книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии
.pdfных уравнений автоматически дает одну из его геометриче ских характеристик. Например, уравнением
у] = const |
(92) |
задаются все принадлежащие данной конгруэнции поверхно сти откоса (см. § 4, гл. 1).
Наоборот, если известно то или иное геометрическое свой ство подмногообразия, то можно найти его натуральное урав нение, хотя это, конечно, не всегда легко сделать. В нату ральные уравнения, разумеется, могут входить не только сами инварианты подмногообразия, но и их производные, а также инварианты конгруэнции.
Например, бинормальные регулюсы, принадлежащие дан
ной |
конгруэнции, |
можно |
|
задать |
уравнением |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
+ * = 0, |
|
|
|
|
|
|
(93) |
|||
|
|
|
|
|
as |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как для них обращается |
в |
нуль |
инвариант |
а (см. § 4, |
|||||||||||||
гл. 1), |
а он в силу |
(67) |
равен — я — |
-* . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
Найдем еще натуральное уравнение главных регулюеов, |
|||||||||||||||||
введенных в § 3. Если наше подмногообразие со32 |
= 0 является |
||||||||||||||||
главным регулюсом, то абсцисса а его горловой точки |
должна |
||||||||||||||||
быть экстремальной |
и определяться |
по |
формуле |
(31): |
|||||||||||||
|
|
|
. . _ { „ , + |
( * + » : ) • ! |
. |
|
|
|
,94) |
||||||||
Имея |
в виду, что |
|
|
|
V -ь |
= н |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Н — инвариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
конгруэнции |
|
(ее |
анормальность — |
|||||||||||||
см. § |
5, формулы |
(54), |
|
и |
используя |
(61), |
получаем |
|
|||||||||
|
|
|
|
а2 |
= |
«2 |
+ |
j ( 2 p |
— Н), |
|
|
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
2? — Н = 0. |
|
|
|
|
|
(95) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Это |
и |
есть натуральное |
|
уравнение |
главных |
регулюеов, они |
|||||||||||
всегда |
образуют |
сеть. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Так же, как и в теории поверхностей, билинейные |
формы, |
|||||||||||||||
ассоциированные |
с |
инвариантными |
|
(хотя |
бы |
относительно) |
|||||||||||
квадратичными формами, дают возможность установить тес ную связь между теми или иными подмногообразиями кон груэнции.
143
В первом |
каноническом |
репере |
(а = 0) формы |
<?, <рь <р2, |
|
ср3 и ср4 имеют вид |
(см. 84), (85), |
(86): |
|
||
|
<? = |
K ) 2 + |
(u>»)2, |
|
|
|
? 1 = |
( 6 + |
|
|
|
|
?г = |
*' К ) 2 - * Ю 2 , |
|
||
|
?з = |
(б + б ' ) { К ) 2 - Ю 2 } , |
|
||
|
<?4 = |
(& + &') |
1 * ' К ) 3 |
+ * Ю 2 } - |
|
Исключая |
случай изотропной |
конгруэнции |
+ 6' — 0), |
||
мы получаем следующие пять способов ассоциирования ре
гулюсов со?: со3, и ш?:ш| |
конгруэнции, приравнивая |
нулю |
|||
сответствующие билинейные |
формы: |
|
|
||
ш?со? -f- coijcojj = |
0, |
|
(а) |
||
( О ? 0 ) | |
-f- со?со§ = |
0, |
|
(6) |
|
Й'ш?со? — |
&OJ|CO| = |
0, |
(с) |
||
C0?U>? |
(О^(О3 =0, |
|
(rf) |
||
6'со?ш? + |
6ш|ш| |
= |
0. |
(с?) |
|
Геометрическую характеристику этих ассоциаций легко по
лучить, |
если |
иметь в виду, что |
вектор йеъ — — |
(со?е,+ш3 е2 ) |
|||||
дает направление горловой нормали регулюса |
со?:ш3 , а век |
||||||||
торы |
ft |
— Vb' |
+ Vb |
е2 и / 2 |
= Vbl еу — УЪ |
е2 |
имеют на |
||
правления нормалей к фокальным плоскостям |
(это |
следует |
|||||||
из теоремы |
1 |
и формул (40), (41) и (43) при |
а = 0; |
ср. ни |
|||||
же, |
§ |
12). |
Обозначим |
через |
<ЬХ и ф2 углы, |
образованные |
|||
нормалями фокальных плоскостей с горловой нормалью од
ного |
из |
распределительных |
регулюсов (именно |
ш? = |
0), а |
||||||
через |
& и Ь — углы |
горловых |
нормалей |
регулюсов со?:со| |
|||||||
и в) 3 |
: ш | |
с |
той |
же |
нормалью. |
|
|
|
|
|
|
Тогда условие (а) означает ортогональность горловых |
|||||||||||
нормалей |
регулюсов OJ?:CO| |
И |
СО?: СО?, |
^так |
как в |
этом |
слу |
||||
чае & — & = |
- ^ - j , |
условие |
(Ь) — их |
симметричность |
относи |
||||||
тельно горловых |
нормалей |
распределительных |
регулюсов |
||||||||
(& -|- & = 0), условие (с) характеризуется равенством
144
t g & . t g» = - t g 7 4 t g l условие (e) равенством
tg&.tgft = t g < M g f c ,
условие (d) равенством
tgft-tg» = 1.
Если перейти ко второму каноническому реперу (базис ные регулюсы <Dfioij = 0 — главные и b -f- V = 0, афО), то форма ср3 примет вид <р3 = — 2au>?со3, а условие (d) — вид
cofco3, + cojjcoj = 0. Поэтому условие (d) можно характеризо вать как условие симметричности относительно главных ре гулюсов.
Условие (с), возникшее из проективно-инвариантной формы ср2, имеет, естественно, и проективно-инвариантные характеристики. Опуская простые выкладки, заметим, что
сложное |
отношение W нормалей |
регулюсов со3 : со3, и ш?: со3 |
||
в точке |
R=r-\-te3 и нормалей фокальных плоскостей равно |
|||
|
(Уь' {ы* + ьыр -V'bjt |
ы\ + ь^я2)}х |
||
|
х {УУ(ы\ +ь*>1) + |
УЪ{Ь~*\-ш\)} |
||
|
X [УЬ'(Ы\ + Ь<»1) - УЬ{Ь'ч>\-Ьш1)} |
|||
При любом t для регулюсов, связанных |
условием |
(с), имеем |
||
W — — 1. Следовательно, эти регулюсы |
в любой |
точке луча |
||
имеют касательные плоскости, гармонически делящие фокаль ные плоскости. Имея в виду это свойство, будем называть два семейства регулюсов, удовлетворяющих условию (с), сопря
женными (как известно в теории |
поверхностей, |
касательные |
к сопряженным направлениям, т. |
е. к линиям |
сопряженной |
сети, гармонически делят асимптотические направления). Ус ловие W = — 1 сохраняется и для эллиптических лучей, хотя, конечно, в этом случае фокальные элементы — мнимые. Со пряженные регулюсы называют также гармонически пересе кающимися (С. П. Фиников, [23], п. 158).
Имеется и другая интересная проективная характерис тика сопряженности подмногообразий конгруэнции. Рас
смотрим проективное соответствие между точками |
луча, |
|
порождаемое парой регулюсов |
со?: со3, и со?: ш?, в котором |
|
точке М = г + te3 соответствует |
точка Л Р = г + t*e3, |
в ко- |
10. З а к а з 6667. |
145 |
торой касательная плоскость второго регулюса совпадает
скасательной плоскостью первого регулюса. Используя
формулы (42) |
и (43) |
при а = |
О, p = |
t, получаем, что иско |
мый поляритет |
определяется |
соотношением |
||
|
— й»3 |
+ Ьш32 _ |
— t*w3 |
- f ftto3 |
Этот проективитет станет инволюцией (т. е. его двукрат ное повторение — тождеством), если наше соотношение не изменится при замене t <—у t*, т . е . если
что совпадает |
с условием (с). |
Поэтому регулюсы, удовлетво |
||||||||
ряющие условию (с), называют иногда инволютивно |
|
сопря |
||||||||
женными |
(Н. И. |
Кованцов, |
[11]). Как мы увидим |
ниже |
||||||
(гл. 3, § 9), полученная характеристика условий |
сопряженно |
|||||||||
сти двух регулюсов распространяется и на теорию |
комплексов. |
|||||||||
Распределительные поверхности удовлетворяют одно |
||||||||||
временно |
условиям (а), |
(с), (d) |
и (е), и любые |
два |
из |
этих, |
||||
условий |
их определяют (при |
Ь'1 |
— Ь'2ф0). |
Условиям |
(а) |
и (Ь) |
||||
одновременно |
удовлетворяют |
только главные |
поверхности |
|||||||
условиям |
(Ь) |
и |
(с) — характеристические, условиям |
(Ь) и |
||||||
(е) — торсы, условиям |
(6) и (d) |
— только |
мнимые регулюсы |
|||||||
( « 3 ) 2 + ( т 3 ) 2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
§ |
9. Нормальные |
конгруэнции |
|
|
|
|||
Теперь мы переходим к систематическому рассмотрению основных классов конгруэнции. И в этом исследовании боль шую роль будут играть подмногообразия и их натуральные уравнения.
Естественно начать рассмотрение с тех конгруэнции, кото рые характеризуются обращением в нуль основных инвари антов, введенных в § 5. Конгруэнции
Я = 0
называются нормальными, так как они характеризуются на личием семейства поверхностей, ортогонально пересекающих все (в пределах, конечно, той области пространства, которая рассматривается и в которой, следовательно, выполнены все обычные дифференциально-геометрические условия) лучи конгруэнции. В самом деле, если поверхность
R = г + уег |
(96) |
146
(у— |
искомая функция от |
главных |
параметров) |
пересекает |
||
лучи конгруэнции |
под прямым |
углом, то должно быть |
||||
|
|
(dR,e3) |
= dy |
+ |
i»3 = 0 |
(97) |
(мы |
пользуемся |
деривационными |
формулами |
(18) — (20)). |
||
Чтобы уравнения (96) и (97) определяли поверхность, необ
ходимо, |
чтобы |
уравнение |
(97) |
было |
вполне |
интегрируемо |
|||||
(и тогда |
оно |
определит |
с ю 1 |
поверхностей), |
т. |
е. |
чтобы |
||||
(см. ч. 1, |
гл. 2, |
§ 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но |
|
|
[D{dy |
+ u>3), dy |
+ ш3] = |
0. |
|
|
|
(98) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(dy |
+ |
u3)= |
[ Л 3 ] |
+ [ O J 2 W 3 ] = ( 6 ' - & ) [ U ) ? C O 3 ] . |
|
||||||
Поэтому |
(98) равносильно |
условию |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ф' ~Ь)=0, |
|
|
|
|
(99) |
||
т. е. Я = |
0. |
Наоборот, если |
(99) |
имеет |
место, то |
(96) |
и (97) |
||||
определяют |
оо 1 |
ортогональных |
секущих |
поверхностей. Срав |
|||||||
нивая уравнения (30) |
и (36) при условии |
(99), |
мы |
получаем |
|||||||
следующее |
характеристическое |
свойство |
нормалей |
|
конгру |
||||||
энции: главные регулюсы являются торсами. Это же заключе ние следует из того, что натуральное уравнение (95) при Я = 0 совпадает с натуральным уравнением торсов (89). Из (84) и
(86) следует, что характеристические |
поверхности |
нормальной |
|
конгруэнции являются мнимыми, причем форма |
ф4 |
совпадает |
|
с формой ф. Обращаясь к условиям |
(а) ... (е) § |
8, |
замечаем, |
что нормальную конгруэнцию можно характеризовать совпа дением условий (с) и (d) или условий (а) и (е).
Сравнивая формулы (31) и (40) при условии (99), полу чаем еще одно характеристическое свойство нормальной кон груэнции: фокусы луча совпадают с граничными точками. Следовательно, в нормальной конгруэнции все лучи — гипер болические.
Многие другие свойства нормальной конгруэнции известны из теории поверхностей, так как нормальная конгруэнция представляет собой совокупность нормалей секущей поверх ности, а фокальные поверхности — эволюты этой поверхности. Например, очевидно, что торсы нормальной конгруэнции высе кают на секущих поверхностях сети линий кривизны.
Вычислив при помощи формулы (43) скалярное произве дение векторов нормалей пи п2 двух фокальных поверхно стей в точках одного и того же луча, получим
( я , я а ) = (b'-b) |
{ & > 3 ) 2 - 2 a c o > I |
-b(wl)*}, |
откуда следует еще одно характеристическое свойство нор мальной конгруэнции: перпендикулярность фокальных поверх ностей.
10' |
147 |
Отсюда следует, что торсы нормальной конгруэнции оги бают на ее фокальных поверхностях геодезические линии, так как касательная плоскость одной фокальной поверхности про ходит через нормаль другой и является соприкасающейся плоскостью ребра возврата торса, касающегося этой другой поверхности (см. § 4).
Чтобы определить произвол существования нормальных конгруэнции, достаточно к системе (22) присоединить соот ношения (99) и а—0 (показывающее, что избран первый
канонический репер). Тогда последние два уравнения системы (22) дают уравнение Пфаффа
|
db = {-2bk |
4- q)^\ |
+ |
(2bh+p)^l, |
|
||
замыкая |
которое |
получаем |
|
|
|
|
|
|
2b [dk, |
a>*l] — 2b[dh, |
|
со3] 4- [dq, |
со3] + |
|
|
|
+ \dp,v\]=Z(kp |
+ |
qh)\*\v\\. |
|
(100) |
||
Вместе с первыми двумя уравнениями (22) |
уравнение |
(100) |
|||||
определяет искомый произвол. По теореме |
Бахвалова |
(ч. I , |
|||||
гл. 2) он |
равен одной |
функции |
двух аргументов. |
|
|||
Этот результат легко объясним геометрически: всякую нор мальную конгруэнцию можно рассматривать как совокуп ность нормалей некоторой поверхности, а совокупность норма лей любой поверхности образует нормальную конгруэнцию; следовательно, произвол существования поверхности (одна функция двух аргументов, ибо всякую поверхность локально можно задать уравнением вида г — f (х, у)) должен совпа дать с произволом существования нормальной конгруэнции.
Обращение в нуль основного инварианта П для действи тельных конгруэнции дает p = q = 0; тогда из (22) сразу следует b — Ь' = 0. Этот частный случай нормальной конгру энции мы изучим позднее, в § 20.
' |
§ |
10. Параболические конгруэнции |
|
|
Конгруэнции |
к |
= о |
|
|
||
называются параболическими, |
так как все их лучи являются |
||
параболическими |
(см. § 4). |
Очевидно, что оба семейства |
|
торсов, а следовательно и обе фокальные поверхности в пара болической конгруэнции совпадают. Из формул (61) сразу следует, что торс является одной из распределительных по верхностей. Изучение параболической конгруэнции сводится, по-существу, к изучению фокальной поверхности, так как лучи такой конгруэнции являются касательными к асимптотичес-
148
ким линиям этой поверхности. В самом деле, отнесем |
конгру |
||||||||||||||
энцию к распределительным |
поверхностям. Тогда а = |
0. Если |
|||||||||||||
а ) з 2 |
= |
о |
есть уравнение |
торса, |
то |
Ь' = 0. |
Тотда |
касательная |
|||||||
плоскость |
фокальной |
поверхности |
R — г |
определяется |
векто |
||||||||||
рами |
<?, и ег, ибо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
dr |
— &u>f ех + |
м*е3. |
|
|
|
|
|||
Соприкасающаяся |
же |
плоскость |
линии |
со* = 0, |
огибаемой |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
торсом |
на |
этой |
поверхности, |
определяется |
векторами — |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
и |
— |
, вычисляемыми при помощи формул (62) при а = {3=0: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dr I |
|
d2r |
arc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds J |
|
ds2 \ ds |
|
|
|
|
|
|
||
т. е. |
теми |
же векторами |
ex |
и |
ег. |
Следовательно, |
линии |
||||||||
ш ^ = 0 |
на |
фокальной |
поверхности |
являются |
асимптотичес |
||||||||||
кими. Теперь покажем, что, наоборот, совокупность каса
тельных |
к |
асимптотическим |
линиям |
(одного |
семейства) |
|||||||||||
произвольной |
поверхности |
есть |
параболическая |
конгруэн |
||||||||||||
ция. |
Отнесем |
поверхность |
r — r(u,v) |
к произвольной ор |
||||||||||||
тогональной |
сети |
u ^ w 2 = 0, |
касательные к линиям |
которой |
||||||||||||
будут |
векторами ех и е%, |
а вектор |
еъ направим |
по |
нормали. |
|||||||||||
Тогда |
деривационные |
формулы примут вид |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dr = ш1е1 -+- о>2е2, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
det |
= ш | ejt |
ш{ = |
а{ со1 |
-f- b'i w 2 |
= — |
|
|
|
|||||
Если |
линии |
о)2 |
= 0 — асимптотические, |
то |
|
|
|
|||||||||
откуда |
|
|
|
(d2r | afco, |
ех, |
е2) |
= 0, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
« ' с О ? |
' оо'=0 = |
0, |
|
|
|
|
|||
т. е. |
а\ |
= 0. |
Для |
фокусов |
/? = /• + lfex |
конгруэнции каса |
||||||||||
тельных |
к линиям |
ш 2 |
= 0 |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
dR\e„ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
« 2 |
+ |
\ f |
* \ = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х ; 6 * ш г |
= |
0, |
|
|
|
|
|
||
откуда для определения |
торсов получается уравнение |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь* ( ш 2 ) 2 |
= 0. |
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
при Ь\ф0 |
конгруэнция |
касательных |
являет |
||||||||||||
ся |
параболической |
(при |
Ь\ = 0 |
поверхность |
вырождается |
|||||||||||
в |
торс). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
149
Итак, совокупность всех параболических конгруэнции по
лучается, если взять совокупность всех поверхностей |
(не тор |
||
сов) и на |
каждой из них рассмотреть |
совокупность |
асимпто |
тических |
касательных. Уже отсюда |
следует, что |
произвол |
существования параболической конгруэнции такой же, что и произвол существования произвольной поверхности — одна функция двух аргументов. Этот же результат получится, если к уравнениям (22) присоединить равенства а = Ь' = 0.
§ 11. О конгруэнциях с вырождающимися
фокальными поверхностями
Целый ряд замечательных классов конгруэнции получа ется при рассмотрении фокальных поверхностей. Прежде все го, остановимся на случае вырождения одной из фокальных поверхностей. В этом случае одно из семейств торсов превра щается в семейство конусов. Примем эти конусы за подмного
образия ю3 2 |
= 0. Тогда |
в терминах § 6 имеем |
|
|
или в СИЛУ |
|
р = а = О |
|
|
(67) |
|
|
|
|
|
Р = о, - + ^а |
= о. |
|
|
|
|
as |
|
|
Переходя к |
терминам |
полуканонического репера, |
получаем |
|
|
|
Ъ' = 0, |
|
|
или |
Ь' -= 0, |
da = —рш\ |
+ а ^ , |
(Ю1) |
|
||||
где а-, — новая неизвестная функция. Внося последние соот
ношения в (22), |
прежде |
всего |
получаем |
|
|
||
|
|
p = ak — —bh. |
|
(102) |
|||
Присоединение |
уравнений |
(101) |
и их |
замыкания вместе |
со |
||
(102) |
к системе |
(22) приводит к стандартной системе 2 четы |
|||||
рех |
внешних квадратичных уравнений |
на пять |
функций: |
k, |
|||
h, q, |
b, a2. Следовательно, |
конгруэнции |
с одной |
вырожденной |
|||
фокальной поверхностью определяются с произволом одной функции двух аргументов. Вырожденная фокальная поверх ность описывается концом радиус-вектора
Zi=r + ае3. (ЮЗ)
150
Если же потребовать, чтобы конус превратился в плоский
пучок, |
то |
надо |
добавите |
требование Ь = |
0, т. е. в |
силу |
(67) |
|||||||||
г) = 0 |
или |
в |
терминах |
|
полуканонического |
репера |
h=0. |
|||||||||
Останется стандартная система, состоящая из четырех |
||||||||||||||||
квадратичных |
уравнений, причем |
тз = |
0. |
Поэтому |
конгруэн |
|||||||||||
ция, расслаивающаяся |
на |
оо 1 |
плоских |
пучков, |
определится |
|||||||||||
с произволом четырех функций одного аргумента: две функ |
||||||||||||||||
ции пойдут |
на |
задание |
произвольной |
кривой |
(описываемой |
|||||||||||
центром |
пучка |
и |
являющейся |
вырожденной |
фокальной |
по |
||||||||||
верхностью) |
и |
две — на |
задание |
плоскости пучка |
(т. е. нор |
|||||||||||
мального |
ей орта) |
в каждой точке. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если же потребовать, чтобы обе фокальные |
поверхности |
|||||||||||||||
вырождались в кривые, т. е. оба |
семейства |
торсов |
состояли |
|||||||||||||
из конусов, |
то |
к условиям |
(101), |
(102) |
надо |
присоединить |
||||||||||
условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
rf*2|»=o |
= |
0, |
|
|
|
|
|
(104) |
||
|
|
|
|
|
z2 = г — aez |
|
|
|
|
(105) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
И |
|
|
|
|
|
& = |
2ам? + Ьш3. |
|
|
|
|
(106) |
||||
Требование |
(104) |
дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
aa2 |
= aq+ |
— b'2h — abk. |
|
|
|
(107) |
|||||
Присоединяя |
(107) |
к |
системе |
2, |
получим, что |
конгруэнции |
||||||||||
с двумя |
вырожденными |
фокальными |
|
поверхностями |
тоже |
|||||||||||
определяются с произволом четырех функций одного аргумен та. Этот произвол идет на задание двух произвольных фо кальных кривых.
§ 12. Полуканонические реперы фокальных поверхностей
При исследовании фокальных свойств конгруэнции удобно пользоваться теми или иными реперами фокальных поверх ностей. Удобнее всего рассмотреть полуканонические реперы, т. е. реперы поверхности, отнесенной к произвольной ортого нальной сети.
Будем вести рассмотрение в терминах первого каноничес кого репера конгруэнции (см. § 2—3). Тогда полная система инвариантов будет состоять из шести функций b, b', h, k, q, р, связанных четырьмя внешними квадратичными уравнениями,
получающимися из |
(22) при а = 0. |
Распределительные по |
верхности задаются |
уравнениями |
|
|
o)J.o;=0, |
(108 |
151
а главные — уравнениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( с о ? ) 2 - ( c b . f f - 0 . |
|
|
|
|
|
|
(109) |
|||||
Граничные |
точки |
61,2 = г + gi,2e3 |
определяются |
из соотно |
||||||||||||||||
шения |
(31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
gt |
= ^(b |
+ b'), |
g i |
= -L(b |
+ b'), |
|
(по) |
|||||||||
а фокусы |
Fi, 2 |
= |
г |
+ |
Р 1 , 2 в 3 |
— из |
соотношений |
(41) |
|
|
||||||||||
Так |
как |
|
|
|
|
Р, |
= Vb~b\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( I l l ) |
|||
|
dFc |
= |
d(r |
+ Ple3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
( Ь | . |
р,я>3 ) |
<?, |
|
- f |
|
(112) |
|||||||||
|
|
4- (&'u>? - |
Р ,ш|) е2 |
+ |
(u)3 |
+ |
dp.) е3, |
|
1 = 1 , 2 , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
то d/*11| е3 |
|
при |
|
|
й л | — ргш3 |
= 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(113) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ'и>\ -р( .со3 = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, |
|
|
является |
|
горловой |
|
точкой |
(фокусом) |
||||||||||||
торса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
co|:cof = P l : b = |
j |
/ |
* . |
' |
, |
|
(11 |
||||||
a F2 |
— фокусом |
торса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким |
образом, |
торсы (114) |
касаются |
фокальной |
поверхно |
|||||||||||||||
сти /? = Д , |
а торсы |
(115) — фокальной |
поверхности |
R—F2. |
||||||||||||||||
Огибаемое |
торсами (114) |
семейство линий |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П6) |
первой фокальной поверхности Тесно связано с нашей кон |
||||||||||||||||||||
груэнцией: лу^й |
|
конгруэнции |
ЯВЛ'ЯКУГСЯ касательными |
к ли |
||||||||||||||||
ниям (116). Оно о-предёл'йет |
ни |
поверхности |
Fx |
некоторый |
||||||||||||||||
полуканонический |
репер, |
состоящий |
|
из |
точки |
Рх, |
орта |
|||||||||||||
Ех *± е ь |
орта |
нормали |
Е3 |
и |
opf а |
Е2 |
— \Ё$ЕХ |
|
] . Запишем де |
|||||||||||
ривационные формулы |
этого репера в виде |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dFx |
.= |
& E J |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
dEj |
— 2" Ek, |
|
|
|
|
|
|
(117) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Q } 4 - 2 j [ = 0, 2 3 |
= 0 |
|
|
|
|
|
||||||
и найдем формулы перехода от репера (117) к первому
152