книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

h

<i2<

...

<im.

Например,

в

/ \ 2 £ базис

состоит

из С\

векторов

е,г,

п

g i 3 , - - . ,

<?1я, е2я,

e2i,...,

е2п,...,

<?„_!,„.

Базисом

пространст­

ва /\°Е

является,

очевидно,

нейтральный

относительно

ум-

п

(в поле)

элемент

(единица), который

обозначим е,

ножения

а базисом

пространства

/\п

Е

является

вектор

ец-.п.

п

Рассмотрим теперь векторное пространство V, являюще­

еся произведением (в смысле

§ 3) всех

перечисленных

век­

торных

пространств:

V = 2ХЕУ(Л*Е)Х

... X

( Л Я - ,

£ ) Х ( Л Я £ ) .

,

п

п

я—1

я

Его размерность,

очевидно,

равна

\+Cl

+ Cl + ... + Cnn-x

+ С„ = 2".

Базис пространства Е состоит из векторов:

(е, О, 0,..., 0),

(0,

eh, 0,...,

0),

(0, 0, *?/,,,,..., 0)

(0, 0, 0,...,

ei2 3...n),

которые,

не вызывая недоразумений, можно

обозначить

е,

<?л, e i l h , . . . ,

ehh...i„-x,

еп...п .

Таким

образом,

произвольный

вектор

пространства V

мож­

но представить

в

виде

<хе 4- р'-е,, - f

h

+

... + j i ' . - ' n - i <?/,...*„_! - f vei2... „,

•/lh'"ime.

.

. . \ J l J r " J p

е. .

. "=

lih'

• 'lm

J\h''

'Jp

= •Z'1'2' • -^yj^

• ^'p f(e.,

e ,

, e.

• • -e. ).

(3)

h

lm

Jl

Jp

Так как все

ej ) суть элементы пространства

Ат+рЕ

Р

п

а <?125'(^з4 +

т е 4 5 +

ке1а) = ^f^exe2ebebe^)

+

+

+ ^(е^егеьехег)

=

<х$е12Ш.

Распространим

закон

умножения (3) на все векторы

про­

странства

V следующим

образом:

О п р е д е л е н и е .

Внешним

произведением

[АВ]

двух

векторов

А и В пространства

V=EXE

X Л 2 ^ X • • • Х л " ^

называется

вектор

того

I

n

n

п

же пространства,

определяе­

мый по следующему

правилу:

если

А — а0е + а\ et

+ а/'е^-}

|-

+ а^Ц1"-1

eh...in_x

- f а„

е12...п,

B = $0e + $iej + №Aejlh+----

+

+

№-i,n-leji...jn_l

+

$nel2...ll,

то

[АВ]

= а0р{ <?,+

• • . + а 0 р „ е 1 2 . . . „ +

+

• • • + а[ % et

+ • • • +

а{ p j f l i ' " - 1 / ^ , <V • •*,„_,) +

(4)

+

a i P n / ( ^ i " - e « ) H

г - * л Р я / ( в 1 ,

.... е„, ei. ...,е„).

Конечно,

в формуле

(4) все выражения

/(ef-e,)

при­

водятся

(в силу

полилинейности

и знакопеременное™

ото­

бражения f)

или к базисным

векторам

etr--tp,

или к нулям.

Таким

образом,

внешнее

умножение

векторов пространст­

ва V можно

трактовать

как линейную

(относительно

всех

сомножителей) операцию,

причем базисные

векторы

умно­

жаются

по правилу:

\eeil...,p\

= ell...tp,

[ее] = О,

1<Х->т-^-•;„}

=f(eil---eimeJl---eJp),

[а,

Ь] = [г'е„

р ^ ] - = -

№ej,

а%)

=

- [Ь, а]

и

i t

1 1

[а,

а]

— 0.

1

1

Но антикоммутативность не имеет места в

общем

слу­

чае. Например, если

а

= ei2-\-

аем,

то

(конечно,

здесь

п >

4

И а ф 0)

[а,

а] = 2 а е , , м

ф

0.

2

2

Однако

для

умножения

поливекторов

можно

указать

сле­

дующее

правило:

[ а , а ]

= ( - 1 Г [ а , а ] ,

(5)

р

я

ЯР

проверку

которого предоставим читателю.

Заметим еще, что всякий /и-вектор можно следующим

образом

„разложить"

по

базису векторного

пространства

Е:

п

« =

2

[арер],

(6)

т

p = l

m - l

где ар или

равен нулю

или

удовлетворяет

условиям

т-1

[ареч)ф0,

q = \,2,...,p.

(7)

т— 1

Действительно, представив

а

в виде

т

а

=

х ' ' - ' «

[<?,,...<?,

] ,

мые, содержащие е ь

затем из

оставшихся

— все, содержа­

щие в2, И Т. Д.

Внешняя алгебра

является

достаточно

сложной и пока

Л е м м а

1. Равенство

[aia2---ap]=0-

(8)

является необходимым

и достаточным условием линейной

зависимости

векторов

аи а2,

ар,

принадлежащих исход­

ному векторному пространству

Е(п^-р).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если векторы аи

а2,

ар

линейно

зависимы,

то существуют

такие скаляры

X1, X2,

\р~1, что

ар

=

Х'а, + Ш 2 -\

И Х^-1

а р _ ь

Тогда по правилам внешнего умножения

получаем

[a,<V • -ар.хар\

=

X1 [ я ^ -

••ар^ах

\ -\

\-

-\-\p~1

\ахаг

• -dp-xcip-i] =

0.

Следовательно, условие (8) необходимо.

а^фва.,

Пусть

теперь

(8)

имеет

место. Положим

где

i— 1, 2 ... />, а,- =

1, 2, ... п.

Тогда

|а,а, - • -ар]

=

h'"'^- •

<?«,«,•••<«

=

0,

а, < а2

< • • • < а р ,

М М

'1

равны нулю, т. е. векторы аи

а,, ... ар

— линейно зависимы.

Достаточность

признака (8)

доказана.

Л е м м а II .

Если для р

линейно

независимых векто­

ров xq

пространства

Е(п^р)

и

для р

r-векторов

aq

имеет

место

соотношение

п

г

то

существуют

такие

(г — 1)-векторы

Ьт (не

все

равные

нулю),

что

г-У

2

\Ь<,иХахя\=0

(10,)

и, <?=1 г — 1

*) Операция ,альтернирование" означает следующее: S'0"1-• -£рр^

есть

сумма всех

выражений

б^3. —. £р/> по

всем

возможным

различным

пе­

рестановкам

индексов

oj, а2 ,

ар,

причем

те

слагаемые,

в

которых

af,

а ^

,

a

t

представляют

собой

нечетные перестановки

индексов

1,

2, ... р,

берутся

со

знаком

минус. Поэтому

выражение

£ [

"

' е с

т ь

не

что

иное,

как

определитель

р-го

порядка.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Дополнив

векторы

х 9

векторами

(s = / > - f - 1 ,

/г)

до

базиса пространства

Е,

разложим

aq

по

этому

базису:

п

г

ад

=

$

\ЬЧиХ»\+

|

\bqsxs\

(11)

(см. (6)

и

(7))

и

внесем

разложение

в (9).

Получим

и, <7 =

1 г—1

<?=1

+ 1

Эти два

слагаемых

линейно

независимы,

так

как

второе

ни

в

одном

члене

не

содержит

более

одного

множителя из

xq

,

£

[ 2

\bqsxs],

xq}=0,

<7=1

s = p +

l r ~ \

заметим,

что

все p

слагаемых

тоже

линейно

независимы,

так как первые сомножители не

содержат

xq

ф 0.

Поэтому

второе

слагаемое в

(11)

равно

нулю,

а

следовательно, по­

лучается (102 ).

Л е м м а 111 (Картана).

Если для векторов xq,

yq

(q~l,...,p)

пространства

Е(п^р)

имеем

п

S [ * * y , ]

= .o,

q=l

и векторы xq

— линейно

независимы,

то

векторы

уд

разла­

гаются по векторам xq

с симметричной

матрицей

коэффи­

циентов:

У<г = °<!*«>

и =

р,

и

q

°q —

Ou.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

в

лемме

II

г =

1.

Тогда

bqa

=

o"q

суть

скаляры,

(102)

дает

разложение yq

по

бази-

г—1

xq,

aaq

= а"и.

су

а

(10,) — соотношение

Л е м м а

IV. Если

х]

=

0,

Ф О,

[а,

х

то

г

я

=

[а,

* ] .

Действительно,

пусть

в

лемме

I I

р=1.

Тогда

( I O 2 )

дает

наш

результат. Соотношение

(10i)

в

этом

случае

обращает­

ся в тождество.

Нетрудно видеть, что для всех трех лемм имеют место и

обратные предложения,

так

как

из

(1 Oi)

и (Юг)

сразу

сле­

дует

(9).

Лемму

I I иногда

называют обобщенной леммой

нятий

контравариантных и ковариантных

тензоров,

то

они

возникают на базе введения понятия сопряженного

(к

дан­

ному)

векторного пространства. Мы сможем

в пределах

на­

структуры

мы будем

рассматривать (т. е. исследовать и даже

решать) уравнения и системы уравнений.

Пусть,

мы имеем внешнюю алгебру, построенную

на

n-мерном

векторном

пространстве

Е над полем Q. Всякое

ли-

п

алгебры

нейное соотношение между векторами

ае +

¥ и, + Т Л Л К

Щ\

+ • • • = 0

(12)

дится к системе уравнений, каждое

из которых

содержит

лишь векторы одной и той же внешней степени

исходного

векторного пространства

Е , т. е. к

системе вида

п

a'' U{ = О,

ъ

* ' Л

К и,,] - 0,

'

(S)

ь

а ' [ « , , « ! , . • . « , ]

= 0 ,

г де

р < п — 1,

ij = 1, 2,

я,

/у < i„

если у < /, а

7, —номера уравнений.

внешней

Такую систему уравнений мы будем называть

алгебраической

системой

или, короче,

системой

(S).

Решением

системы

(S)

называется

совокупность выра­

жений:

«; = Рг^,

г =

1,2,

a =

l,2,

...,q^n,

(13)

rang||fr/|

=

?

п

q

л

П р и м е ч а н и е . Что касается векторов uh то они

в си­

л у (13) тоже принадлежат 9. Можно считать, что они

пред-

ч

ali-tp{uil---ulp\

- О ,

если р> q.

Поэтому естественно начать

поиски решений системы (5)

с „одномерных" решений, т. е.

с решений вида

Гг = П —

max

1

р2

— 1.

Так

как понижение ранга р> возможно лишь путем наложе­

ния

конечного числа каких-либо

алгебраических соотноше-

ний

о.

на %

по крайней мере для одного значения

v. Если $*х<.п

— I ,

то описываемый

процесс

можно продолжать. Он закончит­

ся, когда для некоторого номера g + 1 получится

Тогда

на (g

+

1)-м

шаге

система для

определения

pf + 1

не

будет

иметь

никаких

решений, линейно

независимых

от

ра-

1

2

g

«о =

Pi.

max

St

=

p 2

—

p u

•*2

=

max

—

max

P3

Р2 ,

max

max

Sg-1 = ?g

—Pg-l,