусть заданы семейство функций распределения

деляющая закон, по которому принимаются решения приемной системой. Требуется определить оптимальное правило выбора решений, т. е. оптимальный вид функ-

—V —^

ции у[« (t; Я)]. Такая формулировка справедлива как

для системы обнаружения ПМ сигналов, так и для си­ стем оценки параметров этих сигналов, однако в каж­ дом конкретном случае необходимо взять соответствую­ щие функции и область возможных решений или оценок. Полученные понятия могут быть использованы для постановки задачи оценки качества оптимальных и суб­ оптимальных систем с ПМ сигналами. В общей теории синтеза оптимальных систем, как правило, используют методы оценки приемных систем, позволяющие затем определить критерии качества систем, относительно ко­ торых определяется оптимальность.

дискретного пространства интеграл по <§* необходимо заменить на сумму.

правила решений Р[у(и)/п] определяется как безусловное

170

Необходимо отметить, что функция потерь может приписывать каждой комбинации ПМ сигнала и реше­ ния (оценки) некоторую стоимость С, не зависящую от

правила выбора решения Р [у (и) /и],

сигнала S ((; Я), если известно решение Y Iй (t‘, Я)].

В этом случае средняя оценка потерь представляет собой известное выражение неопределенности (ненадеж­ ности) из теории информации.

Выражение оценок (7.1.5) и (7.1.6) можно предста­ вить в виде, при котором четко определяются вероят­ ности ошибок, соответствующие различным решениям.

— V — V

Обозначив через Рг [y’(«)/S] условную вероятность то­

го, что приемное устройство ПМ сигналов выдает реше-

*t

Вэтом случае выражение условного риска примет вид

г{S ;P [T («)/«]} =

HI

Далее можно сравнивать решающие системы ПМ сиг­

налов, определив для каждой из них средние оценки по- —^ ►

терь i£{/(S); Р[ущ)/и]} или значения средних рисков

R {f (S); Р [у (u)ju}} = f d t \ г {S, Р [у (u)ju}} f (S) dS. T g*

(7.1.10)

Таким образом, сформулирован количественный ме­ тод различения как оптимальных, в смысле выбранных критериев, систем, использующих ПМ сигналы, так и квазиоптимальных, причем сравнение выполнено на ос­ нове общего критерия, а имеющуюся информацию можно учесть способом, наиболее полно соответствую­ щим той или иной используемой системе с ПМ сигна­ лами.

Статистическое моделирование систем связи с ПМ сигналами и синтез таких систем требуют учета некото­ рых особенностей обнаружения и оценки параметров ПМ сигналов. Поэтому необходимо более подробно остановиться на этих вопросах, чтобы конкретизировать некоторые аспекты основных задач.

7.2. ЗАДАЧА ОБНАРУЖЕНИЯ ПМ СИГНАЛОВ, ЯВЛЯЮЩИХСЯ ЗАДАННЫМИ ФУНКЦИЯМИ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ

В общей постановке, которая дана в § 7.1, задача синтеза опти­ мальной системы связи с ПМ сигналами в настоящее время прак­ тически не разрешима. Это объясняется тем, что трудно определить

статистические характеристики пространства U, включающие в себя

как статистику аддитивных и мультипликативных помех, так и ста­ тистику сообщений и ПМ сигналов. Поэтому общую задачу опре­ деления оптимальной системы связи с ПМ сигналами необходимо разделить на две части и раздельно оптимизировать задачу фор­ мирования ПМ сигналов из сообщений, т. е. оптимизировать опера­ тор Гр, и задачу оптимизации приема ПМ сигналов, т. е. оптимизи­ ровать Тп при заданной статистике Тр и определенном критерии

качества.

В настоящей работе мы остановимся на второй задаче и анализе

функцию S (t\ X) времени и передаваемого сообщения, которое

заложено в поляризационной структуре сигнала, а также задана

172

систем связи с учетом мультипликативных помех получается слож­ ным, требующий особого рассмотрения. Поэтому мы воспользуемся здесь традиционной идеализацией — делением на быстрые и медлен­ ные флюктуации параметров канала связи с ПМ сигналами, кото­ рая в большинстве случаев отвечает реальным условиям работы радиолиний связи.

При медленных флюктуациях будем считать, что время соб­

наблюдения можно считать p(^)=const, и тогда сигнал на входе приемной системы будет иметь вид

!М ехр (/?,)

Н-2 ехр (/<ра)

В случае быстрых флюктуаций, когда время собственной и взаимной корреляции параметров канала связи меньше интервала повторения, но значительно больше длительности элементарных ПМ

s0( * - f t; М-

Эти идеализации позволяют представить ПМ сигнал на фоне аддитивных и мультипликативных помех в виде

чайными, но независящими от времени величинами, учитывающими воздействие мультипликативных помех.

Задача обнаружения ПМ сигнала эквивалентна задаче про­ верки гипотез На и Н\. После приема некоторой реализации и из

пространства U наблюдатель должен принять решение относительно нулевой гипотезы Но, соответствующей отсутствию ПМ сигнала, или альтернативной Hi, соответствующей присутствию ПМ сигнала. Вы-

173

бор одной из гипотез при наблюдении каждой из возможных реа­

лизаций и эквивалентен разделению пространства U на два подпро-

странства U0 и £/ь Основная задача заключается в том, как опти­

мальным образом разделить пространство U, при этом сразу воз­

никает вопрос о критерии оптимальности.

Подход к задаче обнаружения на основе теории статистических решений был предложен в известных работах [23, 25, 35, 36, 41], где указывается, что приемная система в этом случае должна либо выносить некоторое суждение о неизвестной величине, т. е. быть ре­ шающей, либо давать наблюдателю апостериорные вероятности на­ личия и отсутствия сигнала, на основании которых наблюдатель должен принимать решения. Естественно, что в последнем случае неизбежна зависимость качества решений от субъективных качеств

Потерям гц можно приписать стоимости эксперимента, стоимость

действий предпринятых после принятия решений, а также стоимость

мы будем получать различные критерии оптимальности обнаруже­ ния. Используя выражение '(7.2.5), требование среднего риска соглас­ но (7.1.10) можно записать как

174

Решение «ПМ сигнал есть», когда он на самом деле отсутствует, называется ошибкой первого рода или «ложной тревогой», решение «ПМ сигнала нет», когда он на самом деле есть, называется ошиб­ кой второго рода или «пропуском сигнала».

Из (7.2.8) видно, что качество системы обнаружения ПМ сигналов можно характеризовать вероятностью ложной тревоги и вероятно­ стью пропуска сигнала, зависящими от правила решения, так как величина qrm+pru фиксирована при заданной функции потерь и

не зависит от правила решения. Многие критерии можно определять

рого рода. Согласно критерию идеального наблюдателя оптимальной системой обнаружения считается система, минимизирующая полную вероятность неправильного решения:

Сравнивая выражение (7.2.10) с (7.2.8), находим, что критерий идеального наблюдателя относится к критерию минимума среднего риска с матрицей потерь.

0 1

(7.2.11)

1 0

Следовательно, при критерии идеального наблюдателя правильным решениям сопоставляются нулевые потери, а ошибочным — одинако­ вые потери. При критерии Неймана — Пирсона минимизируется оптимальной системой обнаружения вероятность пропуска сигнала

6'^0

при заданном значении вероятности ложной тревоги

175

Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет сфор­ мулировать эту задачу как отыскание минимума величины

При критерии взвешенных комбинаций оптимальной считается си­ стема обнаружения, максимизирующая величину

т. e. система обнаружения, дающая максимальную вероятность пра­ вильного обнаружения при минимальной вероятности ложной тре­ воги. С учетом равенств (7.2.7) находим, что условие (7.2.17) экви­ валентно условию

Из рассмотренных критериев можно придти к общему выводу, что требование(7.2.18)можно представить в виде

ности ошибок первого и второго рода, что соответствует фиксиро­ ванным значениям функции потерь, либо может быть задана одна из вероятностей, а коэффициент при ней является неизвестным и находится из условия заданного значения вероятности. Если пра­

вило решений Р[у/и] рандомизированное, то вероятность ложной

тревоги равна

и

176

Таким Образом, правило решений, оптимальное согласно ирйтерию (7.2.24), заключается в следующем: при приеме какого-либо

сигнала и вычисляется отношение правдоподобия Л(и) и сравни­

вается с порогом

пространство U на две неперекрывающиеси области: U0 и Ui. Так

как все рассмотренные критерии могут быть сведены к требованию (7.2.24), то оптимальная операция для них заключается в вычис­ лении отношения правдоподобия, которое сравнивается с порогом данного критерия. Из выражений (7.2.8), (7.2.20) следует, что в слу­ чае матрицы потерь общего вида (7.2.4) порог сравнения

Ц Гщ—~Лю

(7.2.30)

РП о — г п

Впрактических исследованиях систем обнаружения наибольшее рас­ пространение нашли критерий идеального наблюдателя, для кото­

и критерий Неймана-Пирсона, для которого п учетом (7.2.16)

Критерий взвешенных комбинаций в соответствии с матрицей по­ терь (7.2.19) имеет порог ограничения

с которым сравнивается отношение апостериорных вероятностей,

выражается через порог х, с которым сравнивается А(и), по фор'

муле

178