книги из ГПНТБ / Гусев, К. Г. Поляризационная модуляция

ная волна, то оба решения (1.1.3а) и (1.1.36) следует рассматривать как единую плоскую гармоническую

электромагнитную волну, вектор Е которой в процессе распространения вдоль оси oz меняет не только свою

величину, но и ориентацию. Конец вектора Е в неподвиж­

ной плоскости, перпендикулярной направлению распро­ странения, описывает замкнутую фигуру, представляю­ щую собой эллипс, который в частном случае равенства фаз о|ц и ф2 вырождается в прямую линию, а в случае

вращения вектора Е во всех случаях определяется вели­

чиной разности фаз А. На фигуре, являющейся годо- —>

графом вектора Е, направление вращения указывается стрелкой, и эта фигура называется поляризационной диаграммой, поляризационным эллипсом или эллипсом

поляризации электромагнитной волны. Направление вращения считается правым, если для наблюдателя,

смотрящего навстречу движению волны, вектор Е вра­

щается против * часовой стрелки.

Параметры, характеризующие поляризационную диа­ грамму (или просто параметры поляризации), можно ввести различными способами. Для гармонических воли чаще других употребляются параметры, характеризую­ щие эллиптичность и ориентацию поляризационной диа­

граммы. Как уже было сказано в начале главы, при рассмотрении вопросов передачи поляризацнонно-моду- лированных сигналов предпочтительнее оперировать с угловыми величинами, характеризующими параметры поляризации. Соответствующие углы отсчитываются от одной из полуосей эллипса поляризации. Эту полуось будем называть основной или главной. От того, какая из четырех полуосей эллипса поляризации принимается за главную, зависят пределы однозначного определения параметров поляризации. Мы будем одинаково часто использовать следующие два понятия главной полуоси

10

полуоси ox; 2) большая или малая полуось, ближайшая к положительной полуоси ох.

эллипса поляризации и ближайшей к ней диагональю прямоугольника, описанного вокруг поляризационного эллипса так, что его стороны параллельны большой и малой осям эллипса (рис. 1.1). Угол ф отсчитывается в сторону вращения поля и имеет знак плюс, если вра­ щение правое, и минус, если вращение левое;

ф — фаза эллиптически-поляризованного поля — фа­

зовый угол проекции вращающегося вектора E(t) на

направление главной полуоси эллипса поляризации. Таким образом, эллиптически-поляризованная волна бу­ дет иметь нулевую фазу, если в моменты времени, крат­ ные периоду высокочастотного колебания, направление

вектора Е электромагнитной волны совпадает с направ­

лением главной полуоси поляризационного эллипса. Можно ввести и полную фазу ф(/) эллиптически-поля- ризованной волны:

Полная фаза в некотором (не постоянном в течение одного периода колебания) масштабе определяет угол ■0 (f) между главной полуосью поляризационного эллип­

И

моменты времени, когда E(t) совпадает с полуосями поляризационного эллипса, имеет место равенство ф = 0 . В остальные же моменты времени величина угла 0 на­

ходится из соотношения

откуда

&(0 = arctg[tg?tgHOl +

sign {sin <рsin ф(0}[1 -—sign {cos<f> cos ф (<)}], (1.1.6)

где символ sign {а} означает „знак а“, т. е.

На поляризационной диаграмме кроме'направления главной полуоси поляризационного эллипса и направ­ ления вращения вектора поля будем изображать мгно-

венное положение вектора Е в момент времени / = 0.

Тогда угол между вектором Е и главной полуосью будет

приближенно определять фазу ф эллиптически-поляри- зованной волны. Положительные значения ф отклады­ ваются в сторону вращения поля.

В дальнейшем угол 0 будем называть фазой поля­ ризационной диаграммы в отличие от фазы ф волны.

На рис. 1.1 изображена поляризационная диаграмма эллиптически-поляризованной волны правого вращения, распространяющейся в направлении оси oz. Параметры

этой поляризационной диаграммы следующие: угол

вого определения главной полуоси эллипса поляризации значения угла ориентации лежат в пределах —я/2^ ^ 0^ я / 2, угла эллиптичности — в пределах —л /4^ ср ^

<1я/4, а фазы — в пределах —я ^ ф ^ я . Для второго определения главной полуоси эллипса поляризации зна­ чения угла ориентации лежат в пределах —я /4^ '0^ я /4, а угла эллиптичности — в пределах —я /2^ 'ф ^ я /2. Зна­ чения фазы ф лежат в тех же пределах, что и в преды­ дущем случае.

В дальнейшем мы получим общее выражение для поляризационной диаграммы, позволяющее формально

12

задавать ср и 0 в больших пределах, причем это общее

выражение всегда может быть приведено в соответствие с первым или вторым определением параметров ф и 0.

Следует отметить, что если в последующем при за­ писи электромагнитной волны угол эллиптичности при­ нимает значение |ф | ^ л /4 , угол 0 будет заключен между осью о х и большой полуосью эллипса поляризации, ко­

торая в этом случае принимается за главную.

1.2. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИ-ПОЛЯРИЗОВАННОИ ВОЛНЫ

Для четкого понимания последовательности преобразования поляризации электромагнитной волны различными устройствами ча­ сто желательно графически представить поляризационную структуру волны в различных точках этого устройства. Вычислять каждый раз параметры поляризации и строить поляризационную диаграмму не совсем удобно, так как эти операции связаны с большими затратами

времени. Однако вид поляризационной диаграммы можно прибли-

—>

женно оценить и без построения годографа вектора Е, если изве­

стны соотношения между амплитудами и фазами двух ортогональ-

ных линейно-поляризованных составляющих вектора Е и их ори­

ентация в пространстве. При этом графическое представление ука­ занных компонент в пространстве играет не последнюю роль при формировании в сознании пространственно-временного представ­ ления эллиптически-поляризованной волны. Возникает вопрос, с ка­ кой подробностью нужно графически изображать каждую из со­

ставляющих вектора Е, чтобы достаточно точно и правильно пред­

ставить себе вид поляризационной диаграммы этой волны? Гармоническая линейно-поляризованная волна, распространяю­

щаяся вдоль оси ог и имеющая в качестве плоскости поляризации

■У

плоскость хог, полностью определяется законом изменения вектора Е

згой волны:

распределение мгновенных значений вектора E(t, z ) в дискретных

точках оси ог в начальный момент времени. Распространение волны можно представить как перемещение такого изображения волны вдоль оси ог с фазовой скоростью Рф.

Для представления линейно-поляризованной волны пет необхо­

димости изображать все распределения вектора Е. Достаточно

изобразить только лишь положение и длину вектора Е в момент Времени t = 0 в точке z = z max-

Величина z max определяет положение ближайшего к началу

координат положительного максимума волны и, таким образом,

13

определяет фазу волны; длина вектора в точке z = z max характе­

ризует амплитуду волны, а положение вектора определяет ориен­ тацию его в пространстве. Остальную картину распределения век­

тора Е можно без особого труда представить и без графического

построения.

Таким образом, гармоническую линейно-поляризованную волну

Тогда любая эллиптически-поляризованная волна может быть пред­ ставлена в пространстве двумя линейными векторами, сдвинутыми относительно начала координат на расстояния

2i=TpiA,/2:rt и z2=\Sp2X/2n,

где т|>1 и ф2 — фазы векторов; X — длина волны в среде, в которой она распространяется (рис. 1.3). В дальнейшем масштаб оси ог умножаем на 2п/Х, так что вдоль этой

Фч+фУ

Векторы Ei и Ег могут быть и не взаимно перпендикулярными (не ортогональными). Кроме того, в общем случае' осям ох и оу

можно сопоставить не только линейные орты, но и ортогональные орты произвольной эллиптической поляризации. Тогда рис. 1.3 будет гра­ фически отображать представление эллиптически-поляризованной волны в произвольном ортогонально-эллиптическом базисе разло­ жения. Соответственно в этом базисе можно построить и свою поляризационную диаграмму поля. Как известно [15], такое пере­ строение поляризационной диаграммы соответствует смещению точ­ ки отсчета на сфере Пуанкаре в точку, соответствующую одному из ортогональных ортов, по которым раскладывается эллиптическияоляризованная волна.

1.3.ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИ-ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ВОЛНЫ НА ДВОЙНОЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Эллиптически-поляризованная гармоническая волна в ортогонально-линейном базисе разложения в ком­ плексной форме может быть записана в виде

Е на оси ох и оу соответственно. В последующих записях

деляет эллиптически-поляризованную волну, поляриза­ ционная диаграмма которой представляет собой эллипс

15

или

Выражение (1.3.3) есть форма записи эллиптическиполяризованного поля на двойной комплексной плоско­ сти: временной ( 1, j) и пространственной ( 1, г).

Представляя произведение ij как совмещенную мни­

мую единицу, получаем

плоскости хоу, на угол 6 в положительном направлении,

т. е. против движения часовой стрелки, если смотреть -со стороны, в которую направлена ось oz, соответствует

умножению комплексного изображения Ё вектора Ё на комплексной плоскости ( 1, г) на экспоненциальный множитель еiв. Поэтому запись на двойной комплексной

плоскости поляризационного эллипса с углом эллиптич­ ности ф, но повернутого на угол 0 относительно оси ох

примет вид

Фактически это соответствует замене неподвижной ком­ плексной плоскости ( 1, /), на которую трансформиру­

ется форма представления гармонической величины, соответствующей электрическому полю лпнейно-поля- ризовапной волны, вращающейся с частотой со, ком­ плексной плоскостью. Поскольку выражение

определяет все параметры поляризационной диаграммы, то комплексное число (1.3.6) можно считать формой записи поляризационной диаграммы или просто поляри­ зационной диаграммой. Это же число, умноженное на

_ /“С

е , представляет гармонический вращающийся вектор

E{i) в плоскости хоу.

16

Форма представления Млиптичёскй-поляризбванной волны в виде (1.3.5) не только дает компактную ее запись, но позволяет в сокращенном виде производить многие математические выкладки при преобразовании поляризации волны, при представлении ее в различных базисах, сокращает расчеты при нахождении спектров эллиптически-поляризованных и поляризационно-моду- лированных сигналов, делает многие расчеты, четкими и наглядными. Все эти качества формы представления

нейшем на примерах. Сейчас же определим алгебраи­ ческие операции над числами типа (1.3.6), которые мы будем использовать в дальнейшем.

Множество К чисел типа

(1.3.7)

где Е — действительное число, вместе с полем М ком­

плексных чисел типа

и полем J комплексных чисел типа

1arg р

где индекс i и у у изображения комплексного числа

означает соответствующую мнимую единицу, т. е. числа

сти ( 1, i) образуют комплексное линейное пространство,

для которого справедливы следующие линейные опе­ рации.

1. Для любых а, Ъ из К a + b= b+ a.

2. Для любых а, Ъ, с из К

(а + Ь) +с = а+ (Ь+ с) =а + Ь + с.

3. а+ 0= а, где 0 — нулевой элемент множества К.

4.Для любого элемента а из К существует противо­ положный элемент 5= —а такой, что й+ 5= 0.

5.1 • а= а.

2—667

Свойство (6) коротко можно записать в виде

ляло линейное пространство.

Первые пять линейных операций пояснений не тре­ буют. Остановимся подробнее на свойстве (6).

Выражение (1.3.7), умноженное на гармонический мно­ житель еУ(ш*“*г), описывает гармоническую волну эл­ липтической поляризации. Квадрат модуля этой вели­

сывает поляризационную диаграмму этой волны, а этот

ной единице (с единичной амплитудой). Умножение (1.3.6) на комплексное число е‘во означает разворот поляриза­ ционной диаграммы этой волны на угол 30, а умноже­ ние на множитель е,фо— изменение фазы этой волны на

угол фоЭти две операции могут быть выполнены одно­ временно или последовательно и независимо друг от друга. Такова физическая интерпретация свойства (6)

комплексных чисел типа (1.3.6), (1.3.7), когда они используются для описания волн с вращающейся поля­ ризацией.

Для того чтобы множество чисел К составляло коль­

цо, необходимо определить для этих чисел операции сложения и умножения [22]. Определим сначала вторую операцию, т. е. умножение, причем определим ее так,

чтобы при умножении двух чисел <gi и <§2 типа (1.3.7)

показатели степеней при одинаковых мнимых единицах складывались. Комбинацию из двух мнимых единиц (ij)

назовем совмещенной мнимой единицей и будем заклю-

18

чать ее в круглые скобки в отличие от простого умноже­ ния i на у.

Основное определение: произведение двух комплекс­

Приняв такое определение произведения комплекс­ ных чисел, представленных на двойной комплексной плоскости, мы можем вывести как следствие правила перемножения мнимых единиц г, / и (ij). Для этого

каждый из сомножителей с разными мнимыми едини­

цами в выражениях для чисел <§4, <§2 представим через

тригонометрические функции по формулам Эйлера, про­ изведем почленное перемножение этих чисел по прави­ лам обычной алгебры и сгруппируем члены с одинако­ выми комбинациями мнимых единиц. При этом совме­ щенные мнимые единицы, стоящие в показателях степени перед <р, и ф2, необходимо обязательно взять в круглые скобки. Затем проделаем аналогичную опе­

рацию с комплексным числом <gi2 и приравняем полу­

ченные числа. Чтобы равенство соблюдалось, необхо­ димо принять следующие правила перемножения мни­ мых единиц:

= £ , [ c o s c o s 0, -f- i (ij) sin?,sin 6j -f-i cos?, sin0, +

- f 07) sin?, cos 0,].

Для числа (?2 развернутая форма записи такая же,

нужно только 1 заменить на 2. Почленное перемножение выражений в квадратных скобках приводит к равенству

§ г = Е,Ег {[cos ?, cos ?2+ (ij) (ij) sin ?, sin ?2] X