книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

Пфаффа, причем система

(S)

будет

ее следствием,

т. е. лю­

бое решение системы (97) и

(104)

является

решением сис­

темы (S). Система (97),

(104) является, в

общем

случае,

незамкнутой, и для отыскания ее решений мы

должны

присоединить к ней квадратичные уравнения

[dydxt]

= 0 ,

DQx

= 0.

(105)

темы (S)

с выделенными

переменными x-t

к квадратичной

системе (97), (104), (105) называется продолжением

системы

(S).

Такое

продолжение может

быть, конечно,

осуществлено и

в произвольном базисе, т.

е.

исходя

из соотношении

(98)

вместо (97). При этом однако должны быть

найдены

выра­

жения внешних дифференциалов Du>h DQt

через

внешние

произведения при помощи соотношений

(94) — (98).

тиворечива и не в инволюции. В результате

первого продол­

жения мы получим систему уравнений

Пфаффа:

dzj-vl/dxi

= 0, t =

l —

> n >

/ 1 0 б )

/ =

1,

г,

вестных функций

zjl (у, =

1,

г,)

и независимых

перемен­

ных

Х{.

V/ — Vj(Xl,

Хп,

2 , ,

Z r

J ,

1

1

(107)

2; -

=

Zy ( J C L

J C „ ,

z,,

zr ,).

Дифференцируя

(107),

получаем

rfvj =

dxh

+

рУ1

dzJlt

h

=

1

л,

y, =

1,

r,.

(108)

Замыкание

системы

(106) с учетом

(108) дает

p f

[dzj,

dXi]

+ vj'' [dx,,

dx,]

=

0.

(109)

i

К этой системе относительно zy, и сводится

результат

продолжения

исходной

системы,

так

как

все

остальные

уравнения

сводятся

к

конечным

уравнениям

для

нахожде­

ния

, Zy.

Система

(108) всегда

вполне

интегрируема

в силу

того,

что D(df) = 0 (см. § 3).

Вследствие непротиворечивости исходной системы сис­

тема

(109) также

должна иметь

решения

вида

dzjl

— <sjldxi = 0.

(ПО)

Поэтому в касательном векторном пространстве Тп+Г,

можно

ввести новый

базис:

dxh Q j ^ d z ^ - ^ d x , ,

(111)

относительно

которого

уравнения (109) примут вид

Положив

ХУ'

[%i dxi]

— 0.

(112)

О . — „Л

(113)

и сделав произвольную замену базиса [dxi]

rfxi

=

a S / „

det||a-4|^0,

(114)

мы приведем

(1!2) к

виду

где

[о«с„(] =

о,

(115)

Q } =

4<o/-

= ^

2

л

,

( П 6 )

а

V-'/'-bis'/'-

( И 7 )

В системе (115) формы 2} не образуют

базиса

подпро­

странства

ТГ1 — Т„+Г,\ТП,

но содержат

его, т. е. число ли­

нейно независимых форм

Q) равно г,.

Система (115)

состоит

из г

уравнений

(строк),

каждое

из которых содержит слева п квадратичных

слагаемых, т. е.

принимает

вид

таблицы

с г строками

и п

столбцами. Ко­

нечно, некоторые 2} могут быть равны

нулю.

Приведение

квадратичной

системы

к виду (115) значи­

тельно

облегчает

применение

критерия

Кэлера,

который

в этом случае является необходимым и достаточным

ус­

ловием

инволютивности,

так как базис ш; , введенный

по

формулам

(114),

является

произвольным

(см. § 7,

гл. 1).

На

первом шаге мы должны искать

решение в виде

2} = х" ш , ,

ы2

=

• • • = ш" = 0

(118)

или, имея

в виду

(116),

в

виде

• 1

» я = 0 ,

(119)

/.,-. to,

так как, зная Хд, мы найдем и

х}< =

# 7 } , .

(120)

Коэффициенты

Кэлера

Хд — произвольны,

так как

мы те­

перь имеем только квадратичные уравнения

(109) или рав­

носильную

им систему (115).

На втором шаге мы ищем коэффициенты

Ху = у-'/'Х^, под­

ставляя

выражения

2J- =

X j 1

ш 1 -|- X}2 ш 2

(121)

в (115) и

считая Хуи а следовательно,

и X}1

заданными. По­

лучаем

\ ) 2

— \?=0

(122)

или

У У ^ ^ Ч .

(123)

Ранг s, матрицы

I р-У'|| есть

первый характер системы

(115).

В силу (116)

2} = ^ 2 Л .

(124)

равен Si - j - So, где s2— второй характер

системы (115). Так

как матрицы \\\>?/'II и Ц^У'Н в силу (117)

и произвольности

рицы,

стоящие ниже

строки

с номером su

являются линей­

ными

комбинациями

предыдущих. Поэтому

ранг

этой

мат­

рицы

не превышает

ранга

матрицы

и

s2

строк

ее,

провести

перенумерацию уравнений

(115

так, что

в пер­

вых

5 , строках

по-прежнему будут

стоять

линейно

незави­

симые векторы Q), а в первых

5 2 < 5 , строках — линейно

независимые векторы 2у.

Продолжая такую перенумерацию до последнего (/г-го)

столбца,

мы приведем нашу систему к следующему

„лест­

ничному

виду":

[ohQ\\

+

[c a af ] +

• • • + к - i ^ Г 1 ]

+

К ^ П

= о,

[u),2Jn + i] + [cu2 2^ + i] -\

h [u)„_i

] а > Х ] +

K £ £ J J +

• • • + [«,„_, 2 Г 1 ] +

= o,

[(«,21,+ !]

1+ [mtQ2St+1\

+ • • • + K - i 2",+i] +

= 0,

74

] + m:j=o,

фН> =

р»^Ш1а

/ , = 1, . . . , я ,

(133)

где,

конечно

Р"'' 3 = Р'/1'.

Введя

новые

формы

=

^dty-f*1'1**,,,

(134)

мы

приведем

систему

(132) к виду, аналогичному

(115):

[Q'/m,]

- 0 .

(135)

Эта система содержит п-r уравнений,

т. е. п подсистем ви­

да (А), соответствующих

различным

значениям

индекса i.

Если

в каждой из них провести

такую же границу, как

в (А),

то под ней останутся

векторы

2 ' = rfV —/>". <1);,

(136)

t

t

t

(индексы j , it

так же, как в (127) опущены), а над ней —

векторы

Qift =ft ft

PUWI

(137)

Векторы (136) линейно

зависят от (137). В самом деле,

про­

дифференцировав вытекающие

из (127)

равенства:

л ' =

t

ь

(138)

получим

/

d)J = уьй\1

+ £*'•<!>,,.

(139)

t

t

ft

t

Исключив из

(136), (137) и

(139) дифференциалы сГ/.\ d)J,

мы и получим

искомую

зависимость.

t

*

Таким образом, в каждой из подсистем системы

(135) под

границей останутся

небазисные векторы

касательного

вектор­

ного пространства,

соответствующего

новой системе

(132).

При этом среди векторов, стоящих над границами,

не все

векторы будут базисными, так как имеют место

соотношения

= 2', г .

(140)

ду базисными векторами

Следовательно, по крайней

после конечного числа (<С пг)

шагов мы или получим систе­

му в инволюции, или вполне

интегрируемую систему

(когда

на некотором этапе все Q'/"

окажутся нулями).

Теорема

доказана.

(1)

С"

( П

[ в 1

(В,]

=

* Т , [ ш , с о , ] ,

(2)

Ш,] +

(2)

(2)

(141)

[ в

2

<о,] =

IX, [U) Wo] ,

1

Та

TJ

(3)

(3)

(3)

[2» °>l]\ +

[Я**2] =

*Тз

Тз

Тз

(1)

О)

лов независимых переменных, 2 2 ,

2 2 — формы, образую-

т ?

формулам

(28), гл. 1

формулам, аналогичным

( ? )

(?)

3 (<7)

.

(р)

В<? =

& = V

А]Р

2',

т?

7?

P=l т?

т/>'

/ = 1,2;

1Фр,

/7

=

1,2, 3,

(142)

(?) .

области

Д

арифметического

пространства

Х2+г,

в

которой

тем

же

условиям

удовлетворяют

и коэффициенты

всех

форм

Пфаффа.

(С. В.

Бахвалова).

Т е о р е м а

1

Стандартная

квадра­

тичная внешняя

дифференциальная

система

(141) — в

инво­

люции,

если

в

области

Д существуют

функции

'Ь\

и Ф,,

удовлетворяющие условию (30), гл. 1, где величины

оп­

ределяются

в виде (31), гл. 1 при помощи

выражений

(142).

Она

имеет

(в

некоторой

области

арифметического

прост­

ранства

Х2+г

всех переменных)

р е ш е ш е

(т. е. интегральную

поверхность),

зависящее

от

s2

=

произвольных

функций

двух

переменных,

если

т3 Ф 0,

и от s, =-с, +

х2 произволь­

ных функций одного переменного, если

s2

= х з = 0

(т. е.

уравнения третьей строки отсутствуют).

Этот результат является непосредственным следствием

теоремы

1

из § 8,

гл. 1 и второй

теоремы

Картана,

дока­

занной в § 9.

Стандартная

квадратичная

внешняя

дифференциаль­

ная

система

с

п

независимыми

(выделенными)

перемен­

ными

и

г

неизвестными

функциями

первого

или

второго

рода

определяется

как

система, которой

в

фиксированной

точке

М0

пространства

Хп+Т

соответствует

стандартная

внешняя

алгебраическая

система

вида

(37)

первого или

второго

рода, определенная в § 8, гл. 1. При этом

базисным

формам

ш/

касательного

подпространства

Тп

дифференциа­

Р Ж 4 =

0,

(143,1)

{ (1),

(1),

(1),

( П . .

(2)

(2)

(2)

(2)

, .

№)2ЛЫ

+

]©T2,2">2]

+ K,2«»i]

К ш ь Ь

(Н3,2)

(3) ,

(3)

(3)

(3)

l ^

. ]

+ №

2 3

^ +

[ ^ 2

3 Щ ]

=

К

со,],

^

U l

= °4:,('21

К «>/,]•

(143,3)

Т е о р е м а

2.

Стандартная

система

первого

рода

внеш­

них

дифференциальных

квадратичных

уравнений — в

инво­

сящее

от

sn

произвольных

функций

п

переменных,

если

s„ Ф 0,

от

произвольных

функций п—\

переменных,

если

sn

— 0,

ф 0

и т. д. (в

некоторой

области арифме­

тического

пространства всех

переменных),

где

su...,s„

—

характеры

системы.

Этот результат вытекает из теоремы 2, § 8, гл. 1 и второй

теоремы

Картана,

доказанной

в

§ 9. Для

системы (143)

характеры

будут

равны:

s3

— числу

уравнений

(143,

3),

s2 — числу

уравнений

(143,

2)

и

Si— числу

уравнений

(143,

1).

Для стандартной системы второго рода небазисные

фор­

мы уравнений (п—1)-й строки

выражаются

через базисные

по формулам,

аналогичным

формулам

(48), гл. 1

(выписыва­

i,J,k

=

\,

(144)

причем опять

= 0 .

7

Я - 1 , «

Имеет

место

Т е о р е м а

3.

Стандартная

система

второго

рода — в ин­

волюции,

если

существуют

функции <Ь/,

удовлетворяющие

в некоторой области

Д арифметического

пространства

Хп+Г

условиям

1),

2)

и 3)

теоремы 3, § 8,

гл. 1.

Произвол

ее

решения

определяется по

характерам системы так

же, как

в предыдущей

теореме.

Наконец, из теоремы 4, § 8, гл. 1 вытекает.

Т е о р е м а

4. Внешняя

квадратичная дифференциальная

система

вида

[QUj]=0;

i,j=\,...,n,

где

(145)

ме

Картана

тождеств [dzidxi]=0,

вытекающих из тождест­

ва

da = zl

dxt.