книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии
.pdfГак как
(dr, de3) = О, |
(239) |
то сферическую индикатрису R = ?з можно считать ортобазой (см. § 17) изотропной конгруэнции. Следовательно, изотроп ная конгруэнция есть тот частный случай конгруэнции Рибокура, когда ортобаза есть сфера.
Чтобы объяснить, почему рассматриваемые конгруэнции названы изотропными, определим (формально) нормаль мни мой фокальной поверхности. Получается вектор
Его квадрат равен нулю. Такие направления в аналитической геометрии над полем комплексных чисел называются изо тропными.
|
|
Глава |
3 |
|
|
ЛИНЕЙЧАТЫЕ |
КОМПЛЕКСЫ |
||
|
§ |
1. Репераж |
|
|
Будем теперь изучать |
линейчатый |
комплекс, т. е. трехпа- |
||
раметрический геометрический |
образ |
Ф3 , элементом которо |
||
го является |
прямая |
|
|
|
|
Л = р + Х е . |
(1) |
||
Если р и е |
являются функциями от трех переменных и1 , и2, и3 |
|||
(первичных параметров), то (1) можно рассматривать как
уравнение |
комплекса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Включив элемент |
в |
репер |
(так |
же, |
как |
в |
§ 1 гл. 1), |
мы |
||||||||
получим |
снова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
21 = |
0,1, 2 2 |
= |
= ш 2 , |
2 3 |
=a)J, |
2 | |
= |
т |
2 . |
|
|
(2) |
||
Так как |
теперь |
формы |
|
шj линейно |
зависят |
от трех |
диф |
|||||||||
ференциалов du>, du1, |
du*, |
то исключение |
|
последних из |
со |
|||||||||||
отношений |
(2) |
приведет к |
единственному |
|
основному |
соот |
||||||||||
ношению |
aQ1 4 - р 2 2 |
+ Т 2 3 |
+\Щ |
|
= 0 . |
|
|
|
|
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Мы опять |
исключим |
из |
рассмотрения |
случай |
линейной |
за |
||||||||||
висимости |
форм |
2 | |
и |
Щ . Геометрически |
это |
означает |
ис |
|||||||||
ключение |
такого комплекса, который содержит подмного |
|||||||||||||||
образие |
Ч"2 |
|
|
|
2 3 |
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
173
состоящее из параллельных прямых и являющееся |
голоном- |
|
ным*). Следовательно, такой комплекс |
представляет собой |
|
оо 1 связок параллельных прямых, и его |
изучение |
сводится, |
по-существу, к изучению линейчатой поверхности. Эти комп
лексы |
иногда называют |
цилиндрическими. |
|
|
|
||||||
Гак как формы ^ ' |
и ^ 2 |
пока |
равноправны, |
запишем |
(3) |
||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я* = Ъ^1 |
+ |
|
+ ^ 1 - |
|
|
(5) |
|||
Внешнее |
дифференцирование |
дает |
|
|
|
|
|||||
|
|
№ 2 + |
( ^ 2 |
- C 2 ) 2 2 4 - E 2 G 3 |
, Ql] Ь |
|
(6) |
||||
|
|
+ [d : 2 |
+ (ъ |
- f C2) 2 ? - |
Й3 , 01J = 0. |
|
|||||
Применив |
лемму |
Картана, |
найдем, |
что |
левые |
части |
всех |
||||
трех внешних произведений линейно выражаются |
через S1 , |
Щ , |
|||||||||
Q§ , а, |
следовательно, |
соответствующие |
вторичные формы |
||||||||
равны |
нулю, т. е. |
о£2 = - ( 1 |
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
8 ^ |
= |
( : 2 - 5 2 ^ ) " ? - « 2 « 3 . |
|
(7) |
||||
|
|
|
о';2 |
= |
—(•/], 4- ; 2 С2) те2 + |
я 3 . |
|
|
|||
Так как число вторичных форм равно двум, то есть равно числу полувторичных форм, соответствующих подмногообра зию Ч?2, то сразу после включения элемента в репер мы по лучаем полуканонический репер, являющийся каноническим для некоторого х ¥2 -
Деривационные формулы полуканонического репера комп лекса имеют вид:
dr = ш1 е, 4- 0 ) 2 е2 |
+ со3 еъ, |
||
dex |
= |
O J ? е2 |
— «4 е 3 , |
|
|
|
(8) |
de2 |
= — со2 ev |
~ ^ \ е ъ , |
|
de3 |
= со* |
+ cof, |
e2. |
Если оставшиеся нефиксированными вторичные параметры считать некоторыми функциями от первичных, то можно по ложить
WP = \ р СО1 Т^СО» 4- Срсо| |
, |
|
||
со? = |
0)1 |
4- щ со3 4- С, о.» , |
р = 2, 3. |
(9) |
*) т а к к а к DQ\ — [Q§ Q\], |
а |
с л е д о в а т е л ь н о п р и |
Q§ = [хй^ |
у р а в н е н и е |
2 3 | = 0 в п о л н е и н т е г р и р у е м о .
174
Условия вполнеинтегрируемости системы (8) дают основную •систему дифференциальных уравнений:
= Е , [СО1 |
0)J ] + Я/ |
[со1 0 ) | ] + |
7Н |
[0)1 |
«)| ] , |
(10) |
|
|
i |
= |
1.2, |
3. |
|
Коэффициенты |
Е г , Я ; , |
Z£ имеют |
вид: |
|
|
|
г, = £ 1 ( : 1 - Р ) , # i = - M i i + Q).
2, = - 1 - т ) ? - С ? Е 2 |
= ^ + 5 х г , 2 - Р 5 2 , |
|||||||||
|
Я 2 |
= |
+ С3 — 7j2 ?х — Qc2 , |
|
||||||
|
•^2 |
= |
TI3 |
|
"12 |
М -=2 |
|
^?2 i |
|
|
|
|
й з |
= |
Ч ' 3 |
1 — Р^г •> |
|
|
|||
|
Я 3 |
= - С . - Т ] ^ |
- |
Q £ 3 , |
( П ) |
|||||
|
^ 3 |
= |
|
Т12 |
7 il |
|
~Ч |
'3 |
Р'З > |
|
где |
[Deo1, |
«21 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Г Л<.1>1 1 |
ш 2 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
[со со |
ш з ] |
: i |
'П-i — Ьг |
r\i + |
? 3 г |
||||
|
[Deo1, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
[и)U)1 |
0)11 О) J ] |
|
|
|
|
|
|||
_ |
[Du>\Р< УсоМ| |
_ . |
|
|
ri2 ~ч |
|
||||
*\ — ~ |
: |
: |
— — '2 'п |
|
- з - |
|||||
|
[со1 |
О)1 |
Юз] |
|
|
|
|
|
|
|
Система (10) |
определяет |
комплекс с |
произвольным под |
|||||||
многообразием 4^2 (последнее можно задавать, например,
уравнением |
и 1 = |
0) с |
произволом в три функции трех аргу |
||
ментов (она |
является |
стандартной |
системой вида |
(143. 3) |
|
гл. 2, ч. 1). |
|
|
|
|
|
Формулы |
(7) |
дают |
(по-существу, |
единственную) |
возмож |
ность канонизации репера без исключения каких-либо частных случаев
52 = ^ = 0, = - 3 = 0 , (13) при которой т)2 становится первым инвариантом комплекса.
Его, естественно можно назвать кривизной комплекса. Деривационные формулы и основные дифференциальные
уравнения для канонического репера получатся, если в (8) —
(12) |
положить |
|
|
|
|
г2 |
= : 2 = о. |
|
|
Тогда |
из уравнения, соответствующего |
i = 2 в |
(10), получит |
|
ся конечное соотношение |
|
|
|
|
|
# , = ; , + |
; з - Ч 2 ? 1 = |
0, |
(14) |
175
а само уравнение примет вид
\dri2 - 22 О)1 - f Z, (Dj' , U)' ] = 0, |
(15) |
соответствующий первой строке системы (143) гл. 2, ч. 1. По скольку в силу (14) у = r|2ii — ез, то при i = 1 получается уравнение с двумя независимыми дифференциалами и только уравнение, соответствующее i — 3, останется общего вида. Следовательно, в силу теоремы 3 из § 11, гл. 2, ч. 1, произвол решения основной системы уравнений в случае канонического репера — одна функция трех аргументов, т. е. совокупность всех линейчатых комплексов зависит от одной функции трех аргументов. Последнее заключение можно подтвердить эле ментарным рассуждением. Известно, что совокупность всех прямых евклидова пространства зависит от четырех парамет ров аг. Поэтому самую общую трехпараметрическую сово купность— комплекс—можно задать одним соотношением на эти параметры, которое приводится к виду
«4 = f(au а.,, |
аъ), |
т. е. зависит от одной произвольной |
функции трех аргументов |
аь а2, аг.
Полная система инвариантов комплекса состоит из семи
коэффициентов формул |
канонического |
репера |
|
|||
|
~rl2i |
? 1> |
ГИ> |
-•!> ^3) Г13, |
'3 . |
|
связанных |
одним конечным |
соотношением |
|
|||
|
-1 = % 1\ — Ч • |
|
(16) |
|||
Заметим еще, что из (15) и (И) следует, что |
|
|||||
|
drl2 = ТП Ш1 + |
f\22 |
СО* + (У].> 7], — 7)3) tO§ , |
(17) |
||
где 7 j 2 2 — новая функция |
первичных |
параметров, |
также яв- |
|||
ляющаяся |
инвариантом |
комплекса. |
|
|
||
§ 2. Торсы, принадлежащие комплексу.
Главная корреляция
Простейшие факты теории комплексов получаются при систематическом изучении его подмногообразий Wu т. е. ре гулюсов, принадлежащих комплексу.
Всякий регулюс, проходящий через луч комплекса, может быть задан уравнениями
ш1 : со* : ш| = : [х2: ц 3 , |
, |
(18) |
где ji? — функции первичных параметров и'.
176
Прежде всего мы рассмотрим торсы. Они характеризуются обращением в нуль параметра распределения, т. е. в силу формулы (43) гл. 1 для них должно быть
(dr, de3, е3) = О
или в силу (8):
Ф, = 0 ) ' ш | — OJ2(U3 = 0
(о значении дифференциальной формы Ф) см. ниже, § 4). Среди торсов имеется единственный проходящий через дан
ный луч цилиндр
|
|
|
ш3 = св^ = 0. |
|
|
Если торс имеет |
фокус в точке |
|
|
||
|
|
|
R = г -|- t е3, |
|
|
где |
t — t(u\ и2 , ил), |
то должно |
быть |
|
|
|
|
|
dR\\e3, |
|
|
т. е. уравнения (18) |
принимают вид |
|
|||
|
|
|
ш1 + Ы\ = 0, |
(19) |
|
|
|
|
О)2 -f- taj |
= 0 . |
|
|
|
|
|
||
Касательная плоскость торса (19) (единственная |
вдоль лу« |
||||
ча) |
определяется |
нормальным вектором |
|
||
|
|
|
я J [dr, |
е3\ . |
|
В силу (19), (8) и (9) имеем |
|
|
|||
|
|
nt\\(fi2-^t)e,+(^ |
+ t)e2. |
(20) |
|
Этим соотношением устанавливается взаимнооднозначное со ответствие между точками луча и плоскостями, проходящими через него, которое называется главной или нормальной кор реляцией луча комплекса:
|
г + te3 |
«—»• (т)2 |
— Ч2 t)ex + (;2 + t) е2. |
(21) |
|||
В |
каноническом |
репере |
она принимает вид |
|
|||
|
|
|
г + te3 |
<—у у)2 |
ех + |
te2 |
(22) |
и |
позволяет |
установить |
геометрическое значение |
векторов |
|||
этого репера. |
|
|
|
|
|
||
на |
Именно, |
при \2 = С2 = |
0 нормаль |
цилиндра » ц параллель |
|||
вектору |
|
Я ц 1 1 к з, dr\ai |
„ ш | = |
0 1 к 2 . |
|
||
|
|
|
|
||||
Следовательно, в\ определяет плоскость (R—г, ех) = 0, про ходящую через луч и перпендикулярную цилиндру. Тогда из
12. Заказ 6667. |
177 |
(22) следует, что начало канонического репера (t = 0) нахо дится в точке, соответствующей в главной корреляции плос кости, перпендикулярной цилиндру. Начало канонического репера называют центром луча комплекса. Прямые, опреде ляемые векторами ех и е2 канонического репера и проходящие через центр луча (т. е. оси канонического репера), называют соответственно главной нормалью и бинормалью луча комп лекса.
Очевидно, что торс, имеющий фокус в центре луча, имеет вдоль этого луча касательную плоскость, перпендикулярную
цилиндру. Будем |
называть |
этот |
торс центральным. Для |
него |
|||||
в |
каноническом репере при |
и\2 ф |
0 имеем |
уравнения |
|
||||
и |
деривационные |
формулы: |
|
|
|
|
|
||
|
|
dr |
= |
С 3 ш1е 3 , |
|
|
|||
|
|
de3 |
|
= |
u>le2, |
|
|
||
|
|
de2 = |
— ш | |
е3 |
— < o j j |
et, |
(23; |
||
|
|
det |
|
= |
Ci ш 3 |
e>, |
|
|
|
которые можно рассматривать как деривационные формулы репера Френе его ребра возврата (последнее часто называют
центральной кривой комплекса).
§ 3. Регулюсы, принадлежащие комплексу.
Точки прикосновения. Геометрическое значение инвариантов комплекса
Отнесем комплекс к каноническому реперу. |
Рассмотрим |
||||||||||
угол ср от нормали |
е, |
цилиндра |
до |
нормали |
nt |
плоскости, |
|||||
соответствующей в |
главной корреляции |
точке |
г -f- te3. В си |
||||||||
лу (22) |
имеем |
|
|
t:-n3 |
= ctg |
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ |
= |
t-tg<p, |
ср = |
(е2, |
я,). |
|
|
(24) |
||
Эта формула похожа на формулу Шаля |
(36) из гл. 1 и также |
||||||||||
называется формулой |
|
Шаля. |
Она |
дает |
первую |
геометричес |
|||||
кую характеристику |
кривизны |
комплекса. |
|
|
|
||||||
Теперь рассмотрим |
произвольный |
регулюс |
(18). |
Абсцис |
|||||||
са х горловой точки и параметр распределения |
р |
при |
помощи |
||||||||
формул |
(40) и (43) |
гл. |
1 найдутся в |
виде |
|
|
|
||||
|
х = |
- |
m |
i ( ш 1 + |
Ъ |
|
, |
|
|
|
(25) |
178
нормаль в горловой точке имеет |
направление |
det |
и |
обра |
||||||||||||
зует с |
вектором ех |
угол |
для |
которого |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ctg«|i = |
|
- 4 . |
|
|
|
|
|
|
(27) |
||
Из (25), |
(26), |
(27) |
вытекает |
|
„формула |
Кенигса" |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
•V2=P — xtg*, |
|
|
^ = |
|
(ei,des), |
|
|
|
|||||
которая |
дает |
вторую |
геометрическую |
характеристику |
кри |
|||||||||||
визны |
комплекса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
С3 Ф 0 |
деривационные |
формулы |
(23) |
центрального |
|||||||||||
торса |
можно записать |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dr |
= |
е-л, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ds- ~ еС3 |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(28) |
||
|
|
|
|
de2 |
|
|
1 |
|
, |
С, |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
С3 |
|
|
1,3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
de\ |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где е\ |
= |
— е и |
ds = С3 ш\. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда видно, |
что |
инварианты |
С3 |
и Ct |
суть |
не |
что |
иное» |
||||||||
как радиус рц кривизны и произведение кручения *ц и кри
визны |
&ц |
центральной |
кривой комплекса |
|
|||
|
|
|
^з = р ц , |
С, =Ац Хц. |
(29) |
||
Если |
же |
С3 = 0, то |
центральный |
торс является |
конусом, |
||
a |
Ci — его |
косиной. |
|
|
|
|
|
|
Регулюс, определяемый |
уравнениями |
|
||||
|
|
|
|
о 1 = |
ш» = 0 |
|
(30) |
в |
каноническом репере, называется |
центральным |
регулюсом* |
||||
и характеризуется тем, что его канонический репер |
совпадает |
||||||
с каноническим репером комплекса. В самом деле, формулы
(8) при (13) и (30) дают |
|
|
|
|
|
||
dr |
= |
(г}2 |
е 2 |
+ % £ з)°4 . |
|
||
dex |
= |
(ъ |
е2 |
— е3) |
ш 3 |
, |
(31) |
de2 = — fix ех |
о > | , |
а?е3 |
= u>3 |
6 t , |
|||
179
откуда, полагая со3 = —ds, получаем формулы
dr |
— ~Пг e-i — Ъ |
еъ, |
~Т = |
||
as |
|
|
= |
- Ъ е2 + ег, |
(32) |
as |
|
|
de-> |
de* |
|
as |
as |
|
в точности совпадающие с деривационными формулами (24) гл. 1.
Следовательно, канонические реперы комплекса и цент рального регулюса полностью совпадают, причем инварианты к]2, Чз и t|i являются соответственно параметром распределе ния, наклоном и косиной центрального регулюса.
Для цилиндра coj = со?. = 0 деривационные формулы ка нонического репера комплекса дают
|
|
dr = со1 ег |
+ £3 0 5 ) 1 1 |
|
|
|||||
|
|
|
dex |
= ?! е2 со1, |
|
|
(33) |
|||
|
|
de2 — — Е, ех |
ш1 , de3 |
= 0. |
|
|
||||
Ортогональная направляющая цилиндра может быть |
найде |
|||||||||
на |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = r + ye3 |
|
|
|
(34) |
|||
из |
условия (dh, |
е3) = |
0, |
которое |
дает |
|
|
|||
|
|
Е3 |
со1 |
+ |
dy = |
0. |
|
|
(35) |
|
Для этой кривой |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dh |
det |
f |
|
|
de2 |
^ |
|
/ 0 „ ч |
|
|
|
ds |
|
|
|
as |
|
|
|
|
Следовательно, инвариант ^ есть кривизна |
ортогональной |
|||||||||
направляющей цилиндра |
комплекса. |
|
|
|
||||||
|
Для инварианта Ч3 мы имеем две |
характеристики, |
выра |
|||||||
жаемые формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6 . = |
- ^ |
|
|
|
(37) |
||
|
|
|
|
|
|
as |
|
|
|
|
|
|
С3 = d |
- |
7i2 |
Е, . |
|
|
(38) |
||
Последняя следует из |
(16). |
|
Таким |
образом, |
рассмотрение |
|||||
трех простейших регулюсов (цилиндра, центрального торса и центрального регулюса) дает возможность получить геомет рические характеристики всех инвариантов комплекса, входя щих в деривационные формулы канонического репера.
180
Обращаясь к формулам (25) и (27), мы замечаем, что не голько центральные регулюсы (в том числе торс) имеют ка нонические реперы, совпадающие с каноническим репером комплекса. Тем же свойством обладает любой регулюс
«4 = |
0, со1 = да>1, |
(39) |
где q — любая функция |
первичных параметров. |
Только для |
него векторы совпадают с нарушением нумерации: вектор в\
регулюса |
совпадает с вектором е2 комплекса и наоборот. |
||||
Среди |
регулюсов (39) |
два обладают |
еще одним общим |
||
с центральным |
регулюсом |
свойством — равенством |
(с точнос |
||
тью до знака) |
параметра |
распределения |
кривизне |
комплек |
|
са. Эти регулюсы |
получили название |
боковых |
регулюсов |
Га- |
||||||||||||||
ака |
(при с7=—г|2 ) и |
Главатого |
|
(q=r\2). |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Вернемся к произвольному регулюсу (18). Каждой точ |
|||||||||||||||||
ке |
М = г 4- t е% |
луча |
будет |
|
соответствовать |
касательная |
||||||||||||
плоскость |
этого |
регулюса |
(R — r, |
nt) = 0. |
Таким |
образом, |
||||||||||||
каждый регулюс |
индуцирует |
корреляцию |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
М = г + te% |
*—> nt |
I |
[dM, |
еъ\ |
= |
|
|
(40) |
||||||
|
|
|
|
= |
( о , 2 4- ti»i)et |
— (Ы\ |
+ |
|
ш1)е2, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
называемую |
корреляцией |
Шаля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Точки |
луча, в |
которых |
плоскость, |
определяемая |
корреля |
||||||||||||
цией Шаля, совпадает с плоскостью, определяемой |
главной |
|||||||||||||||||
корреляцией |
(21), называются |
точками |
прикосновения. |
Они |
||||||||||||||
определяются из |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
*2 (со| -52 cuJ) |
+ 2 * ( : 2 а > § |
+ |
^2 |
со J ) 4 - |
W |
+ |
r^co1 = 0 |
(41) |
|||||||||
или |
в каноническом |
репере |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
СО**2 |
+ 27)2С0Н + |
7]2 |
СО1 = 0 . |
|
|
|
(41') |
||||||
Так как дискриминант этого уравнения равен (ч\2 |
|
0,1 |
ш!> |
|||||||||||||||
то в силу (26) совпадение |
точек |
прикосновения |
могло бы |
|||||||||||||||
иметь |
место |
только |
для торсов, но для них, очевидно, |
кор |
||||||||||||||
реляция Шаля (40) |
вырождается. |
Для |
регулюсов, |
не |
яв |
|||||||||||||
ляющихся |
торсами, |
середина |
между |
точками |
прикоснове |
|||||||||||||
ния |
есть |
точка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
S |
= r + - n 2 |
^ e 3 , |
|
|
|
|
|
(42) |
||||
называемая |
центром |
|
прикосновения. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Линии, описываемые точками прикосновения на регулюсе |
||||||||||||||||||
(18), |
называются |
линиями |
прикосновения |
его к |
комплексу, |
|||||||||||||
а линия, описываемая центром прикосновения — |
центральной |
|||||||||||||||||
линий |
регулюса комплекса |
(ее не следует смешивать с линией, |
||||||||||||||||
описываемой |
на регулюсе центром |
луча |
комплекса). |
|
|
|||||||||||||
181
Точки прикосновения |
бокового регулюса |
Гаака |
Piz |
= г ± т],е3 |
(43) |
имеют абсциссы, равные по модулю кривизне комплекса, и называются точками Георгиева.
Приведем еще формулы для вычисления косины Ь и на клона а регулюса (18), получаемые с помощью формул (44) и
(46)гл. 1:
,_ со2flfco?- a,J m»I - о,? {(о,J )2 + К ) 2 }
а = — — |
. |
{(<4)2 + |
Ю 2 } " 2 |
(44)
(45)
Формула (44) |
позволяет |
определить „основной |
цилинд |
||||||||
роид" |
|
комплекса, |
направляющая |
плоскость |
которого |
парал |
|||||
лельна |
касательной плоскости |
|
цилиндра. |
Для |
него |
6 = 0 |
|||||
и [е3, |
de3]\\e2, |
т. е. ш2 = 0 . |
Поэтому уравнения, |
определяю |
|||||||
щие |
основной |
цилиндроид, |
имеют вид |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0,2 |
= |
COJ |
= |
0 |
|
|
(46) |
или |
в |
терминах |
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со1 : <ц1 : ю2 |
= |
га |
: (— Е,): 0. |
|
|
|
||
Основной цилиндроид играет существенную роль в пост роении аффинной теории комплекса. Одна его точка прикос новения — несобственная, а вторая называется аффинным центром луча комплекса и имеет радиус-вектор
г* = г - — е3 = г + |
еъ. |
(47) |
|
2u.i |
3 |
2$, |
|
|
|
|
|
§ 4. Касательные и соприкасающиеся линейные комплексы.
Две основные квадратичные дифференциальные формы
В теории линейчатых геометрических образов так же, как и в теории поверхностей существенную роль играет теория соприкосновений. Для регулюсов и конгруэнции эта теория развивается обычно в рамках аффинной и проективной гео метрии, но для комплексов она применяется и в пределах евклидовой геометрии.
В роли соприкасающихся образов в линейчатой геометрии могут выступать простейшие линейчатые геометрические обра зы: демиквадрика (т. е. одно семейство прямолинейных обра зующих поверхности второго порядка), линейная конгруэнция (т. е. совокупность всех прямых, пересекающих две данные —
J 82