книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

В развернутом виде

это условие

принимает

вид

( w 3 d u > ! — u>!fifo>3

- f (ш1)2ш1

— ( c o | ) 2 u ) 2 ) T i = T a =

0 = О

или, так как в силу

(209)

«4 : < = К» + 0 : (th

~

Ъ)

= 7-*,

(210)

вид

( d a r c t g r * - « o * ) t l =

T ,«o =

0.

(211)

т.

е.

(ш3

+

<#)т, -

^ - о =

0

(212)

или

# =

-

ш» (<:8 +

г * ^

-

т 8 ) .

(213)

Вычислив

d f * по

(210) и учтя (213), мы

приведем

уравне­

ние

(211)

к

виду

( f t , - 7 j 2 ) ( l

+

Г*2 ) ( -

^

,

+

Г

Ч

+

"„)

+

(!

-

-

Г % ) ( -

<Г*Е3 +

Т*ъ

+ С8) +

T*t

(52 8

+

7^422 -

-

-

Г* (Ъз +

T * 7 j 2 2 -

/Г*т)2 1 ) +

tT*l2l

-

7*С2 2 - ; 2 Ч

= 0.

(214)

В терминах

канонического репера

7* =

—

£ : T J 2

и уравнение

(214)

принимает простой вид

(при

^ ^ О ) :

- 2 т ^ 3

+

(т]2 2 +

2гг2;,) ?2

+

2vj, ( Ч з

-

— ВДг)^ + 43 1Чз*1 — ^з) = 0-

( 2 1 5 )

В

общем

случае

уравнение

(215) на

каждом

луче опреде­

ляет

4 точки, называемые инфлекционными

центрами.

Инспекционный

центр характеризуется

геометрически тем,

кривую с особой точкой в инфлекционном центре.

W явля­

Т е о р е м а .

Фокусы

неголономной

конгруэнции

ются инфлекционными

центрами

луча.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим неголономную

конгру­

энцию, определяемую

уравнением

со1

= 0 в

полуканоничес­

ком

репере,

и

потребуем,

чтобы

ее

фокусы

удовлетворяли

уравнению

(214).

Для

фокуса

F, =

г — С,е3

имеем

Т* = 0,

t =

— С2 и (214)

дает

А'*

;, 3

- с3

+ d

ы + ш

= о.

(216)

*)

З а м е т и м ,

что

на

д и а г р а м м е

Ц и н д л е р а

(см. § 5) эта п л о с к о с т ь и з о б р а .

ж а е т с я той ж е

точкой,

что и

все в е к т о р ы

(209).

Для фокуса Fx~r

имеем

t

= О, Т* =

—",.,:•/).,,

и (214)дает:

+ ( T J , -г- V ; 2 )

to

-

V i 3 ) =

0.

(217)

Сравнивая (216)

и (217) с

(193),

получаем

X*

=

Qu

(218)

ющими торсам комплекса, проходящим через

этот луч, име­

ет место взаимно-однозначное соответствие,

установленное

му центру /г

= / •

+ ttes(где

tt—

корень уравнения (214))

со­

ответствует

на

диаграмме

точка

кривой второго порядка

х0 :

: х, : х2 = —T*ti:

Т* : 1.

В о5щем случае эти четыре точки

IiIiUU

на плоскости

диаграммы.

Каждая

пара

вершин

оп­

ределяет прямую Z.,7 —нгголономную конгруэнцию

W,

имею­

щую

фокуса лш

инфлекционныг

центры

/г

и

/-.

Эти шесть

прямых, пересекаясь попарно, определяют семь

точек,

ко­

торым

соответствуют

(см. сноску

в начале §5)

регулюсы /,,

/ 2 ,

/ 3 ,

/ 4 , Л"?, Кя.

каждый из которых одновременно

принад­

лежит двум

неголономным

конгруэнциям

U". Четыре

из

них

суть

торсы

конгруэнции

W,

а остальные

три,

как мы

сей­

час увидим, суть главные регулюсы, проходящие

через

луч.

В самом

деле,

точка

К>, например,

полярно

сопряжена

с прямой /С2 /\'3

(а

следовательно,

и с точками К2

и К~3) от­

носительно

кривой второго

порядка Ф, = 0

и двух

вырожден­

ных

кривых

второго

порядка,

состоящих из пар

прямых Z.3 2 ,

LVt\iL2u

L V i .

Все

эти кривые

принадлежат,

очевидно, одному

и тому

же пучку

Ф,

Ь лФ, = 0. Но этому же

пучку

принад­

лежит

кривая Ф 2 = 0.

Следовательно,

точка

/<,

сопряжена

с К2

и

Кз и

относительно

этой

кривой. Это

означает,

что

точки Kj являются

попарно

двояко

сопряженными, т. е. изоб­

ражают на диаграмме главные

регулюсы. Прямые

КхК2,КлК3

и К2К3

изображают, очевидно,

главные неголономные

конгру­

энции.

Точки прикосновения М = г - f

любого регулюса,

при­

надлежащего неголономной конгруэнции

W, делят

ее

фоку­

сы гармонически, как мы это установили

в § 9.

Следова­

предложение: если точки прикосновения регулюса

комплек­

са

делят

гармонически две

пары инфлекционных

центров,

то

этот

регулюс — главный.

Мы получили, таким

образом,

вершинника

/ ь

/2 , /3, h,

можно получить проективную класси­

фикацию

комплексов

по числу

кратных

инфлекционных

центров

и выяснить свойства

соответствующих главных ре­

гулюсов.

Отметим

некоторые

связи

понятия инфлекционного

цент­

ра с

ранее

введенными

понятиями. Прежде

всего, так как

точки

/ ь

/2 ,

/3, Ц принадлежат

четырем

кривым

пучка

Ф 2 4 - 2> . Ф| - ^0

(именно

коникз

Ф, — 0 и трем

распадающим­

ся коникам

ФоЧ^А/Ф, = 0 ) , то они принадлежат и любой

кривой

этого пучка, в частности

кривой Ф2

= 0. Следовательно, они яв­

Применив

теорему Виета к уравнению (215),

найдем, что

сумма абсцисс

tx + t2-\-13-\-tt

инфлекционных

центров от­

носительно

центра луча

комплекса

равна

2 v j 1 : £ 1 . Следова­

тельно, в силу

(47) аффинный центр

луча

комплекса явля­

ется центром симметрии

относительно

четверки инфлекци­

онных центров:

г* = г

•{-

е3 = г +

1

(*! + U + t3

+

t,) е3.

I

25,

4

§ 12. Специальный

комплекс

и его обобщения

т , 2 = 0

(219)

занные с

ней понятия (точки прикосновения

и т. д.).

Совокупность торсов теперь

определяется

уравнением

ю ' ш ^ И ,

которому

на диаграмме

Циндлера

соответствуют

две

прямые х0х2

=

О, так как кривая

второго

порядка (78)

распадается на две

прямых. Их

общая точка

соответству­

ет

центральному

торсу ш1 = со3 =

0, поляра

ее (т.

е. боко­

вая

неголономная

конгруэнция)

становится

неопределен­

ной. Аналитическими следствиями уравнения (219)

являют­

ся

соотношения

1i

=

0, rj3 = 0, ; 1 - r - t s =

0,

(220)

Подставив

(220) в два

оставшихся

уравнения системы

(10), приведем ее к виду

[dh

+

tt&uh

^]

+ К , «II

= 0 ,

К ,

соЧ-[<*;3 ,

«II = о ,

(221)

г — г (и,

v)

и отнесем ее к каноническому

реперу г, i u i2, / 3 (см. [20]:

стр. 245). Деривационные формулы этого репера

имеют вид

dr = v1il

4-

v42,

dix =

{iy

+ I2v*)

i t

+

Iav43,

(222)

di2

=

- (I,v' + I2v2)

*\ 4- 74z>2/3,

di%

= — Izv4x

—

Uv42,

Введем

вектор

0i =

— sin fix + cos cp/2

и

рассмотрим

комплекс

касательных

/? = г 4- А (/, cos ср 4- / 2

sin ср)

с

первичными

параметрами и, v, ср. Для его репера г, е,, е2 =

=

/ 3 ,

е3

имеем

деривационные

формулы

dr

=

(г»2 cos Ф — и1 sin с?) е, - f (и2 sin <? + vx cos ср)

е3,

det

-

vJej,

i, у = 1, 2,

3,

где

•у? =

sin ср-/3 г>1

4- cos с р - / 4

v2,

v3

=

Ixvl

+ /2 г>2 4- Д>,

х)3

=

/ 4

sin ср.-и2

4- cos <?-I3vl .

Сравнивая

деривационные

формулы

полученного

репера

с

деривационными

формулами

(8) при со2 = 0 и (220),

полу­

чаем,

что они совпадут,

если

положить

ш1

=

v2

cos ср — vx sin ср,

ш 3

=

• у 2

Sin ср 4- Vх COS ср.

При

этом

(вследствие

независимости базисных форм v\ v2)

возникнут

следующие

конечные соотношения:

(С3

/ 4

— 1) sin ср — d cos ср — О,

( ч 3 / 3 —

l)cos? 4 - sinc p

= 0 ,

поверхности и УГОЛ ср:

„

1

3

/3 cos2 9

4- /4sin2--p '

; 1

= (/ 4 - / 3

) 13 ,

(223)

i

j т г

•»1

— J3 '4 ^3 •

Инвариант

"3 комплекса

касательных к S равен радиусу

нормальной

кривизны для

направления

поверхности,

опре­

деляемого лучом комплекса, а отношение

С, : ^3

равно

пол­

ной кривизне

поверхности

К — 13

/{.

у

При

/ 4

=

/ 3

имеем

^

=

О,

т. е.

специальный

комплекс,

которого

С, = 0,

есть

комплекс касательных

к сфере.

При

/ 4

/ 3 =

0

имеем

«, = 0 , т. е.

специальный

комплекс,

у

кото­

рого с, = 0 есть комплекс

касательных

к

торсу.

Заметим еще, что в силу

(125)

и

(220) все

четыре ин-

флекционных

центра

специального

комплекса

совпадают

с точкой касания луча с поверхностью.

Понятие

специального

комплекса

допускает

очевидные

обобщения.

Прежде всего, для того, чтобы совокупность центров лу­

чей комплекса была двумерной, а

не

трехмерной,

условие

(219)

является

достаточным, но не

необходимым. Необходи­

мое и

достаточное

условие

состоит

в том,

чтобы

формы соь

0)2 и оз3 были линейно зависимы, т.

е. чтобы

имело

место

соотношение

7)., (03 ,

" З ю 2 ]

= 0 .

[ ш 1 CD2 О) 3 ]

—

[СО1 ,

которое

при

ri 2 Ф 0

дает

: 3

--= 0.

(224)

Г. Георгиев

назвал

[32]

комплексы,

определяемые

этим на­

туральным

уравнением,

полиспециальными.

Для

такого комп­

щаются в

торсы. Внося

(224)

в

систему основных

уравне­

ний

(10)

(выписанных

для случая

канонического

репера),

получим

систему

трех

независимых

квадратичных

уравнений

с пятью

неизвестными

функциями:

т12, ;3 ,

71ъ

т а к

как

M = Y h ' i —

Is-

Следовательно,

хэрэктеры

системы

суть

sx

=

3,

s2

=

5 — 3

=

2,

s3

= 0.

Применяя

скритерий

Картана

( § 7 , гл.

1,

ч.

П,

получим:

Q — 3 4-

4-4 = 7,

=

15 — 8 =

7,

Q=N

Система — в

инволюции

и определяет

полуспециальный

комплекс

с произволом

двух

функций

двух

аргументов.

комплекс

состоит из

о о 2 плоских

пучков

прямых. Потребу­

ем, чтобы

комплекс

расслаивался

на о о1

голономных кон­

Н. И. Кованцов назвал такие комплексы

квазиспециаль­

ными.

Эти комплексы

удобно

определить

в терминах полу­

канонического

репера.

Пусть

уравнение

« ' = 0 определяет

конгруэнцию,

у которой торс о1 = wJ = 0 вырождается в пу­

чок. Тогда

т. е.

(е3, de3, d 2 e 3 ) M w . „ ) 3 = o = О,

=

0.

(225)

Пусть

фокус

F, = r — С2 е2

есть

центр пучка.

Тогда

№ ) ( , . . ^ ш з = о = 0,

'-3-г*ю

= 0.

(226)

Условие голономности

конгруэнции со1 = 0 имеет вид

т. е.

[со1,

Zb 1 ] =о,

' . 3 - ^ 1 1 = 0 .

(227)

ниями

(225),

(226)

и

(227)

в

репере,

который

для

этих

комплексов стал

каноническим

(хотя и не таким,

как в об­

щем случае). Так как (226) можно записать в виде

[ Л , , со1, со1

] -

С3

[со1 со1 со? ] = 0,

(223)

то

решение

вопроса

о

существовании

квазиспециальных

комплексов

сводится

к

исследованию

системы,

состоящей

из

уравнения

(228) и

трех

квадратичных

уравнений

(10),

в

которые

внесены

конечные

соотношения (225),

(227)

с

шестью неизвестными

функциями:

?2. г^

г-->>

гь- Вы-

числяя

характеры,

получаем

s, = 3, sa

= 6 — 3 = 3, s:, ~ 0.

Следовательно,

Q = 3 + 6 = 9 .

С

другой

стороны,

T V = 6 - 3 —

— 9 = 9 = Q. Итак,

совокупность всех квазиспециальных

комп­

лексов

зависит от трех

функций двух аргументов.

Легко понять, что одна из этих функций

определяет

про­

казательство

этого

факта

можно

получить

по

аналогии

с

только что проведенным

построением

специального

комп­

лекса.

F2

Сравнивая

(225)

и (226)

с (216),

заключаем, что центры

пучков, образующих квазиспециальный

комплекс,

являют­

ся

инфлекционными

центрами лучей, что, впрочем,

вытекает

непосредственно

и из геометрической

характеристики

инфлек-

ционного центра,

данной в § 11.

Определение

квазиспециального

комплекса

носит

проек-

тивно-инвариантный

характер, но условия

(225) — (227)

могут

как(^г) ш . = ш 1 = о 1 К 2 е 2 ^ ^з^з,

то отношение С3 : С2

есть угловой

коэффициент

&ч касательной

к

геометрическому

месту

вто­

рых

фокусов

= г) на лучах

пучка

ш1 = ш3

= 0.

С

дру­

гой

стороны,

рассматривая

регулкс

со1

= ш2 = 0

(он

харак-

теризузтся тем, что принадлежит конгруэнции ш1

= 0 и име­

ет

горловую

нормаль

elt

перпендикулярную

к

плоскости

{е2 еъ) пучка),

найдем,

что для

него

г'

-•= т}, ег

+ ъ ег,

е\ — f\i е2 — <?з.

е\ = —

et,

е'3 = е„

т. е. ~Ц\ есть

косина,

которая

в силу

(227)

равна

угловому

коэффициенту

къ.

динение к

этому соотношению условия

голономности

(136)

не приводит к соотношению между инвариантами

канони­

ческого репера

(проверка

последнего

обстоятельства

прово­

дится при

помощи формул (137) — (150), § 8 ) .

Например,

всегда возможно расслоение на нормальные

(т]2 =

0)

и па­

раболические

(£2 — 0)

конгруэнции.

То

же

можно

сказать

и о расслоении комплекса на конгруэнции любого

из

клас­

сов, указанных

в § 7,

а также на конгруэнции W и

на

обоб­

щенные псевдосферические

конгруэнции,

введенные

в

§ 16,

гл. 2.

v

Рассмотрим

вопрос

о возможности

расслоения

комплекса

cirj2 = \ ш \

dl2 =

цсо1.

(229)

Присоединяя эти соотношения

и условие

голономности (136)

к системе (10), получаем конечные

соотношения

-з — ъ'-ч +-

= 0,

(230)

[dk + \P(o\ +XQo»|,

ш1] = 0 ,

[0> +

jiPu>| +v.Q«>l

ш1] = 0 ,

[d?2

+ ( S 2 - X ) a i l

4 - ( H 2 - | t ) o ) » , со1] = 0 ,

[rf?,, ш1] +

[drj,,

to'] +

[dC„ шЦ = S, [со1

ш'] +

(231)

[Йз,

со1] + [drlt Ш1] +

CO?,] = Е8 [ю' О)1] +

+

H 8 K < - ! ] +

Z3 {a,3 «.2].

Предполагая

t,2

Ф 0,

т. е. считая

конгруэнции со1 = 0

непа­

раболическими, мы можем из (230) найти

выражения для

dZ, и dC3 через остальные

дифференциалы

и внести

их

образие

уравнением

(86) и условие

голономности его в ви­

де (114). Такой задачей является,

например, задача о рас­

слоении

комплекса

на

изотропные

конгруэнции,

которые,

как мы видели в § 21, гл. 2, всегда

являются эллиптически­

ми. Следовательно, для отыскания такого комплекса

(он на­

зывается

изотропным)

нельзя пользоваться уравнением (124).

В терминах же канонического репера

неголономную изот­

ропную конгруэнцию можно определить соотношениями

е = 0, у. = - ъ,

(232)

тей (97). Требование же голономности в силу

(114) дает

422 = Сз — 7)2 ^3-

( 2 3 3 )

Уравнения (232) показывают, что изотропная

конгруэнция

мальность, равную — ц2, т. е. (в силу

(103))

среднюю кри­

визну, равную — 2 М 2 . Присоединение

(233) к

основной сис-

d-q2 =

Y A ш1 4- (С3

— rt, У ш 3

4- (т;-, TJ ,

—

т]3) о ^ .

(234)

Замыкая

это уравнение

и присоединяя

уравнения, получаю­

щиеся

из (10) с учетом ( 1 6 ) , приходим

к

следующей

сис­

теме:

\drlu

с о 1 ]

4- [d{l3

— r j 2 S3 ),

с о 1 ]

4- [ f l ? ( l , 7 j 2 - -

T J 3 ) ,

CD 2 ]

=

=

( l l

$3 +

$ 1 % К WU + $1 (^2

^з) К и

з ]

+

-г { ^

— ^ i

("з — 1г$з)

— - I

(Ъ

Ъ

— Пз)}

[ ш з ш з Ь

=

Л . 101 l,\О)I ] 4 - Н ,

[со1

соЦ

4 - Z , К о)1],

[ ^ з ,

со1 ] 4-

[dfj3,

со1 ] + [flf; 3 ,

о)1]

=

= 3 3 [ с о Ч » 1 ] + Н 1 [ ш ' с о ! ] + 7 , 3 [ с о 3

Она

содержит 5 ,

= 3 квадратичных

уравнений

относи­

тельно

пяти функций

fju

? 3 ,

T J 3 ,

С3

(в

каноническом

ре­

пере $ 2 = ^ 2 =

0 ) .

Так как произвол

изотропного

комплекса

должен

быть

меньше,

чем произвол

общего

комплекса, то

s3 = 0 и у-.» = 2 . Следовательно, Q = 3 4 - 4

= 7. При опреде­

лении произвола

общего решения

(см § 7 , гл. 1, ч. 1)

drj, = rlu<o* + г112ш3

4 -

г1)3ш1,

^т /з = f\nw'

+ Ъ->ю з +

~Чзз

°>з\

^ 1

=

$11 <°' + $ | 2 Ш 3

+ $ 1 3 Ш 3 ,

rf?3

=

? 3 1 О)1

4- $ 3 2 о)3

-|- $зз со3 ,

d",3

— ~,31ш

1

4- С3 2 сОз

4-

•33

2

ш 3

мы получаем

девять

соотношении:

гп тт —г лз — r /3 i = — -ц] — $1 (С3 — т]2

$3 ),

т ( 2 ! 1 2

1 l 3 —

? 32 ~

$1 (' 3

^2 ? з)

~Г"

2|»

111 — М 2 = — 2;, $3

У}2,

"^З!

$32 =

^ З ) ^31_

$33 —

^ 3 '

^•32

1 з З =

Н 3

^ 5 а — $31 — $13 = — «i 1 i + S i >

*3i — т,2 £31

— J T l 2 = ?з У1\—ЪР

+ $1 ( Ъ

Ъ

— Ъ)>

ri2

$ зз — Ч1з —

Ъ ^хг — J t e =

—Rm

— Ъ

$i

(та

Ъ

— 1з) -