книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии
.pdfниям (одного |
из двух семейств их) |
своей |
фокальной |
поверх |
||||||||||
ности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Отнесем |
конгруэнцию |
к |
первому |
||||||||
каноническому |
реперу. Тогда |
а = |
О и в |
силу |
(37) |
ЬЪ' = 0. |
||||||||
Пусть для определенности b = |
0. |
Тогда единственной |
фокаль |
|||||||||||
ной поверхностью будет поверхность, описываемая |
вершиной |
|||||||||||||
репера г = |
F. |
Для |
«ее |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dtr |
= |
{dr)a\ |
= оЦ V е2 |
+ |
ре3, |
|
|
|
|||
|
|
d2 |
г = (dr)m\ |
= о ||eSl |
(d, г, |
rfar] |
И , . |
|
|
|
||||
Уравнение |
асимптотических линий |
поверхности |
R — F име |
|||||||||||
ет |
вид |
|
|
(d* г, |
dxrt |
d2r) |
= |
0, |
|
|
|
|
||
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
«>H/w>i + |
?°»f |
+ |
6 ' с о ? ) « |
0. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Касательные |
к асимптотическим |
линиям |
Wj = |
0 |
имеют на |
|||||||||
правление й^гЦез, т. е. являются лучами конгруэнции. Теоре ма доказана.
Из других поверхностей, естественно ассоциирующихся с конгруэнцией, отметим среднюю поверхность — геометри ческое место центров лучей:
R*~ г
исреднюю огибающую, т. е. огибающую плоскостей Р, про ходящих через центры лучей перпендикулярно лучам. Урав нение средней огибающей получается следующим образом.
Продифференцировав |
уравнение |
плоскости |
Р |
|||
(R |
- |
г, |
в„ е2) = 0 |
(45) |
||
при ш| = 0 и при wf = 0, |
получим |
|
||||
р + |
(/? — г, е,, |
е„) = 0, |
(45') |
|||
q + |
(R-r, |
е3, |
е1)=0. |
|||
|
||||||
Точка средней огибающей, соответствующая данному лучу, может быть задана радиус-вектором, удовлетворяющим урав нениями (45) и (45'):
/ ? 0 |
= г - /те, - qe2. |
(46) |
Последнее уравнение |
(которое можно также |
рассматривать |
как уравнение средней огибающей) дает хорошую геомет рическую характеристику величин р и q.
§ 5. Основные инварианты конгруэнции Я, К, П. Их геометрическое значение
Как известно (ч. 1, гл. 3, § 2), коэффициенты дериваци онных формул любого канонического репера геометрического образа дают полную систему его инвариантов, т. е. такую со-
133
вокупность инвариантов, задание которых определяет геомет рический образ с точностью до констант. Очевидно, выяснение геометрического значения всех инвариантов полной системы имеет большое значение.
Правда, когда возможен различный выбор хороших кано нических реперов, то мы имеем несколько различных полных систем инвариантов, и каждая из них представляет интерес. Все их можно характеризовать одним и тем же приемом, исследуя координатные подмногообразия (см. ниже, § 6). Од нако представляет собой интерес выделить простейшие инва рианты, которые характеризуют важнейшие свойства геомет рического образа. Часть из них может быть найдена путем исключения оставшихся вторичных форм из продолженных основных соотношений на том или ином этапе фиксации ре пера. В нашем случае из формул (14) легко найти, что
Ъ(Ь' — Ь) = 0,
|
|
' |
Ь {а? + ЬЬ') = 0 . |
|
|
|
Следовательно, |
величины |
Н = (Ь'—Ь) |
и |
К = — аг — ЬЬ' |
||
являются |
простейшими |
инвариантами конгруэнции. Первый |
||||
из них мы |
заметили и |
на |
предыдущем |
этапе |
фиксации: из |
|
формул (10) получилось соотношение (11), доказывающее инвариантность.
Другой метод получения простейших (и, очевидно, важ нейших) инвариантов сводится к составлению формул пере хода от канонического репера к полуканоническому. Отметим звездочкой векторы, формы и инварианты первого канони ческого репера и сохраним прежние обозначения для векто ров, инвариантов и форм полуканонического репера. Тогда имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
г* |
= |
г, |
е\ |
= е 3 , |
ч |
= |
(ехе\), |
||
|
|
е{ |
= е\ |
cos |
ср + |
е*„ sin |
?, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(47) |
|
е, |
= |
— е\ |
sin ср ~ f |
е"„ cos ср, |
||||
причем, конечно, |
а* = 0 |
в |
силу |
|
(15). |
Дифференцируя (47) |
|||
и используя деривационные формулы обоих реперов, по лучаем
о)1 е\ + |
w 2 |
е\ |
+ |
OJ3 е\ |
= |
w 1 (е\ cos |
ср + |
е\ |
sin ср) + |
|
A e*i |
+ |
со2 |
(— |
е\ |
sin у + el |
cos |
ср) |
+ |
OJ3 е \ , |
|
+ |
°*1 е* = ш з |
(е% cos |
ср + е* sin ср) |
|||||||
|
|
|
о>5 (— е\ |
sin ср + |
е\ |
cos |
|
(48) |
||
|
|
+ |
ср), |
|||||||
134
(cof e*, + |
cof e*3) cos 9 4- ( Ц e* -f- со3 e*) sin 9 -f- (— e\ |
sin 9 4- |
||||
- f e\ |
cos cp)flf<p= 10 j (— e* cos |
cp + e*2 |
sin cp) 4- cof |
e\. |
||
В силу линейной независимости базисных |
векторов |
отсюда |
||||
получаем |
* |
|
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Wf = cof COS се — cof sin cp, |
cof = cof —flfcp, |
|
|||
* |
|
|
* |
|
|
|
со3 |
= |
cof sin cp 4- cof COS cp, со1 |
= со1 COS cp — w2 sin |
0, |
||
|
|
|
|
OJ2 = |
|
(49) |
со3 |
= |
со3, |
|
со1 sin cp.-f- со2 COS o. |
||
Внося в (49) |
значения форм |
Пфаффа из (19) и (20), |
полагая |
|||
|
|
d"? = ?i ш ? |
+ ( Ргш 2 |
|
(50) |
|
и учитывая линейную независимость базисных форм coi3, а»23 , получаем
ft* sin 9 = |
a cos |
cp — ft' sin cp, b*' cos cp |
= |
a |
sin 9 4- ft' cos 9, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(51) |
b* cos |
9 = |
6 cos |
9 4- a sin 9, |
— b* sin 9 = |
b sin 9 — a cos 9. |
||||
p = p* cos 9 4- <7* sin cs, |
h — h* cos cs |
4- |
|
sin 9 4- as,, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(52) |
q = <7* cos 9 — /»* sin 9, k — k* cos 9 — A* sin 9 -f- ?»• |
|||||||||
Формулы |
(51) |
дают |
возможность определить |
a, b и 6': |
|||||
|
|
a = |
- ! ( * * 4- ft*') sin 29, |
|
|
|
|||
|
|
ft = ft* cos2 cs — ft*' sin2 |
9 , |
|
|
|
|||
|
|
ft' = |
ft*'cos2 9 - ft* sin2 |
9. |
|
|
(53) |
||
|
|
|
|
|
|||||
Исключая |
ф из |
(52) |
и (53), немедленно находим три простей- |
||||||
ших инварианта конгруэнции: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Н = ft' - ft = ft*' - |
ft*, |
|
|
|
|||
|
|
K = |
- a 2 - f t f t ' |
= - f t * f t * ' , |
|
|
(54) |
||
|
|
П = /?2 4- </2 = |
/ 2 |
4- <7*2, |
|
|
|
||
два из которых мы отмечали выше.
Нетрудно определить геометрическое значение этих инва
риантов. Из уравнения (33) имеем: |
|
|
|
|
1-1 = Ре, +Ре„ К=ре1 |
ре>. |
(55) |
где ре, и pei |
суть экстремальные значения параметров |
рас |
|
пределения |
регулюсов, проходящих через |
данный луч. Исполь- |
|
135
зуя аналогию с теорией поверхностей, инварианты Н и К на зывают соответственно средним и полным параметрами распределения конгруэнции. Учитывая, что уравнение Я = 0 характеризует 'нормальные конгруэнции (см. ниже, § 9), ин вариант Н называют также анормальностью. Третий инвари ант характеризуется при помощи уравнения (46):
П = |
(R0 - rf. |
(56) |
Он равен, следовательно, |
квадрату |
расстояния от центра лу |
ча до соответствующей точки средней огибающей. Учитывая
связь с конгруэнциями |
Гишара — Пето |
(см. ниже, § 20), |
назо |
||||||||
вем его инвариантом |
Гишара—Пето. |
|
|
|
|
|
|||||
Из формулы (41) вытекает еще одна геометрическая ха |
|||||||||||
рактеристика инварианта |
К: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
/С = |
- |
— |
lFA-F,\\ |
|
|
|
|
|
(57) |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, квадрат |
расстояния |
между |
фокусами |
равен |
|||||||
—4К. Так как в силу |
(31) расстояние между |
граничными точ |
|||||||||
ками G]и G2 равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
О, - G,\ |
= 2 |
у а 2 + |
- 1 |
(Ь + Ь'У , |
|
(58) |
||||
то |
| G, - |
Go | 2 - Я 2 |
- |
4К, |
|
|
(59) |
||||
|
|
|
|||||||||
что дает простую геометрическую характеристику |
инвариан |
||||||||||
та Н2—4 К, |
являющегося |
аналогом |
«эйлеровой |
разности» |
|||||||
(см. [8], 1, стр. 220), так как в силу |
(55) |
|
|
|
|||||||
|
И>-4К |
|
= |
(ре,-Ре,)г. |
|
|
|
|
|
(60) |
|
Обращение ее в нуль характеризует исключенный нами слу чай изотропной конгруэнции (см. § 1).
Формулы (55) — (60) могут быть использованы для вы числения инвариантов Я Д , П в любой системе координат: для этого достаточно вычислить координаты точки средней огибающей и фокусов (или граничных точек) исходя из их геометрического значения.
§ 6. Репер регулюса, принадлежащего конгруэнции. Геометрическое значение инвариантов подмногообразия ^Pi и инвариантов конгруэнции
Если в деривационных формулах полуканонического репе ра, т. е. в формулах (18), положить сог3 == 0 и обозначить
136
Юоо^ = 0 =ds, ( Л ) и з = о = щ,
(61)
(аЬ, - о = в, ( 6 \ з - о = Р, (/>Ь - о = к,
то получатся деривационные формулы канонического ре пера произвольного подмногообразия т. е. регулюса, принадлежащего конгруэнции
dr |
|
, |
о |
|
, |
тев3, |
de, |
= |
. |
е3 , |
|
|
|
|||||
— = яе, + ре |
2 + |
|
|
- у 1 |
чв2 |
+ |
|
|
|
|||||||||
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
(62) |
||
de, |
|
|
|
|
ае, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ds |
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
луча, е3 |
— орт |
|
|
|
||||
Здесь гесть радиус-вектор |
центра |
луча, |
||||||||||||||||
— орт горловой нормали |
регулюса |
|
(ср. § 3). |
|
|
|||||||||||||
Сравним |
формулы |
(62) с |
формулами |
|
|
|
|
|
||||||||||
^ - |
= |
-Ре* |
-ае\, |
|
^ |
|
|
= |
- |
Ье*3 |
+ |
е\, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
S |
|
* |
|
ds* |
|
|
2 i 3 > |
|
|
(63) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
de* |
|
|
|
de* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= be], |
|
e* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a 3 |
|
— 3 = - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
канонического |
|
репера |
|
регулюса |
|
|
(формулы |
(63) |
получены |
|||||||||
из формул |
(24) |
гл. |
1 |
заменой букв |
г, |
е,-, s |
на |
г*, |
е], s*). |
|||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e ' t ^ e t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(64) |
||
так как векторы |
репера |
подмногообразия |
|
имеют точно |
||||||||||||||
такое же значение, |
что и одинаково занумерованные |
векторы |
||||||||||||||||
канонического |
репера |
|
регулюса, |
|
построенного |
в |
§ |
1 гл. 1. |
||||||||||
А поэтому |
|
|
\ds\ |
= |
\det\ |
= |
\de\\^\ds'\. |
|
|
|
|
|
(65) |
|||||
Если положить |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
г + ze3, |
ds = ds*, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
г* = |
|
|
|
|
|
|
(66) |
|||||||||
то есть обозначить через z абсциссу горловой точки подмно гообразия W\ относительно полуканонического репера кон груэнции и согласовать направления отсчета дуг s и s*, то
получится: |
. |
, |
|
, „ |
|
|
, |
dz |
|
|
dr* |
= |
|
+ |
- zeY. |
||||||
— = |
- ре\ |
— ае3 |
а<?г 4- ре2 |
тге3 |
+ |
— е3 |
||||
ds |
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г = |
«, ? = |
- |
л « = |
- f |
l |
- 7 |
- |
|
(67) |
|
|
|
|
|
|
|
as |
|
|
|
Сравнивая |
остальные |
формулы |
из |
(62) и |
(63), получим еще |
|||||
|
|
|
|
•П = -Ь. |
|
|
|
|
(68) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137 |
Отсюда вытекает |
следующее геометрическое |
истолкование |
|||||||||||||||||||||||
инвариантов |
подмногообразия |
Т 2 |
: |
|
относительно |
центра |
|||||||||||||||||||
|
а — есть |
абсцисса |
|
горловой |
точки |
||||||||||||||||||||
луча |
конгруэнции; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
[3 — есть |
взятый |
с |
обратным |
|
знаком |
параметр |
распреде |
|||||||||||||||||
ления; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
-q — есть |
взятая |
с |
обратным |
знаком |
косина |
распределе |
||||||||||||||||||
ния; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инвариант |
т: = |
— а |
|
d a |
|
можно |
назвать |
„наклоном |
|
ли- |
||||||||||||||
|
|
ds |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нии центров |
(т. е. |
геометрического |
места |
центров |
|
конгру |
|||||||||||||||||||
энции |
на |
лучах регулюса |
Wj) |
к |
лучу, |
так |
как |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
- |
( |
£ |
. . . |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
С |
каждым |
подмногообразием |
|
№•] = |
0 |
геометрически |
|
ин |
||||||||||||||||
вариантно связано другое подмногообразие, которое |
задает |
||||||||||||||||||||||||
ся |
уравнением |
со* = |
|
о. |
|
Так |
как (de3)ma |
= о = |
|
е2, |
|
то |
|
для |
|||||||||||
регулюса |
со3 = 0 горловой |
|
нормалью |
является |
вектор |
е>. |
|||||||||||||||||||
Таким |
образом, |
регулюсы |
|
со? = 0 |
|
и |
ш3 |
= |
0 |
образуют |
|
два |
|||||||||||||
семейства |
подмногообразий, |
характеризующиеся |
тем, |
|
что |
||||||||||||||||||||
два |
подмногообразия, |
проходящие |
через |
данный луч, |
име |
||||||||||||||||||||
ют |
ортогональные горловые |
нормали. На „сферической ин |
|||||||||||||||||||||||
дикатрисе" |
(ср. § 2 , |
|
гл. |
1), |
т. е. |
|
на поверхности |
|
|
|
(70) |
||||||||||||||
этим двум семействам |
|
R |
= |
е3, |
|
|
|
|
|
будет |
|
|
|
|
|||||||||||
подмногообразий |
соответство |
||||||||||||||||||||||||
вать |
ортогональная |
|
сеть |
сферических |
кривых, |
так |
|
как |
|||||||||||||||||
Поэтому |
совокупность |
|
подмногообразий |
|
со? = |
0 |
и |
со3 |
= 0 |
||||||||||||||||
называют |
также |
ортогональной |
|
|
сетью |
|
регулюсов |
|
конг |
||||||||||||||||
руэнции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если |
положить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
( ш ? Ь |
= о = |
ds, |
|
( £ ) |
з = о = |
?ь ( a ) a = o |
= |
a , |
|
|
(71) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
( 6 ) ш з « о = 3 , |
|
( ( 7 ) ш з = о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то |
из |
формул |
(18) |
получатся |
деривационные формулы |
|
для |
||||||||||||||||||
подмногообразия |
ю3 = 0, аналогичные |
формулам |
(62): |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
df |
|
|
|
|
|
, |
п |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— = — а е, + р ег |
+ |
ке3, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=-це1+ея, |
|
|
|
^ |
|
=-це2, |
|
|
|
|
|
|
(72) |
||||
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138
— е.,
ds
Сравнивая эти формулы с формулами (63) канонического репера регулюса, получаем:
е2 = |
е\ , е, |
= |
- |
в*2, |
еъ |
= |
е*3, |
| ds |
| = |
| ds* | |
(73) |
|
(знак минус |
появился вследствие |
того, |
что (егехеъ) |
= — 1, |
||||||||
а (е\ el е\) = |
I). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая |
теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
г* |
= |
г—ае3, |
|
ds* |
= |
ds, |
|
|
(74) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[i=p, |
|
тс = |
- |
а |
+ |
^ |
, |
г, = |
6. |
(75) |
|
|
|
|
|
|
|
|
as |
|
|
|
|
|
Для данного (фиксированного) луча все инварианты полука нонического (и любого канонического) репера имеют кон кретные числовые значения. Поэтому из формул (61), (71), (66), (67), (68), (74), (75) получается геометрическая харак теристика всех инвариантов полуканонического репера (в тер минах той ортогональной сети подмногообразий co3i • со32 = О, к которой отнесена конгруэнция), а также всех инвариантов конгруэнции (в терминах распределительных или главных регулюсов).
Например, в случае первого канонического (а = |
0) |
репера |
|||
имеем: — Ь и Ь' |
суть параметры распределения, — h |
и — k — |
|||
косины распределения, р |
и q — наклоны |
распределительных |
|||
регулюсов. Для |
второго |
канонического |
репера |
(b' |
= —b) |
инварианты имеют то же значение, но вместо распредели тельных поверхностей фигурируют главные. При этом 2 а равно расстоянию между горловыми точками главных поверх ностей (т. е. между граничными точками; ср. (58)).
§ 7. Вычислительные формулы для инвариантов подмногообразия 4*V Основные дифференциальные
формы конгруэнции
Обозначим |
фигурирующие в формулах |
(62) |
векторы |
г, |
et |
канонического |
репера подмногообразия |
буквами г* |
и |
st, |
|
а обозначения |
г, е, сохраним для векторов |
какого-нибудь |
|||
так или иначе фиксированного канонического репера. |
По |
||||
ложим |
|
|
|
|
|
|
Ь = ( е Д ) . |
|
|
(76) |
|
139
Тогда можно повторить выкладки (47) —(50), причем вмес то букв е ) , <р будут фигурировать г; и 9, а вместо форм ш/, т — соответствующие выражения из (62):
|
ш1 = |
ads, |
|
а)'- = |
fids, |
со3 |
= Ttds, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(77) |
|
со? = |
r,s, |
|
со3 |
= |
rfs, |
со.? — 0. |
|
Поэтому формулы |
(49) |
дадут |
|
|
|
|||
|
ds = |
u>J cos ft — со3, sin ft, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(78> |
откуда |
со3 sin ft + |
w | |
cos ft = |
0, |
||||
|
(ш3 )2 |
- f (ш3 )2 = |
ds\ |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(79) |
|
cos ft = |
у) з |
|
sin ft = |
^ 3 |
|||
|
— , |
— . |
||||||
|
|
|
|
ds |
|
|
|
ds |
Далее, |
пользуясь (49) |
и |
(79), |
из (77) |
получаем |
|||
_ |
со'со3 -4- со2ш? |
_ а (со3 )2 + (Ь 4- Ь') со3со? — а (со|)2 |
||||||
|
шЧо3 + ш2вд3 |
|
|
(ю 3 ) 2 |
— 2awfco3 — b (to3,)2 |
|||
|
|
^ |
со3 |
/?со| -)- |
(^Ш? |
|||
Чтобы получить формулу для инварианта rh продиффе ренцируем последние две формулы из (79). Исключив затем sinft и cos ft, найдем
db |
= 4$d(4!l)-'!!ld(4!l\. |
yds/ |
(81) |
||
Поэтому |
ds |
\dsj |
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ _ со2 — db |
_ Acof |
-f- Acujj |
_j_ cofafto3, — tojjfifcof |
(82) |
|
ds |
|
rfs |
|
ds3 |
|
Полученные вычислительные формулы показывают, что ин
варианты |
а, |
р, % зависят |
только |
от |
первых дифференциа |
|||
лов |
первичных |
параметров, а T J — о т |
вторых. Поэтому а, (3. тс |
|||||
называются |
инвариантами |
первого |
порядка, а ^ — инвариан |
|||||
том второго порядка. Запишем |
вычислительные |
формулы |
||||||
для |
a, (J, |
я |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
= |
|
. |
= 4 2 . |
(83> |
|
|
|
|
ср |
ср |
|
ср1 '^ |
|
140
Здесь через ?, cpl5 ср2 и обозначены основные квадратичные формы, а через Ф — основная линейная форма конгруэн ции; в подробной записи эти формы имеют вид:
|
<р = К ) 2 + |
(«!) 2 , |
|
|
|
|
|
|||
|
ср, |
= |
а ( ш 3 ) 2 |
+ |
(b + А / ) 0 |
) з ш я |
_ |
а |
( 0 ) 3 ^ |
|
|
? 2 = |
( « D 2 |
- 2 а а ) З ш з _ ь ( |
и ) з ) |
2 ) |
( 8 4 ) |
||||
|
Ф = рш^ 4- ^шЗ. |
|
|
|
|
|
||||
Их |
геометрическое |
значение |
ясно |
из |
(79) и (83), а |
также |
||||
из |
формул |
(26) и (27) |
§ 3. В том |
|
же |
параграфе мы |
полу |
|||
чили квадратичную |
форму |
|
|
|
|
|
||||
|
Т з = (b + Ь') (ш?)2 - 4асо?о>| - |
|
(А 4/ Ь') (со?,)2, |
(85) |
||||||
обращение которой в нуль дает главные регулюсы, для
которых |
достигает экстремума |
отношение |
ср, : ср. Экстрему |
||||||||||
мы отношения |
формы |
ср2: ? приводят |
к распределительным |
||||||||||
регулюсам cpj — 0. Проведя выкладки, |
аналогичные |
выклад |
|||||||||||
кам |
§ 3, |
можно |
показать, |
что |
экстремумы |
отношения ср3: ср |
|||||||
дают |
те |
же |
подмногообразия ср, = 0, а экстремумы |
отноше |
|||||||||
ния |
ср2: ср, дают |
подмногообразия |
|
|
|
|
|
||||||
|
ср4 = |
|2а2 + b'{b |
+ b')} |
+ 2a(b- |
*>»a>5 |
+ |
|||||||
|
|
|
|
+ { 2 а 2 |
+ М £ + А ')Н<»1)2 ==0, |
|
|
(86) |
|||||
называемые |
иногда |
[38] |
характеристическими |
|
поверхно |
||||||||
стями (регулюсами). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
§ 8. |
Основные |
классы |
подмногообразий l Fi. |
|
|||||||
|
|
|
|
Сети подмногообразий |
|
|
|
|
|||||
Всякое соотношение между инвариантами канонического |
|||||||||||||
репера подмногообразия Ч*^ определяет |
некоторый |
класс под |
|||||||||||
многообразий. Одно |
соотношение выделит |
в общем |
случае |
||||||||||
класс подмногообразий |
Wu |
имеющихся в любой |
конгруэнции. |
||||||||||
Такое соотношение называют обычно натуральным |
|
уравнением |
|||||||||||
подмногообразия. По |
формулам |
(82), |
(83) |
от |
натурального |
||||||||
уравнения можно перейти |
к дифференциальному |
уравнению |
|||||||||||
подмногообразия, которое позволяет выяснить вопрос о том, сколько подмногообразий данного вида проходит через фик
сированный элемент |
(в нашем случае — луч). Если |
подмного |
|
образие W\ задано двумя или более натуральными |
уравнения |
||
ми, то из соответствующих дифференциальных |
уравнений |
||
можно |
исключить |
со3 1: со32, что приведёт к соотношению |
|
между |
инвариантами конгруэнции, которые покажут, в каких |
||
141
конгруэнциях существуют подмногообразия W] рассматрива емого вида.
Рассмотрим прежде всего подмногообразия, натуральные уравнения которых получаются приравниванием нулю инва
риантов а, р, я, ц. Уравнение |
|
|
а = |
0 |
(87) |
определяет те подмногообразия, у которых горловые точки совпадают с центрами лучей. Записав их дифференциальное уравнение
«р, Е=а К ) 2 |
+ (b + 6')a)»(i)» — а(ш?)2 |
= 0 |
(88) |
и сравнив его с (34), |
заметим, что уравнение |
(87) |
определя |
ет распределительные регулюсы, которые мы охарактеризо вали в § 3 как подмногообразия, дающие экстремум парамет
ра распределения. Так как уравнение |
(88) |
второй |
степени |
относительно co3i : и 3 2, то через каждый |
луч |
в общем |
случае |
проходят два распределительных регулюса. По аналогии с те
орией поверхностей в этом случае, так |
ж е как и в других |
аналогичных случаях, говорят о сети |
подмногообразий. |
Уравнение |
|
Э = 0 |
(89) |
определяет, очевидно, торсы. Их дифференциальное уравне
ние |
имеет вид |
(36) |
и было исследовано в § 4. Торсы в непа |
раболических конгруэнциях также образуют сеть. |
|||
|
Уравнение |
|
т. = 0 |
|
|
|
|
характеризует |
подмногообразия, для которых в силу (69) |
||
dr |
_\ ея, т. е. |
линия |
центров (линия пересечения подмного |
образия со средней поверхностью) ортогональна лучам. Их
дифференциальное |
уравнение |
имеет |
вид |
|
|
||||
|
|
|
|
Ф Е Е pa* |
+ qu>* = |
0 |
|
(90) |
|
и показывает, |
что |
через |
кгжтый луч проходит один |
регу- |
|||||
люс |
и = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Наконец, |
уравнение |
г 1 = = 0 |
|
|
(91) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
определяет |
цилиндроиды, |
принадлежащие |
конгруэнции, |
так |
|||||
как ч |
есть |
косина |
распределения. В |
силу |
(82) дифференци |
||||
альное уравнение этих подмногообразий есть уравнение вто
рого порядка, откуда |
следует, что через каждый луч проходит, |
||||
в общем случае, со1 |
цилиндроидов. |
|
|
|
|
Коль скоро геометрическое значение всех инвариантов |
ка |
||||
нонического |
репера |
подмногообразия |
W\ известно |
(см. § |
6), |
то задание |
любого |
подмногообразия |
посредством |
натураль- |
|
142