книги из ГПНТБ / Гусев, К. Г. Поляризационная модуляция

Имеет место точно такое же соответствие комплексного

Комплексной плоскости. Комплексный вектор Ж предста­

вим в виде матрицы §\

_. Exr -f- jExi

Щг + У-at

а соответствующее ему комплексное число § — в виде

(1.5.2):

Таким образом, комплексный вектор <§ и комплекс­ ное число двойной комплексной плоскости описывают одну и ту же эллиптически-поляризованную волну, если равны матрицы, составленные из координатных проек­ ций комплексного вектора и элементов комплексного числа, т. е.

если

Условие (1.5.6) сокращенно будем записывать так:

30

где М — транспонированная матрица вектораМ;

N* — комплексно-сопряженная матрица вектора N.

“У

Векторное произведение комплексных векторов М

и N есть комплексный вектор, совпадающий с нормалью

к плоскости, в которой лежат М и N, а длина его равна

комплексному числу, которое получается при скалярном

умножении вектора М на вектор N, повернутый на 90°

по часовой стрелке. Мы будем описывать векторное про­

Соотношения (1.5.7) и (1.5.8) позволяют определить условия поляризационной ортогональности и поляриза­ ционной коллинеарности электромагнитных волн. Оче­ видно, что скалярное произведение двух параллельных комплексных векторов равно единице, а векторное — нулю.

Определим соотношения между параметрами поляри­ зации параллельных и ортогональных комплексных век­ торов. Для этого представим поляризационные диаграм­ мы двух эллиптически-поляризованных волн с ампли­ тудами, равными единице, в виде комплексных чисел

cos <р, cos 01 + / sin <fi sin 0, cos у, sin 0, — / sin 9, cos 0,

для первого вектора и точно такую же матрицу, но с индексами «2» — для второго.

Применяя формулы (1.5.7) и (1.5.8), получаем сле­ дующие выражения для скалярного и векторного про­ изведений:

(?,■<£% = COS (<Р, — <р2) cos (0, — 62) - f / sin (<P,+<PS) sin (0,-0,),

(1.5.9)

31

векторов скалярное произведение равно нулю, а вектор­ ное произведение равно единице.

Таким образом, две волны с поляризационными диа­ граммами

<?, = e_i/ip -е‘9 и & = е", е|(в+"/2)

поляризацноно-ортогональны, а описывающие их поля­ ризацию векторы образуют базис. Для базисных век­ торов примем обозначения

а для их отображения на двойную комплексную пло­ скость —

Последние два числа следует считать ортогональными ортами двойной комплексной плоскости.

Мы будем применять и другие обозначения для

лишь необходимостью более компактной записи различ­ ных соотношении и не должно приводить к недоразуме­ ниям.

Орт Э (<р + гс/2, 0) согласно (1.4.9), приводится к сле­ дующему виду:

менной квадратуре по отношению к орту Э(— <р, 0-|-it/2) и одновременно во временной и пространственной квад-

д2

а базис Э(<р, 0) и Э (<р -J- тс/2, 0) называется квадратурным

эллиптически-поляризовэнным базисом.

Очевидно, что для определения двумерного базиса достаточно задать лишь один из его ортов. Поэтому в дальнейшем будем определять базис его первым ортом

ЭДф, 0) или ЭД <р, 0).

Векторное произведение ортогональных ортов равно единице, векторное произведение квадратурных ортов равно /, скалярное произведение в обоих случаях равно нулю.

стеме координат хоу), на оси ортогонально-эллиптического

базиса Э, (<р2, 02) образует по отношению к осям нового

базиса некоторый вектор U.

—у *4

Преобразование § в V осуществляется умножением

— >

матрицы исходного вектора § на оператор, описывающий

такой переход. Для двумерных векторов таким операто­ ром является комплексная матрица размером 2X2.

Для комплексных чисел такое преобразование назы­ вается ортогональным преобразованием комплексного пространства или унитарным преобразованием. Основ­ ное условие этого преобразования — неизменность мо­ дуля комплексного числа (неизменность длины вектора).

Для осуществления такого преобразования в рамках

ноля К комплексных чисел <§ введем операторное или

направленное произведение исходного комплексного числа на комплексное число, описывающее первый орт нового базиса. Это произведение будем обозначать следующим образом:

где индекс «*/» означает комплексное сопряжение по мнимой единице i.

Произведение (1.5.12) осуществляется в следующей последовательности:

й = ё (?„ 0.) X э** (<р„ 0,) = [Ее""V ' 1] X [ei/>2e - i8a] =

= Е [е-гм ег <9l_(W] X егМ =

= Е [cos (0! — 02) e_i; <ф1_фа) + г sin (0, - 02) е~г/(ф1+фа)].

(1.5.13)

Обращаем внимание читателей на особенность опе­ раторного произведения комплексных чисел двойной комплексной плоскости. Эта особенность, как это видно из (1.5.13), состоит в том, что

Ле~‘;ф‘Х е±г/'фа= Л е—i/<?1• e±i/9a = Ле“ ^ (<PlTtp!), (1.5.14)

где Л — любое комплексное число, не содержащее мни­ мой единицы i. Но

кГ*/ф‘ X е±;/фа= ге"г/ф‘ е*г/фа = te~u <ф1±фа). (1.5.15)

Справедливость соотношения (1.5.15) доказывается сле­ дующим образом. Представим /е~,/ф‘ в виде

__ — j j /е-г/ф1.

Согласно свойству (1.4.8), ij можно объединить в совме­

щенную мнимую единицу, изменив знак в показателе сте­ пени е, т. е.

что и доказывает справедливость (1.5.15).

Дальнейшее преобразование выражения (1.5.13) осу­ ществляется по обычным правилам, изложенным в пре­ дыдущем параграфе. Окончательное выражение для

произведения <§ Х Э ,‘ будет иметь вид

34

Операторное произведение комплексных чисел двойной комплексной плоскости не выводит эти числа за рамки поля комплексных чисел К и поэтому может существо­

вать наряду с обычным произведением, введенным В § 1.3.

Преобразование вида (1.5.16) или (1.5.20) является

унитарным, так как не приводит к изменению модуля

исходного вектора <§. Такие преобразования поляриза­ ции волны осуществляются в различных преобразовате­ лях поляризации без потерь энергии электромагнитной волны, если пренебречь одновременным изменением фазы преобразуемой волны, которое можно учесть в по­

следующем фазовым множителем егф. Взаимодействие

падающей волны <§ с реальными физическими устрой­ ствами, в которых наряду с преобразованием поляриза­ ции происходит изменение амплитуды и фазы волны, будет описываться соотношением

тери, а е/ф— фазовый набег.

Определив соотношением (1.5.16) операторное произ­ ведение комплексных чисел, мы можем теперь показать, что числа Э(9, 0) и Э(— <р, Q-j-ic/2) представляют поляри­

зационно-ортогональные орты, а числа Э(<р, 0) и Э (?-|- 4-т:/2,6)—квадратурные орты. Операторное произведение

первых двух чисел дает

Э(«р, в )Х Э * Ч — ?. А+ */2) =

= [e-'V®] X [e‘7V <в+"/2>]« = _ ге-г/фе +г/ф = — г,

т. е. их скалярное произведение равно нулю, а вектор­

ное произведение этих комплексных чисел также равно нулю, а векторное произведение равно —/.

1.6. ПАРАМЕТРЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНО!"! ВОЛНЫ В ПРОИЗВОЛЬНОМ БАЗИСЕ

Представление поляризационных параметров элек­ тромагнитной волны как параметров ф и 0 поляриза­

ционной диаграммы этой волны при разложении ее на ортогонально-линейные компоненты в прямоугольной

36

системе координат не является единственно возможным. Это утверждение справедливо не только в отношении угла эллиптичности ср и угла ориентации 0 поляриза­

ционного эллипса, но и в отношении других количествен­ ных характеристик поляризации волны.

В [15], например, введено понятие параметров Стокса при представлении электромагнитной волны в произ­ вольном ортогонально-эллиптическом базисе. Точно так же можно ввести и понятие поляризационной диаграммы волны или поляризационного эллипса в ортогонально­ эллиптическом базисе. Но поскольку наши представле­ ния связаны в основном с линейным пространством, то при изображении поляризационной диаграммы волны в таком базисе ортогонально-эллиптическим ортам ста­ вятся в соответствие орты прямоугольной системы коор-

динат, проекции вектора Е на эллиптические орты пред­

ставляются как ортогонально-линей-ные компоненты по­ ля, и дальнейшее построение поляризационного эллипса ничем не отличается от построения поляризационной диаграммы волны по ее проекциям на оси прямоуголь­ ной системы координат. Построенный таким образом эллипс следует считать поляризационным эллипсом или поляризационной диаграммой волны в ортогонально­ эллиптическом базисе, а угол эллиптичности <р и угол ориентации 0 этого эллипса — параметрами поляриза­

ции волны в ортогонально-эллиптическом базисе. Целесообразность введения понятия поляризационной

диаграммы и ее параметров (параметров поляризации) в произвольном ортогонально-эллиптическом базисе вид­ на из следующих соображений.

При прохождении волны через преобразователь по­ ляризации ортогонально-линейные компоненты поля на выходе этого преобразователя могут рассматриваться

->

как проекции входного вектора <§ на орты ортогонально­ эллиптического базиса, первый базисный орт которого

описывается той же функцией Э(срп, 0п), что и сам пре­

образователь. Поле на выходе преобразователя в общем случае также эллиптически поляризовано, для него мо­ жет быть построена поляризационная диаграмма и опре­ делены параметры поляризации ср, 0 и фаза ф. Ясно,

->

что по отношению к полю <§ на входе преобразователя

37

параметры «р>, 0, ф могут рассматриваться как парамет­

ры поляризации и фаза ф этого поля в базисе Э(срп, 0п).

Установим зависимость между параметрами поляриза­

ции <р0, 0Оисходного поля ё (?0, 60) = £oe_ ‘Jlfoe,8°, парамет­

рами поляризации <рп, бп базиса и параметрами поляриза­ ции преобразованного поля 0 (<р, 6), т. е. параметрами по­ ляризации поля ё(?о, 0.) в базисе Э(«рп, 0И).

Исходными для определения этих зависимостей явля­ ются соотношения (1.5.16) или (1.5.20), которые позволя.

ют найти проекции Ёг и Ё2 волны $ (<р„, б0) на оси базиса

Э(<рп, 0П) как проекции преобразованной волны 0 на вы­ ходе преобразователя на оси ох и оу прямоугольной си­

можно затем перейти к показательной форме записи ком-

—>

плексного вектора U:

Приравняв правые части (1.6.1) и (1.6.2), получим исходное уравнение для определения неизвестных пара­ метров :ф>, 0, ф. При этом полагаем, что преобразователь

поляризации волны унитарен, и пренебрегаем постоян­ ной фазовой задержкой волны в этом преобразователе. В противном случае в (1.5.16) и (1.5.20) необходимо

ввести переходный множитель ke‘a, который будет при­ сутствовать одновременно в ( 1.6.1) и в ( 1.6.2), и, сле­ довательно, уравнение для определения ф, 0, ф можно

сократить на этот множитель. Поэтому и в случае пре­ образователя поляризации с потерями параметры поля­ ризации преобразованной волны находятся из урав­ нения

а множитель ke1* учитывается в окончательной записи

преобразованной волны:

О = £е*а£,0е-г/<ре ‘ее,ф.

Осуществим операторное умножение в (1.6.3). В ре­ зультате получим

38

Уравнение (1.6.4) относительно параметров <р, 0 и -ф решается неоднозначно. Решения зависят от того, в ка­ ких пределах однозначности мы будем определять вели­ чины ф и 0, т. е. в конечном счете оттого, какую полу­

ось поляризационного эллипса принимаем за главную. В соответствии с Двумя определениями главной полуоси получим две системы формул для определения ф и 0.

В пределах каждой из этих систем величины ф и 0 опре­ деляются однозначно.

Если <р и 0 определять так, что больший из этих углов не будет превышать л/2 по абсолютной величине,

то фаза ф может принимать значения в пределах

в результате операторного умножения левой и правой ча­

где Д0 = 0O— 0n.

Представив правую часть выражения (1.6.5) в виде a+jb + ic+ (ij)d и приравняв коэффициенты при одина­

ковых мнимых единицах слева и справа, получим сле­ дующие соотношения:

39