книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

s, = о,

+ з 2 +

... +

o„_i +

з „ ,

S2 = a2 +

... +

a„,

(40)

Sn -l = 3 n - l + с л '

S„ = a„ .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Произведем

замену

базиса

xt

= f'ix)\

i,

j =

1,...

, я,

(41)

det||<p{||

0

(42)

и потребуем, чтобы все миноры матрицы

были

отлич­

ны от нуля (это требование, сводящееся к конечному

числу

неравенств в бесконечном

поле, всегда

выполнимо).

Тогда

в каждом

из уравнений

(372 )... (37„_i)

первые

2, ... ,

п~

1

векторов

можно

включить

в базис пространства

£ неизвест-

т

ных

векторов, а

остальные

станут

линейными

комбинация­

ми

базисных векторов

той

же строки. Вид и число уравне­

ний

(37),

очевидно, не

изменится—произойдет

лишь

изме­

нение коэффициентов

р п о формулам: р'ь

= cpj

Мы

по­

[ г ,

р' * * ]

= 0 .

Построение цепи решений по способу

Кэлера на втором

шаге дает

х*3 =

... = х*п

— 0,

г=

х] +

12х*2

(X1 — предыдущий

коэффициент)*

p u 2 =

р 2 Х 1 .

(43)

неизвестный

коэффициент

Кэлера.

Рассмотрим теперь одно из уравнений (37р) (р^-2)

и за

пишем его в виде

[ г ' * П +

••• +

[

•+

+

[ u^+'4+i ] + ... + [ u?"

= О,

где небазисные

векторы имеют вид

W* = <!>* г?; q =

1, ...р,

т=р+

1,... ,

п.

Полагая

последовательно

х*р+х = ... =

=

0,

zi =•• I*"*х*д,;

<?! =

1, ...,

р,

мы на первых р шагах

получим

соотношения

вида

fc«> =

X«»*; q,

^

= 1

р,

(45)

которые не дают нарушений критерия

Кэлера. На

(р +

\)-м

шаге при г4

= X"» * J a ,

Х р + 2

= • • • =

* я

=

0,

<72

=

1,...,/?+1

получается

р соотношений

V.p+1 =

> Л Р + 1 =

.$*Ч«»,

(46)

которыми

критерий Кэлера

снова не нарушается. На (р-\-2)-м

шаге получим опять р

соотношений

)J.p+2 =

^ + 2 ) « ' , . . . ,

>.''"+s

=

,

(47)

не нарушающих критерия Кэлера, и соотношение

которое

является

следствием

соотношений

(45),

(46),

(47)

На последующих шагах повторится та

же

картина.

Таким

образом,

критерий

Кэлера

выполнен

для

каждого

из

урав­

нений системы, и наша система—в

инволюции.

Для подсчета характеров заметим, что каждое из Ст[ урав­

нений подсистемы (37i) на каждом шаге (начиная

со

второ­

го) построения

цепи по способу Кэлера

дает

по одному

неза-

висимому

уравнению относительно

новых

коэффициентов

Кэлера (уравнения

вида

(43),

(44)

и т. д.), каждое из ар

(р — 2.3 ... ,п—1)

уравнений

подсистемы

(37р)

порождает

на втором

шаге — одно,

на третьем — два,...,

на

р-м шаге —

Р—1 уравнений

вида

(45), а начиная

с (р +

1)-го шага — ш>

р-соотношений

вида

(46), (47) и т. д.; наконец, каждое из о

уравнений

(37„) порождает на каждом р-м шаге р — 1 урав­

Pi =

°i + Ь + ... + о

я _1 + о„,

р 2 =

^1 f 2з, +

... + 2 з „ _ , + 2а„,

P„_i = з, + 2з2

+ ... +

(л — 1) оя _, +

Отсюда для характеров s, = р,,

s2 = р2 — р„ ...,

=

получаем

s„ = г — s, — s2—

... — s„_, = о„. Теорема

доказана.

О п р е д е л е н и е

3.

Стандартной

системой

второго

рода

называется

система

внешних

квадратичных

урав­

нений

вида

(37)

с

теми

же

предположениями,

относи­

тельно

векторов

2: 1 , z'a

k

k

... ,z' n _ , к

h

, что и в оп­

ределении

2,

но

с меньшим

ограничением

на zT n _, t ,

ко­

торые,

как

в

определении

1, могут

быть

линейными

ком­

бинациями

всех

базисных

векторов:

•U

Т 2-*.

*я-2 .

Ч -

м

"

«т.

V

г 7 2 . * „ . . . , * л _ 2 - ^

1л + 1.;

*1<.--< * л

_ 2

Т л - ] , г

*, <*2

'л—1,1

"t л - 1 . А

+

^

г ; '

+

+ ?*

2* я

+

а/

х у ;

/ =

1, ... ,

п.

1Л — 1. i

'In —U i

(индексы

над

г,

как и

в

определении

2, опущены).

Здесь-

предполагается,

что в правой

части

коэффициенты

% при

Т л - 1 .

/

небазисных

г

равны

нулю

(например,

\-}

= 0)

и по оди-

наковым

индексам

т; проводится

ТГл-1,

i

суммирование.

Объединяя

рассуждения,

проведенные

в

доказательст­

вах

теорем

1 и

2,

можно

получить

следующий

резуль­

тат

(см. [3]):

Т е о р е м а

3. Стандартная

система

второго

рода —в ин­

волюции,

если существуют

такие

элементы

поля

2

,

что

рицы

1^(1

отличны

от

нуля,

2)

все

П

Р И

s

~

=

1, ... , п<Сп

для

каждого

4i

и

некоторого

п

отличны

от

Т1

_

Ti

нуля, а все остальные р*, равны

нулю,

3)

отличен

от

нуля

определитель

а„-(п — 1)-го

порядка:

D

=

d e t | ^ ; f ,

(49)

ИФИ,

h =£/> i'=

1. 2, ... ,

n

-

1,

в

котором

= Ф У Т ^ . + З К Т

Я Я : ^ Л

-

(50)

Характеры

этой

системы

вычисляются

по

формулам

(40).

Заметим, что первые два условия всегда могут

быть

выпол­

нены соответствующим

подбором

а

третье

(так

же,

как

и условие (30) в теореме 1)

может

оказаться

невыполнен­

ным ни при каком выборе

Последнее

утверждение

вы­

текает, между прочим, и из

следующей

теоремы,

так

как

трактуемую в

ней

систему (51)

при

п =

3

можно привести

к виду (37„_i).

Т е о р е м а

4.

Внешняя

квадратичная

система

с

выде­

ленными переменными

xt

вида

[zj х,]

= 0 ;

/,

/

=

1, ... ,

п,

(51)

где

z[

- zj

(52)

к

*

л

( « + l )

мерного

векторного

подпростран-

образуют

б а з и с — 1

2

ства,

всегда—в

инволюции

и

имеет

старшим

характером

число

s„ =

1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как

обычно,

будем

строить

регу­

лярную цепь

по

способу Кэлера, полагая

на р-м

шаге

Xp+i =

... =

Х

п = 0 ,

z'i = \{°Р

хар

,

(53)

где ар — 1, ... , р.

При

этом

в

силу (52)

при всех

р =

1, ... , п

имеем

)//р

=

X f Р ,

(54)

т.

е.

X? =

k=

1, ... ,

п.

(55)

С

другой

стороны,

по лемме

Картана (§5)

имеем

Цк

= \1\

(56)

о

\ f p - l р =

lpap~i

г = ( р - \ ) п - ( р - 1

) { 2 Р ^ 2 )

=-.{р-1)п-{1+...+р-2),.

причем г2 ~ п.

Поэтому характерами

являются

числа:

st

= г2

— г, = п,

s2

= г 3 — г2 = 2п — 1 — п = п — 1,

S P

= rP+i

— rp =

n—(p—\),

Sn

--•=

( ^ + . . . - f S n - i ) — 1.

Теорема доказана.

Заметим,

что в правых

частях системы (51) вместо ну­

лей можно поставить члены вида

так как после

замены

4 -

р / г Xj =

z\

система снова

приведется

к виду

(51). Однако наличие спра­

ва членов,

содержащих

слагаемые вида а [ * л * л ] >

h Фг>

/г Ф i, меняет

дело. Аналогичные замечания можно

сделать

и по поводу

фигурирующей в теоремах 2 и 3 системы (37).

Глава

2

§ 1. Внешние дифференциальные формы

Рассмотрим арифметическое

м-мерное пространство Хп,

т. е. совокупность всех наборов

по п

действительных

чисел

(х\, х2,...,хп),

называемых точками

пространства.

Числа

Х\,..., хя

естественно называть координатами точки.

смысле иногда

Хп

называют аналитическим пространством.

Совокупность

F

всех аналитических

вещественнозначных

где dxt означают независимые

приращения переменных xt

или, что то же, дифференциалы

функций /=х,-. Совокупность

ренциал

функции / =

0, который

тоже обозначают

нулем:

Рассмотрим соовокупность всех линейных дифференциаль­

ных форм, т. е. выражений

вида

п

где gj — произвольные

функции

из

F.

Эти

выражения

на­

зываются формами

Пфаффа.

Они

будут

играть

роль

век­

торов во всем дальнейшем, тогда

как

функциям ff_F до­

станется

роль

скаляров.

Дифференциалы

df принадлежат

совокупности

форм

Пфаффа.

Если

сложение

и

умножение

на

функции

для

форм—

Пфаффа

определить

обычным

образом,

т. е.

положить

где

Ш =

(В* +

Ш2 ,

gj

=

g) +

g)

,

п

ш''

=

2igjdxj,

(i

=

1,

2),

то получается структура «-мерного

унитарного

модуля

над

кольцом

функций из

F.

В каждой

точке

М это кольцо

превращается в

поле, а

унитарный

модуль — в векторное

пространство

дифферен­

циалов. Это

векторное

пространство будем

называть

каса-

тельным

векторным

пространством

Тп

пространства Хп

в точке

М. Дифференциалы

d x u . . . ,

dxn

являются

одним

из базисов

этого

векторного

пространства.

Поэтому

можно

назвать

Тп

векторным

пространством

дифференциалов,

хотя,

конечно, не любая форма ш является дифференциа­

лом

какой-либо

функции.

ным в е к т о р н ы м

п р о с т р а н с т в о м о б ы ч н о

н а з ы в а ю т в е к т о р н о е

п р о с т р а н с т в о ,

с о п р я ж е н н о е к

в в е д е н н о м у

н а м и Т, т. е. с о в о к у п н о с т ь

всех л и н е й н ы х

о т о б ­

р а ж е н и й п р о с т р а н с т в а

Т в

м н о ж е с т в о

д е й с т в и т е л ь н ы х чисел

(см., н а п р и ­

мер, [25] , 1, гл. I l l , §

I V ) . О д н а к о

н а м у д о б н е е п р и м е н я т ь э т о т

т е р м и н

д л я

^ п р о с т р а н с т в а д и ф ф е р

е н ц и а л о в » .

Д л я

а н а л и т и ч е с к и х

п р о с т р а н с т в об а

эти

а с с о ц и и р о в а т ь с ними к а к и е - л и б о

г е о м е т р и ч е с к и е к о н с т р у к ц и и .

Построенная

на Т„, как в § 5, гл. 1, внешняя алгебра назы­

вается внешней

алгеброй

дифференциалов,

а соответствую­

щие внешние формы — внешними дифференциальными

фор­

мами.

п

2 =

2

a'l"'p\dxll...dxtB\

Р

н...

ip=\

2

= 2

b^-lp\dxh...dXi\,

Р

h<h<...<ip

Так как

Xi = x / ( y l t

. . . ,

уп).

(3)

d X i =

2

аУр

то

dXll

дх1р

\dxh...dxip\=

V

КУЛ • • • ^ У л , ]

j . - j „

1^УУ: ^УУр

V

det

-\[dyh...dylp\

Л<Л< —

<JP

k

=

1,... , p ;

I

=

1,...,

Л

В

частности,

при p = n имеем

[dx1...

сОс„] =

det

дх.

[dyi...

dyn],

dyj

что

в точности

совпадает

с

законом преобразования

крат­

ного

интеграла

при

замене

переменных.

Поэтому кратные

интегралы

иногда

пишут

не

в

виде

J . . . J " Adx^...

dx„,

а

в

виде

J . .

. |

A [dx^ ...

dxn\.

Q ==

V

a - h [со,-,. .. со/

] = О,

(4)

1Х<^< ...<<„

где ш1, о)2,...,

«/' — неизвестные

формы Пфаффа,

а коэф­

фициенты являются

функциями

от Xi.

Решение такого урав­

")/ = bJt *j; i = 1, ... , n; j = 1, . . .,

q,

p^q<n,

(5)

4. З а к а з 6667.

49