Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

9) (а-р)л: = а[$х).

Теперь приведем определения наиболее важных для нас -конкретных алгебраических структур. При этом будем всюду "предполагать, что" все вводимые ниже законы композиции определены для всех элементов основного и вспомогательного множеств.

Структура

группы

задается

одним

внутренним

законом

композиции, имеющим следующие три свойства:

ассоциативность,

существование

нейтрального

элемента,

3) существование симметричных элементов.

Эти свойства

описаны

выше

под №

1, 4, 5.

Если

доба

вить еще одно свойство

(№ 2)

коммутативность,

то получим

структуру

абелевой

(коммутативной)

группы.

Примеры

групп общеизвестны

мы

их здесь

приводить

не будем.

кольца

Структура

характеризуется

наличием

двух

внут

ренних законов композиции

(обозначим

их

• ) , снабжен

ных следующими

свойствами:

1—4)

первый

закон

( +

) имеет

все

свойства

абелевой

группы,

второй

закон

дистрибутивен

относительно

первого

(см. № 3):

(х - f y)-z = x-z + y-zt

х- (У + г) = х-у + х-г,

второй

закон ассоциативен

(см. №

1):

(x-y)-z

х-

(y-z).

Если закон 6 усилить следующим

образом:

все

элементы, кроме

нейтрального

относительно

пер

вого

закона,

образуют

группу

относительно

второго закона,

то получится структура

тела.

Если, наконец, потребовать, чтобы группа,

фигурирующая

в законе 6, была

абелевой,

то получится

структура

поля.

Таким образом, поле есть алгебраическая структура с дву мя внутренними законами композиции, характеризующимися следующими свойствами:

1—4) первый закон характеризуется свойствами абелевой группы;

5) второй закон дистрибутивен относительно первого; 6—9) второй закон, примененный ко всем элементам, кро

ме нейтрального относительно первого закона, характеризу ется свойствами абелевой группы.

Нейтральный относительно первого закона элемент будем

.обозначать 0 и называть нулем (кольца или поля).

Для любого кольца имеет место

Те о р е м а . Для любого элемента х справедливо соотно шение

х-0 = 0.

Если элемент, симметричный данному относительно пер вого закона, обозначить, как выше, символам * над данным элементом, то доказательство протекает так:

х-х	=	х-(х + 0),
х-х = х-х + х-0,
хх + х-х — х-х + х-х + х-0,
0 = 0		+х-0.
	х-0 = 0.
Однако в кольце, не являющемся			полем, возможны	соот
ношения:
х-у	0,	х ф 0, у	ф 0.
В этом случае элементы	х и у называются делителями			нуля.
Приведем некоторые простейшие примеры.
1. Совокупность всех	целых чисел		относительно сложения

и умножения есть кольцо без делителей нуля, но не является телом.

2. Совокупность всех квадратных матриц (элементы — действительные числа) одного и того же порядка относи

тельно сложения			и умножения есть			кольцо	с делителями
нуля.
3. Совокупность всех непрерывных функций п переменных
относительно		сложения		и	умножения	есть кольцо		с	делите
лями нуля.
Одной	из	основных		алгебраических структур				с	одним
внутренним и одним внешним законом композиции								является
структура	модуля.
Модулем		над	кольцом		Q (или Q-модулем)		называется

структура, обладающая одним внутренним законом компози ции и одним внешним законом композиции, характеризую щимися следующими свойствами:

1—4) внутренний закон обладает всеми свойствами абелевой группы,

5)во вспомогательном множестве Q действуют два внут ренних закона комиоз'иц-ии так, что в Q имеет место структура кольца,

6)внешний закон дистрибутивен относительно внутреннего закона в М и относительно первого внутреннего закона в Q,

7) последовательное применение внешнего закона и второ

го

внутреннего

закона,

действующего

ассоциативно,

т. е. имеет место свойство № 9.

М и первый

Если внутренний

закон

внутренний закон

Q обозначать

знаком

+ , а остальное

—

просто

записью

букв

рядом, то свойства

— 7)

можно

представить

следую

щими

формулами:

I .

ос (х

у)

ссх +

а У ,

II .

(а +

Р) х = ах +

Рх,

III.

а(р*)

Унитарный

Q-модуль

есть

Q-модуль,

котором

кольцо Q имеет

нейтральный

относительно

второго

закона

элемент е («единицу»), причем этот элемент является и нейт ральным оператором:

IV. s х =х .

Например, если в качестве множества М взять абелеву группу всех непрерывных функций п переменных относительно сложения, в качестве множества Q-кольцо всех целых чи сел (относительно сложения и умножения — см. выше пример № 1) и определить внешний закон при помощи обычного умножения значения функции на целое число:

а/ = ср, ? ( д ) =a.f(x),

то получится, очевидно, унитарный модуль. В § 1 следующей главы будет описан модуль форм Пфаффа над кольцом функ ций, приведенным выше в примере № 4.

Основное значение для дальнейшего имеет структура								век
торного	пространства,		которую	можно определить		как		тот
случай	унитарного	Q-модуля, когда			множество Q	является
полем.
Введем более привычную терминологию. Будем называть
элементы основного		множества		М векторами, элементы			вспо
могательного множества Q—скалярами, композицию							векто
ров — сложением,		композиции		скаляров — сложением				и
умножением. В этих			терминах	структуру векторного			прост
ранства можно определить следующим					образом:

1) в основном множестве — множестве векторов — дейст вует один внутренний закон композиции — сложение, харак теризующийся свойствами абелевой группы;

2)в множестве скаляров действуют два внутренних за кона — сложение и умножение, характеризующиеся свойст вами поля;

3)внешний закон композиции — умножение вектора на скаляр — характеризуется свойствами, выраженными форму

лами I — I V .

Мы будем записывать последнее умножение, ставя			скаляр
слева от вектора.
Нейтральные элементы	относительно обоих сложений
будем отождествлять, т. е. называть и обозначать одним			и тем
же термином «нуль» — 0. Тогда		будем иметь
х +	0 =	х,

0 - х = 0 = а - 0 .

Имея в виду, что большинство свойств векторного прост ранства хорошо известно из курса высшей алгебры, мы на помним здесь лишь следующее важное правило," соответству ющее обычному арифметическому правилу «переноса из одной части равенства в другую»:

X = s х,

где е — элемент, симметричный с «единицей» е поля Q. Легко видеть, что в хорошо известных множествах векто

ров трехмерного евклидова пространства и действительных чисел обычные операции умножения и сложения обладают всеми только что описанными свойствами структуры «вектор ное пространство.» Однако они обладают и некоторыми до полнительными свойствами, которые здесь нами не рассмат риваются. Мы не будем пока приводить никаких других примеров.

Если в множестве векторов ввести второй внутренний: закон композиции (его естественно назвать умножением), то получатся еще более интересные структуры. Среди них от метим структуру «алгебра над полем», которая характеризу

ется тем, что векторы образуют	кольцо, скаляры — поле и-
кроме свойств I — I V имеет место еще одно:
V. а (ху) = (у.х)	у = х (ау).

Нетрудно видеть, что умножение обычных векторов трех мерного евклидова пространства, известное под названием векторного произведения, обладает свойством V, но не по рождает структуру алгебры над полем, так как для этого умножения не выполняется закон ассоциативности, т. е. век торы не образуют кольца относительно операций сложения и умножения.


§ 2. Конечномерные векторные пространства
Обычно операции сложения векторов		и умножения		их на
скаляры	вместе называют линейными	операциями. Резуль
тат линейной операции называют линейной			комбинацией	(или
линейной	формой). Если такая комбинация		равна нулю, при-

чем среди скаляров есть хоть один отличный от нуля, то гово рят, что между векторами имеет место линейная зависимость. Итак, если

а, а, + а2а2

+ ... +а.пап

(1)

и не все а, равны

нулю,

то

векторы

а,,

а 2 , ... ,

а„

линей

но

зависимы.

Если,

например,

ах

=^ 0,

то

равенство (1)

мож

но

переписать в

виде

и говорить, что а\

есть линейная комбинация векторов

а2,...,а„.

Термины, которые мы только что напомнили,

позволяют

ввести следующее основное

О п р е д е л е н и е .

Совокупность

линейно

независимых

век

торов, линейными

комбинациями

которых

являются

все

векто

ры

векторного

пространства,

называется

базисом.

Векторное

пространство,

обладающее

конечным*)

базисом,

называется

конечномерным

(m-мерным,

если базис состоит из m

векторов).

Ниже мы

будем

иметь

дело

только

конечномерными

векторными

пространствами,

которые

будем обозначать Е

Число m называют размерностью пространства. Мы не будем здесь приводить все необходимые сведения о конечномерных векторных пространствах, так как они излагаются в курсе высшей алгебры, где вектор пространства Е рассматривается

как набор m элементов поля, а в силу нашего определения каждый вектор пространства Е как раз и определяется таким

набором — набором коэффициентов линейной комбинации, при помощи которой он выражается через базис.

Напомним лишь, что всякое множество векторов данного векторного пространства Е , которое само образует вектор-

ное пространство Е ( m ' < m ) , называется подпространством

т'

пространства Е.

§ 3. Гомологичные структуры. Их произведения

Ничто не мешает нам рассматривать два экземпляра од

ной

и той

же

алгебраической

структуры,

т. е.,

например,

два

основных

множества

М*

два

вспомогательных

множества

И и 2*. Тогда для структур 5

= {М,

2} и 5* =

= {М*,

2*|

мы имеем одни и

те

же

аксиомы,

характери

зующие

рассматриваемую

структуру.

Мы

будем

говорить,

Т. е. с о с т о я щ и м из конечного

ч и с л а

в е к т о р о в .

что	две структуры		5 и S*	гэмэлэгияни,	если	они	харак
теризуются одним и тем же набором аксиом.
	Например,	два	(или более) безразмерных			(т. е.	таких,
для	которых	не	введены	понятия	базиса,	размерности

и т. д.) векторных пространства представляют собой гомо логичные структуры. Два (или более) конечномерных вектор ных пространства одной и той же размерности также явля ются примером гомологичных структур.


Если в двух алгебраических	структурах	совпадает лишь
часть аксиом, то говорят о гомологичности		соответствующих
«обедненных структур», понимая	под обедненной		структурой

ту, которая характеризуется указанной частью аксиом. При мер: два конечномерных векторных пространства с различной размерностью имеют гомологичные обедненные структуры, характеризующиеся аксиомами векторного пространства, сформулированными в § 1.

Заметим, что обычно вместо двух вспомогательных мно жеств Q и Q* рассматривают одно и то же множество Q = Q*, тогда как два основных множества М и М* не отождествля ются. Мы будем придерживаться этого обычая.


Из двух или нескольких				гомологичных		(хотя	бы	отно
сительно	некоторой	общей		обедненной структуры)				струк
тур можно образовать			новые,		называемые	произведениями
исходных. Именно, произведением					двух гомологичных			струк
тур S= {/И, 2} и S*=		\М*, 2)		называется структура			E = 5xS* ,
основным	множеством		которой		является	множество		всех
пар (а, а), где а, а — всевозможные элементы из М								и УИ*,

соответственно, вспомогательным множеством—множество 2 (если, конечно, таковое имеется), а законы композиции вы

полняются

над

обоими

элементами

пар

(а,

а*)

одновре

менно:

(a,

a*)

(b,b*)=

(а

Ь,

а*

Ь*),

а (а,

а*)

(яа,

а а * ) .

Например, произведением двух конечномерных вектор

ных

пространств Е

(с

базисом

/х ,

t 2 , . . . ,

im)

(с

бази-

сом

еи

е2,...,

еп) над одним и тем

же

полем

2 (а,

р...)

будет

являться (т 4- /г)-мерное векторное

пространство £ ,

т+к

состоящее

из

пар

вида

(ос* Ik.

£М еД

где

= \, 2,... т.;

/ =

2 , . . . п . Базисом пространства

являются

пары

(t*, 0)

m-f

и (0,

ej),

так

как

а*

0) +

е у (0,

е,)

(а*/^ \ ,

pej).

Здесь и далее применяется обычное правило суммирова ния по одинаковым индексам.

§ 4. Внешние степени векторного пространства

Рассмотрим произведение некоторого «-мерного вектор ного пространства Е на себя самого:

	Е =		ЕХЕ.
			п	п
Пусть базис пространства Е состоит					из векторов			ег, е2,...,	еп.
Тогда элементами		п	Е	будут		пары
	структуры
(хъ x2)	= (alet,	р ' е Д		i,	j=	1, 2,...,		n,
где a', р/ — коэффициенты		из	поля		2.	Из определения			про
изведения гомологичных		структур			следует
( a % р / < ? у ) = а ' ( е „				0 ) + р > ( 0 ,			е,).
Следовательно, 2п элементов			(eh	0),		(0, е})	образуют		базис

векторного пространства Е, которое, таким образом, 2«-мерно.

Точно так же можно, очевидно,		образовать „т-ю	сте
пень* векторного пространства Е, которая является			(т-п)-
мерным векторным	п
мерным векторным	пространством:
	m раз
Ея т	= ТХЁХ~.7ХЁ	•
п	п п	п
	п п	п

Элементами пространства Ет будут всевозможные наборы

(т. е. упорядоченные совокупности) по т элементов про странства Е:

X =

(-^1.

х 2 ,

••• 1

хт)-

Мы будем

говорить, что

вектор X

пространства

Ет

содер-

жит

векторы

хх,

х2,...,

хт

пространства

Е.

Рассмотрим

другой,

важный

для нас,

образова

способ

ния векторных

пространств

из

данного

векторного

прост

ранства.

Следуя

общепринятой

терминологии,

мы будем

говорить,

что

задано

отображение

одного

векторного

пространст

ва Я в другое векторное

пространство

если

каждому

элементу

х 6 Е

поставлен

в соответствие некоторый эле

мент

y g V .

Будем

обозначать

это

отображение

так:

= / ( * ) .

Если

определены

над

одним

тем же

полем 2

(что у нас всегда будет иметь место), то можно ввести по нятие линейности отображения

2. З а к а з 6667.

Отображение /

называется

линейным,

если для

любых

xt,

х2,

а,, а2

имеем

Так как

*1 +

« 2 * 2 ) =

4f{X2).

/ ( 0 ) = / ( 0 . * ) = 0 . / ( * ) = = 0 ,

то

образом

нуля

при линейном

отображении всегда

являет

ся

нуль. Отображение /

т-й степени

Ет

векторного

прост-

ранства

Е в

пространство V*]

полилинейным,

называется

если

оно линейно

по каждому

аргументу,

т. е. если

всегда

f(xu

Х2, ... , <XXi +

$x'i,...

, хт)

а./(хи

х2,...,

x'i,...,

xm) +

$f(xu

x2,...,x"i,...,

хт).

Здесь, конечно, все иксы суть

векторы

одного и того же

пространства

Е.

Все векторы пространства Ет, содержащие нуль (т. е.

имеющие	в „наборе" хотя	бы	п	отображаются,
			один нуль),
очевидно,	в нуль пространства		V:
	/ ( * „ . . .	, 0 , . . . x j = 0 .		знакопеременным,
Полилинейное отображение / называется

если все векторы пространства Ет, содержащие нуль или

линейно зависимые векторы пространства Е, и только они

имеют образом нуль-вектор пространства V.

Иными словами, при полилинейном знакопеременном отображении образ / равен нулю всякий раз, когда среди аргументов хи ..., хт имеются линейно зависимые векторы. В частности, все векторы пространства Ет отображаются

нуль при т>

п.

Название

„знакопеременное" объясняется

тем, что имеет

место соотношение

/(...,

х„

xi+i

, . . . ) + / ( • • • ,

xt+u xt,...)=0.

(2)

Доказательство соотношения

(2) производится

следую

щим

образом:

/(...,

Х[, X-l+ i, ...)+/(,..

Xi + i, xt,...)

/(...,

х,,

xl¥,,...)+/(...,

*,,...)

/(...,

Xi+ U

Xi+i, ..,)+/(...

, Xi+i,

*,,...)

/(...,

Xt,

Xi+i +

X,, ...)+/(...,

Xi + u

Xi+i +

xt,...)

/(...,

Xi + Xt + u Xi +

i + Xt, ...) =

Здесь

и далее

предполагается, что V есть пространство размерности

'ie

меньшей, чем размерность отображаемого пространства.

Мы учли здесь, что сложение векторов коммутативно, т. е.

•Xi + Xl+l = -Xi+l + xi

Соотношение (2) можно записать еще и так:

/(...., x i + i . . . ) = е / ( . . . , Xi+i, Xi,...),

где	е — элемент, симметричный	„единице" е. В случае,	ког-
да Q есть поле действительных		#	— 1
да Q есть поле действительных		чисел, вместо s пишут	— 1
или	просто ставят знак минус,	так как

х~ е л = (— 1) л: = —- х.

Множество V

всех

элементов

пространства

являю

щихся

образами

векторов

пространства

Ет,

не

является

общем

случае

подпространством

Напри

пространства

мер, рассмотрим

полилинейное отображение Е2

V. Пусть

еи

<?•>,

е3, е± — базис

в Е.

Вектор f(el,

e2)-\-f(e3,

<?4)

невоз-

е]),

можно

представить в

виде

/ ( а ' £ ; ,

так

как

равенст

во a.l$J'f(eh

ej)=f(ei,

e2)+f(es,

et)

невыполнимо

ни

при

каких

наборах ос', {У.

Следовательно,

множество

векто

ров f(on'ei,

— образов

векторов

пространства

£ 2

— не

является

подпространством.

Однако множество V всегда можно дополнить

всеми

ли

нейными

комбинациями

его

элементов,

такое

дополненное

множество V" станет подпространством пространства V (может быть, совпадающим с V). В этом и заложена воз можность построения внешнего и тензорного произведений векторных подпространств. Мы ограничимся лишь рассмот

рением внешней

степени векторного

пространства.

О п р е д е л е н и е .

Внешней

tn-й

степенью

/\т

данного

n-мерного

векторного

пространства

называется

векторное

пространство

которое получается

результате

полилиней

ного

знакопеременного

отображения

m-й

степени

Ет

— Е Х—Х Е пространства

Е в м-мерное

(v >

С™)

векторное

пространство

V v

с последующим

присоединением

всех

линей

ных комбинаций

векторов

пространства

V,,

являющихся

об

разами

векторов

пространства

Е.m

/\тЕ

состоит из

Очевидно, что при яг > га пространство

одного элемента—нуля, так как во

всяком

век

наборе

торов

из

будут иметься

линейно

зависимые.

2*.

Покажем, что

размерность

пространства

/\т

Е =

есть

Сп- Прежде всего заметим, что

в силу

полилинейности

ото

бражения

/(а*

б?,,, ... , * , я е / я

) = « ,

' . . . а | * / ( « | 1

> • • • '

1 > 2,

... , п.

Поэтому

все

векторы

пространства

линейно

выражаются

через векторы /(<?;,, е^,...,

eim).

силу

же

знакоперемен

ное™ отображения среди последних независимы

только

те,

которые

представляют

собой ^образы

С™ различных

соче

таний т

базисных векторов пространства

Е. Эти

С™ векто-

V, так

ров и составляют, очевидно, базис

пространства

как

последняя операция,

указанная

определении

(присоеди

нение линейных

комбинаций),

не

может

изменить

базиса.

частности, при

т — п

получается

одномерное

пространст

во

с базисным вектором

(еи

е2,...

ет).

§5. Внешняя алгебра

В§ 1 мы говорили, что введением второй композиции («умножения») в основном множестве векторного простран

ства можно получить некоторую алгебру. Здесь мы дадим одно из осуществлений этой возможности — построим так называемую «внешнюю алгебру». При этом оказывается, что

сначала надо построить	на базе данного пространства Е
	п
над полем Q пространство	более высокой размерности, имен

но размерности 2" . Таким образом, размерность самой внеш

ней алгебры (как векторного пространства)			не	может	быть
произвольным числом, а только числом вида 2п .
Будем	исходить из	наличия некоторого		векторного
(n-мерного)	пространства	Е над полем Q с	базисом еи		е2,
		я

еп. Введем в рассмотрение его внешние степени:

	A°E	=	Q,	Л'Е	= Е, л 2	£ ,	А3Е,...,	Л " - 1 ^	Л " £ .
	п			п	п	п	п	п	п
Их	базисы		при	/ г > 2	(являющиеся образами различных со
четаний векторов et)					обозначим		так:
		f(eh, ец,...,			е , т )	=	[<?,,, еи,...,	е,т]
или,	еще	короче,

причем для определенности можно считать, что в базисных векторах индексы следуют в порядке возрастания:

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ