книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

внешнего

дифференцирования

в

силу

теоремы

Пуанкаре

(см. § 3)

всегда приведет к тождеству. Поэтому

имеет смысл

ввести

следующее

Внешняя

дифференциальная

система

О п р е д е л е н и е .

(S'),

полученная

посредством

внешнего

дифференцирования

уравнений

внешней

дифференциальной

системы

(S),

вместе

с этой исходной

системой

образует

новую

внешнюю

дифферен­

циальную

систему (5*),

называемую

замыканием

исходной

системы

(S). Сам процесс

построения

системы

(S*)

также на­

зывается

замыканием.

Если

замыкание

внешней

дифференци­

альной

системы. (S)

не дает новых уравнений,

то она

называ­

ется

замкнутой.

Естественно

предположить,

что

совокупность

решений

системы

(S) и ее замыкания совпадают. Однако

это предпо­

ложение

нельзя считать очевидным, так как перестановоч­

ность операции подстановки выражений (27) и (28)

в урав­

нения системы

(5) и операции замыкания не устанавливалась.

Указанную перестановочность можно доказать следую­

щим образом. Рассмотрим

форму

(52)

и ее внешний

дифференциал

0 = D0 = д'а''---'Р

[dxi

dxix

- •

(53)

Запишем

(27) и (28) в

виде

и

x l

~

fi

(^1> • • • > tm)

(54)

m

d * ,

=

2 difrdt,

= dU

(55)

У=1

Подстановка

(54) н (55) в (52) дает

в

(f(t))

= a!'-iP(f(t))

[dflt,..

.,

dflp\

(56)

(мы

пользуемся

сокращенными

обозначениями,

введенными

в начале §5) .

Продифференцировав

(56) внешним

образом, использо­

вав

при этом правила (20), <21), (22) и формулу

(22'), получим

D {в (f(t))}

= д^-'р

{f(t))[df,

dfix,.

. ., dfip\.

(57)

Подставив

(54) и (55) в (53), найдем

9 / ( 0 )

= &а''-'р(/(*))

[dfh

dft

,dfip).

(58)

Формы [dfi, dftt, ... , dfi]

в (57) и (58) равны

в силу

пере­

становочности

обычного

дифференцирования

и

подстанов­

ки

(54). Поэтому

D {9 (/(*))} -

в (/(О),

(59)

что

мы и хотели

доказать.

Т е о р е м а

о з а м ы к а н и и .

Интегральная

поверхность

системы (S)

является интегральной и для ее замыкания.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно рассмотреть одно урав­

нение:

9 = Ф-1Р

[ d x , v • -dxTP\=Q.

(60)

Если поверхность (54) является

для него интегральной, то

б(/(*)) = о.

Но

тогда в силу (59)

e(f(t))

=

D{e(f(t))}^0,

т. е. поверхность (54) является интегральной и для

замыкания

в = D 6 = 0

уравнения (60). Теорема доказана.

Имея в виду

теорему

о

замыкании,

будем

всюду

далее

Г,

I

.

\

-7- V,

(61 )

D{xu

. . .

, Хп)

xt-x»

v

. . . , * „ )

=

0

(62)

в

некоторой

точке

М 0 ( * ? . ...,

хпп)

пространства

Х„, то в не­

которой

окрестности

этой

точки для всякой

аналитической

функции

Ф(х 1 ,

х п ) , также

обращающейся

в нуль в М0 :

Ф(х<\

. . . , * „ ) =

0,

(63)

можно дать

представление

Ф

=

v

Achi,

(64)

где

Ai — аналитические

в той

же

окрестности

функции от

переменных

xlt

...,

хп.

— Ковалевской).

Система

г

диффе­

Т е о р е м а

2

(Коши

ренциальных

уравнений

в частных

производных

вида

~-

=

^s (xi'

• • • ' хю

zu

• • • v zn

Т - 1 1

• • • > j r ^ V

(^5)

оХу

\

ох2

'

/ = 1, . . . , г; i = 1, . . . , п,

где

Fj — аналитические

функции

всех

аргументов

(т. е. от

х

, Zj и всех частных производных, кроме тгх, что стоят слева)

в

окрестности

„точки"

Х, = Х?, Zj = Z% &zj

= p<tj,

(66)

имеет единственное

аналитическое

решение

г1 = Ф]{х1

хп),

(67)

удовлетворяющее

условиям

Фу

(х°,,

х>,

. . . , х„)

= <pj(x2%хп),

(68)

где

<?j — аналитические

функции,

а также условиям (66).

§ 8.

Основная теорема Картана

Здесь мы сформулируем и докажем

основной

результат,

на

основе

которого

решается

вопрос о совместности

внешней

§4) имеет

интегральную поверхность 2RV (ч < п), для которой

точка М0(х\,

. . . , хп) является

неособой. Пусть 9Jcv принадле­

жит поверхности 9ЯЯ -Р (р >-1),

для которой точка М0 также

пределение Pv+i, которое 1) принадлежит

(см. § 2)

распре­

делению Pn-f,

соответствующему

поверхности S0?n-P, 2) со­

держит распределение / \ , соответствующее

поверхности

и 3) удовлетворяет

системе

(S) в точке

М0,

то существует

(в окрестности точки М0) единственная

принадлежащая 9ЛЛ _Р

и содержащая

2RV

интегральная

поверхность

2R„+i

системы

(5), которой

соответствует

распределение А,+ь

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Проделав

необходимую

замену

переменных,

можно

добиться

того,

чтобы

поверхностиЗВ„_Р

и SERv задавались

уравнениями:

9ЛЛ - Р :

хп

= 0, /г =

п — р +

1, .. . , п,

(69)

*v+l = О,

Xv + 2 = / v + 2 ( ^ i , • • • , * v ) ,

an.

• •

1

•

(70)

ЛГг е _р — /п—Р

( Х | ,

. . . , J f v ; ,

Jf* =

о.

Поверхность

2Rv+i

в силу

условий

теоремы

следует

искать

в виде

v+2

4

+ 1) ,

9»v+i:

Хп—р

— с р я _ р (АС],

. .

. ,

X,,

Xv

+

i),

(П)

•«А

=

0

при условии

C5v+ 2

(Xi, . . . , *v , 0) =

/ v + 2 (.ТЬ

• • • ,

*v),

(72)

9n-p

(-fii • • • , •fv, 0) = fn—f

(Xi,

. . . ,

x,).

Соответствующие

распределения

имеют вид

P „ _ P :

dxh

=

0,

(73)

'rfXy + l

= 0,

^

=

2

d a f g d x « >

ё = v + 2, . . . , п — р,

(74)

dx„ = 0,

s

v+1

S = v

+ 2, . . . , я — р,

^*v+i:

d x

= 2 &ЬаХк*

(75)

x=i

dxf t

= 0,

где

* ? * U +

I=o =

d»/,, а = l , . . . , v .

(76)

Таккак9Л\ является

интегральной поверхностью

системы (5),

то внесение в последнюю

выражений

(70) и (74) дает тож­

дества. Внесение же в (5) выражений

(71) и (75) приведет

к некоторой системе уравнений (а), линейных

относительно

d'+bg.. Эта система

в точке М0 будет

иметь единственное

решение (д''+ 1 <рг )м0 ,

так как имеется единственное распреде­

ление P,+i, удовлетворяющее трем перечисленным в теореме

венным образом. В некоторой

окрестности

точки М0

этот

ранг останется

равным п — р — v — 1. Следовательно, система

(з)

может

быть разрешена

относительно

дч +1у

и приведена

к

виду

=

+ ф * (*ь • • •. х,+и

<?g, о > » + 2 , . . . , д'<ря _Р ) =

0, (7/)

g = v + 2, . . . , п - р.

Эта система при условиях (72) в окрестности

точки М0

имеет

единственное

решение

=

С**'

X v + ] )

в силу теоремы 2 предыдущего

параграфа.

Остается

доказать, что найденная

таким

образом

по­

верхность

xg

= <?g(xu

. . . . X v + i ) , *A =

0

(78)

является интегральной для системы (S).

Внеся

(78) и (75) в (S), мы получим ряд соотношений вида

/1р.(хи

. . . ,

J C „ Xv+i) = 0,

(79)

М * ? .

0) = 0 .

(80)

их образования: 1) те, при вычислении

которых участвовали

производные dv+1cp

(они получились

из коэффициентов при

произведениях вида

[dxai,

. •., dx*q,

dx4 + \\, а,- — 1 , . . . , v):

• A<»(*l f

* , + i ) = 0 ,

(81)

2) те, в которых такие

производные

не

участвовали (они

получались из коэффициентов при [dxai

•

•'dxaQ]):

А?}

(*х. • • •, **, ^ + . ) =

0.

(82)

5. З а к а з 6667.

65

Заметим,

что соотношения (81) уже являются тождествами

в силу (7/). Так как 9ЛЧ — интегральная

поверхность, то при

- K V + I = 0

имеем

( * „ . . . , * „ 0) = 0.

(83)

2

H^-a"\dxtt„...,dxas]=0,

(84)

di<---<as

o.t = 1, . . . , v; S < м .

Слагаемые с dx4+i

тождественно равны

нулю в силу (77), а

коэффициенты H"f-as в

силу теоремы

1, § 7 суть линейные

комбинации выражений

А<2 ) ,... hfj:

Ha'---as

= Q « . - « j ^ ( 2 ) .

(85)

Продифференцировав

(84) внешним

образом

и учитывая,

цией

подстановки

соотношений (78) и

(75) в уравнения сис­

темы (S), а с другой — замкнутость системы

(5), мы получим

одно

из тех соотношений,

которые

получаются

подстановкой

(78)

и (75)

в уравнении

степени

s-f-1 или как следствия

подстановки

(78)

и (75) в

уравнения

степени

<s-f-1 (эти

следствия получаются внешним умножением

на dxal

с по­

следующим

линейным

комбинированием).

Следовательно,

v

d*+iH^—'s

[dx,+ idxar • -dxag\ -f-

+

2

JZdaHa'--*s[dXadxai--

-dxas}

=

=

^

A e ' - e * + i [ f l f x e i - . - r f j c e s + 1 ]

(86)

(и здесь в правой

части

члены с

d x v + i уже равны

нулю).

Отсюда,

в частности,

вытекает

система

соотношений

d»+i#».-«* = 0.

(87)

В силу (83) и (85) имеем

Я'»—* ( х , , . . . , х „ 0) = 0,

(88)

а в силу (80) и (85)

/ / * • - " ( ж ? , . . . , *°, 0) = 0.

(89)

Так

как К"1'""* также являются линейными

комбинациями

Л^2),

то с (86) согласуется и условие

<№>-«*(*?,...,

хЧ, 0) = 0 ,

(90)

случай, когда в такой системе

заранее обусловлено,

какие

из переменных

являются

независимыми, а какие — неизвест­

ными функциями. Первые

будем обозначать х и

...,

х„,

а по­

следние z a , z r

.

В фиксированной точке М0{хЧ,

г") ариф­

метического

пространства ХП+Г,

имеется касательное

вектор­

ное пространство

Т„+Т,

на котором можно построить внешнюю

алгебру дифференциалов (см. §1) .

Системой(^)мы по-прежнему будем называть замкнутую

внешнюю дифференциальную систему, рассматриваемую

ло­

кально, т. е. в окрестности некоторой фиксированной точки

М0.

При этом будет допускаться произвольная замена базиса

{dx^,

т. е. независимых

переменных:

xi = xi(x{,...,

хп),

(91)

dxi

— d'rxrdxf,

i,

V = 1, ... , п,

(92)

причем

аеЦЯ'х^фО

(93)

в точке М0,

а

следовательно, и в некоторой

ее

окрестности.

В

касательном векторном пространстве

Тп+Г

систему

(5)

можно

рассматривать

как

внешнюю алгебраическую

систему

с выделенными

переменными dxt

и искомыми dZj.

Разумеется,

алгебраическое

исследование можно провести и в любом эк­

вивалентном

базисе:

шг = a''dxr,

(94)

5'

67

в,- == ft dxi + Ц-dzj.,

/, /' = 1 , . . . , г,

(95)

где <xj', Ц, ^"—-функции всех переменных в точке М0

(а сле­

довательно,

и в некоторой ее окрестности),

detJafJ^O,

det||^'||^0 .

(96)

В соответствии

с § 7 , гл. 1 решения системы (S)

следует

искать

в виде

dzj

= ^dxi

(97)

или

е,- = Х<соь

(98)

т. е. в

виде

некоторою

я-мерного распределения

(см. §2).

При этом коэффициенты vj. или ^.являются

функциями всех

переменных

х и . . . ,

хп, гх,...гг.

Однако не всякое

алгебра­

ическое

решение

будет

давать

интегральную

поверхность,

так как не всякое

распределение

является

интегральным.

Всякое

одномерное

распределение

всегда

является ин­

тегральным, так как оно сводится

к системе

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

вида

dZj = ^.dxu

(99)

dxp

= 0, р = 2,... ,

я,

где х, — одно из

независимых

переменных,

а эта

система

имеет единственное решение (кривую) Шг, проходящее

через

М0 , в силу известной теоремы

существования

для

системы

обыкновенных дифференциальных

уравнений (напомним, что

мы работаем с аналитическими

функциями):

хр=*х%,

г, = / , ( * , ) >

f,(x»)

= z%

(100)

Если система

(S), как алгебраическая система, в инволю­

ции относительно

некоторого

базиса,

т. е. допускает

пост­

роение

регулярной

цепи решений по способу

Кэлера, описан­

ному в §7 , гл. 1, то по интегральной кривой

9Л, мы

можем,

в силу основной теоремы Картана,

построить

интегральную

поверхность 3J}2, для чего в качестве

9ER«+ r -P

можно

взять

любую

поверхность

я - f г — р

измерений,

подобрав

р так,

чтобы соответствующее распределение Р л + Г _ р

содержало рас­

пределение

Рх (99), а в точке

М0

определяло

бы

единст­

венное

векторное подпространство

7 2 , содержащее подпрост­

ранство

Т,, соответствующее

распределению

Рх.

Если в М0 двумерное алгебраическое решение опреде­

ляется с произволом г2= г — р%ах

~r

— (s0-f- s,) параметров, то

р = г2 = г — s0

— sy

поверхность

9ЛЛ + / -_Р

можно задать

в ви де

2

i = ^ i (х)> -^г)»

zf = Ft(Xl,x2),

(101)

где Fu...,

F9

— произвольные

функции, удовлетворяющие

лишь условиям

Fn(xu

* $ ) = / * ( * , ) ,

Л =

I

р.

(102)

Нетрудно

видеть,

что это построение

является

непосредст­

~ s i ~ s 2 произвольных

функций трех аргументов и т . д .

В итоге получается

следущая

Т е о р е м а

(вторая

теорема Картана). Если внешняя

алгебраическая

система с выделенными переменными, в кото­

тема

(5) имеет интегральную поверхность, проходящую через

точку

М0 и определяемую с произволом sn

функций п пере­

именных, если sn=£0, sn-i

функций п—1 переменных, если sn=0

Sn-l Ф0

и т. д.

Si,...,s„

Если

все характеры

системы

(5) равны нулю,

то это означает, что все внешние

дифференциальные уравне­

уравнений

первой

степени,

и система сводится (так как она

считается уже замкнутой)

к вполне интегрируемой системе

sa

уравнений

Пфаффа,

которая

имеет решение, зависящее

от

s0

произвольных постоянных. Поэтому внешнюю дифферен­

циальную

систему,

которая (может быть, после продолжения

—

см. следующий

§)

сводится

к системе, все характеры ко­

вольно, то указанные связи представляют собою новые

(т. е.

не содержащиеся в (S)) конечные уравнения на xi и zj4

Если

определять n-мерную

интегральную

поверхность

только в

том случае, если она

(система) вполне

интегрируема.

В дальнейшем мы для краткости будем говорить о внеш­

ней дифференциальной

системе, что она — в инволюции (или

не в инволюции),

подразумевая, что

в некоторой

области

висимых поливекторах

[dx(l,

dxt

\;

F* (*„ zj,

vj) =

0.

(103)

Если эти соотношения дают (непосредственно

или в

качестве следствий)

нетождественные связи на xt

или

ходная

система

(5) не

имеет решений, т. е. является

проти­

воречивой.

Если же таких соотношений не возникает, то, дифферен­

цируя

(103), мы

получим

уравнения

Пфаффа вида

Q, = <zi dxt

+

% dzj + T 6

dvy = 0 ,

(104)