книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

Глава 1

РЕГУЛЮСЫ

Простейшим линейчатым геометрическим образом в трех­ мерном евклидовом пространстве является линейчатая повер­ хность, т. е. совокупность прямых, зависящая от одного пара­ метра. Естественно, что первоначально линейчатая поверх­ ность изучалась как частный случай в общей евклидовой теории поверхностей. Но еще в прошлом веке возникла идея изучения ее, как линейчатого геометрического образа, т. е. образа, элементом которого является прямая. Одним из пер­ вых исследований такого рода является диссертация Антомари [28], в которой уже фактически дан тот репер, который мы сейчас будем строить. Этот репер применяется в работах Э. Картана [10] и И. С. Плужникова [16], а также в моно­ графии Ж . Фавара [20]. Репер, употребляемый Э. Круппа

§ 1. Построение канонического репера регулюса

Итак, элементом нашего геометрического образа является прямая линия. Будем задавать ее уравнением

105

ного параметра и, то уравнение (1) будет определять не­ который регулюс, т. е. геометрический образ Ф ь элементом которого является прямая. Здесь необходимо раз навсегда условиться, что мы рассматриваем „ориентированные пря­ мые", т. е. считаем, что на всех прямых (1) ориентация вектора е заранее задана. Что произойдет от переориента­ ции всех векторов е по формуле

регулюса, так и для других геометрических образов. Наиболее общий подвижной репер евклидова простран­

ства состоит из радиус-вектора г начала координат и трех

106

где ха — вторичные параметры. В соответствии с общей тео­ рией подвижного репера (ч. 1, гл. 3, § 2) можно обоз­ начить:

Включение элемента в репер можно провести следую­ щим образом. Поместим начало репера на прямую — эле ­ мент, т. е. положим

ти не нарушаем общности рассмотрения. В самом деле, формы col и о>! одновременно обращаются в нуль только для цилиндров (de3 = 0). Если исключить их из рассмотре­

107

Но, конечно, формы 2< и 2^ связаны соотношениями (4) —(5). Учитывая (14), дифференцируем (13) внешним образом и получаем

Самым простым из полученных дифференциальных урав­ нений является последнее, так как в него входит только одна неизвестная функция и одна вторичная форма ъ\. Его простейшее частное решение

дает первую фиксацию репера. Учитывая (19), из первого уравнения (18) находим

Простейшее решение •

дает фиксацию, завершающую построение репера: в силу (19), (21) и (11) все вторичные параметры закреплены. Де­ ривационные формулы канонического репера принимают вид

108

Окончательно получаются такие деривационные формулы

положения его относительно неподвижной системы координат. Эти три функции являются основными метрическими инвари­

люса. Так как дифференциал длины дуги s* этой индикатрисы вычисляется в виде

то мы заключаем, что инвариантный параметр s есть не что иное, как длина дуги сферической индикатрисы. Из последней формулы (24) следует также, что de3\\e\, т. е. что вектор ех направлен параллельно касательной к сферической индикат­ рисе в точке, соответствующей элементу (т. е. рассматривае­ мому лучу регулюса). Так как вектор

109

ки касания по лучу на единицу длины. Злая р, мы можем указать, как распределены касательные плоскости на луче регулюса. Вот почему этот инвариант получил название па­ раметра распределения. Формула (36) называется формулой Шаля.

где •& — угол между асимптотическими плоскостями, соот­ ветствующими двум близким лучам, угол между которыми обозначен ф.

Чтобы получить геометрическую характеристику инвариан­ та а, ведем в рассмотрение угол \|) между лучом и касатель­ ной к горловой линии. Тогда из первой деривационной формулы при р Ф 0 находим;

a=p-cig<b. (37)

Инварианты Ь, а, и г|э получили названия «косина» (или «косина распределения»), «наклон» и «стрикция».

Геометрическую характеристику репера и инвариантов для случая р = 0 мы получим в § 4.

§ 3. Вычислительные формулы.

Так как инварианты регулюса используются для геомет­ рической характеристики более сложных геометрических об­ разов, то полезно иметь в своем распоряжении формулы, позволяющие вычислять их в более общей системе координат. Пусть луч регулюса задан уравнением (1) относительно не­ которой неподвижной декартовой системы координат, причем вектор р и орт е являются функциями произвольного парамет­ ра и. Тогда для длины дуги s сферической индикатрисы имеем

112