Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2416 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

каноническому реперу				{г, е,} конгруэнции. Заметим, что
вектор	Е3 в	силу	(112)	параллелен	вектору
			[«в,	да)ш1=0]1\|Р1е1	+ ^2 -	(118)
Отсюда	для	угла	ср, от	нормали первой фокальной		поверх

ности до нормали распределительной линейчатой поверхно

сти и, = 0 в центре	луча имеем
ср, =	(Ез\в>, ctg-ч», = 6 : р,-	(119)

Заметим, что совпадение торсов с распределительными по верхностями возможно только в параболической конгруэн ции. Поэтому для непараболич-еекой конгруэнции

те

tp; фО,

Ср. Ф

Sin

• COS (ft Ф О

и, конечно,

р; Ф 0

(ё =

1,2).

Формулы перехода

можно искать в виде

Р\ = г + рхе3,

Ех

= еъ,

Е2 = е{

cos ср i

— е2

sin ср,,

£ 3

= е,

sin ср,

g2cos ср,.

(120)

Проведя

выкладки,

аналогичные

выполненным

в § 5,

по

лучим

2 1 =

ш3

ф , ,

2 2

cos

о)? sin с р , ) ,

cos ср, sin

ср,

2 3

- с о ?

cos

ср, +

со3 sin ср„

(121)

2? =

— со| cos

ср,

— со3

sin ср,,

23 , = со2 —

d=p,.

Совершенно

аналогично

для

второй

фокальной поверхно

сти R — F2

получим

деривационные

формулы

dF,

= 2< Е],

dE\ =

&, Ej-,

(122)

Qi +

U>j=0,

2 3

и формулы

перехода

= r + р г е 3 ,

El = е3,

(123)

= в, cos ср2

е2 sin с р 2 ,

— ех

sin ср 2

ег

cos с р 2 ,

£ 2

—

где

(Е\А

е2)

(124)

ср2 =

ctg ср3 =

h : 6'.

(125)

153

Вместо	формул			(121)		получим:
И1 =	со?	4-	dp,,,		11- =		cos	=		COS cs2 — w i s i n	?').
							cos	ср, sin ср2
		J28		=	0,	2?	= — o)?cos<p2		+	u)2 since,,	(126)
	2?	=	— ш?, COS cp, — or3 Sin cp,,						ii*	= 0)j — cfip,.
В силу	(111),			(119)		и	(125)	имеем
					Pa =		— Pl,	<?2 = — ? i -			( 1 2 7 )

Последнее соотношение показывает, что касательные плоско сти распределительных поверхностей делят пополам углы между фокальными плоскостями так же, как их общая гор ловая точка делит пополам отрезок между фокусами. Нуме руя соответствующим образом фокусы и выбирая направле ния счета углов, можем сделать так, что

		?,	> 0 ,		Р Г > 0 .				(128)
Обозначив теперь
будем иметь		<Pi =		<F,	Pi =	P,			(129)
будем иметь
		? 2	=	— <Р.	Р« =	—Р.			(130)
т. е. расстояние между фокусами						будет		равно
		\Fl-F2\			= 2P,				(131)
а угол между		фокальными плоскостями						равен
			(Е\,Е\)		= 2у.				(132)
Заметим еще, что в силу (110) расстояние									между гранич
ными точками		равно
		1 С - < ? я \| = 2 £ =				\|& +	& ' \| ,		(133)
а в силу	(119)	и (125)	имеем
Введем	обозначения:			2sm cp-cos ср
Введем	обозначения:
		и>? cos		ср — ш\ sin ср =			и,		(135)
		со\| cos		9 -f- u)J sin		y —	v.		(135)
		со\| cos		9 -f- u)J sin		y —	v.
Формы и и v линейно независимы, так как
		[u, v] --= (со\| co3]-2cos cp-sin 'f Ф							0.

154

В силу (121)			и (126) имеем
				Q* = 2gu,				Q3=-v,		(136)
										(136)
				& = 2gv,			£>З = _ Й .
Дифференцируя			внешним			образом		соотношение Q3 = О, по
лучаем				[Q?Q4-f-lQijQ2 ]				= 0 ,		(137)
				[Q?Q4-f-lQijQ2 ]				= 0 ,		(137)
откуда по лемме			Картана следует
				2gQ?> = Au +				Bv,
				&=Bu			+ Cv.			(138)
Коэффициенты А, В, С имеют в								силу (121), (135)		и (136)
следующие	значения:
		2g
А =		5 — {(£ — 9 О sin <f— {h — ?i)c ° s <?},
		sin2cp
5 =	— ^ — { ( A				— ? i ) s l n e - r - ( A - ?				)cos?) =	(139)
		sin2cp
		1		{ ( ?	+	рг) sin cp —		(/7 - f p i )	cos «},
		sin 2<p		{ ( ?	+	рг) sin cp —		(/7 - f p i )	cos «},
		sin 2<p
		1		\{q	+	Рг) sin 9 +		(p - f pj) cos <?,
		sin 2<p		\{q	+	Рг) sin 9 +		(p - f pj) cos <?,
		sin 2<p
где величины		p2, pi, 91 и 92 взяты						из выражений
	dco =		cpi со? +		cp2	o>3,	Ф = piU) ? +		p 2 < » 2 '	(140)
и могут быть		вычислены				при помощи соотношений
			P=VbF,			, 9 =	a r c t g \| / \| ,			(141)

вытекающих из (111), (119) и (129). В частности, из второ го соотношения (139) следует:

(2gk — q — 2g4p 2 — Р2) sin 9 + (2gh + p — 2g<s[ - f p,) cos 9 = 0. (141')

Аналогично из

[2? 2 1 ] + [Щ 2 2 ] = О

получаем

2g'2?, = A*v + В*и,

(142)

2 1 = B*v + C*w,

155


причем	значения		Л*,	В*,	С* могут быть получены		из (139)
заменой	9 и р на		— ср и		— Р . Таким образом, при		изучении
фокальных		поверхностей			полная	система инвариантов Ь,		Ь',
h, k, р,	q	заменяется		системой		инвариантов Л, В,	Л*,	В*г
С, С*, р, <р по только				что полученным формулам.

Пользуясь полученными обозначениями, легко получитьпростые выражения для основных квадратичных форм фо кальных поверхностей:

(dF,)2

( 2 1 ) 2

( 2 2 ) 2 =

(Ag* + В2)

и 2

2Buv

C2v2,

(dF2)2

(4g2

4- В*')

+ 2B*C*uv

С*°и2,

(143)

//,

{dFu

dEa)

2<2f +

^ ) 2 ^1 =

Ли2 -

Cv2,

JI2

(dF2,

dEl)

Л*-У2 -

С*ия

и их

полных

кривизн:

А*

Наконец,

уравнения

линий

кривизны

примут вид

АВи2

+ (4g2

+ В2 + AC)uv

+ BCv2

= 0

(145)

для первой фокальной поверхности и

Л*В*<и2-f ( 4 £ 2

fl*'

+Л*С*)и<и +

5*С*и2 =

(146)

— для

второй.

Заметим

еще,

что

так

как

дискриминанты

первых

квадратичных

форм

равны

соответственно 4g"2C2

и 4g2 C*s ,

то

для

конгруэнции с невырожденными

фокаль

ными

поверхностями

мы должны

предполагать

СС*фО.

(147)

13.

Псевдосферические

конгруэнции

Рассмотрим такие конгруэнции, у которых канонический

репер

первого

рода

неизменно

связан

(в том же смысле, что

и в § 6 гл. 1) с построенными

в предыдущем

параграфе полу

каноническими реперами фокальных поверхностей. Разумеет ся, последние предполагаются невырожденными, т. е. условия (147) должны иметь место. В силу формул (120), (123), (129)

и	(130) указанная связь реперов может быть	характеризова
на	соотношениями
	р = const, ф = const,	(148)

которые имеют простое геометрическое истолкование, осно ванное на формулах 4 ( 131) и (132): фокальное расстояние и

156

угол между фокальными плоскостями постоянны. В силу (134) из (148) следует

g =

const,

(149)

т. е. и

расстояние

между

рр'аничными

точками

постоянно.

Гиперболическая

конгруэнция,

характеризуемая

неизменной

связью

ее канонического репера с полуканоническими

репера

ми фокальных поверхностей, получила название

псевдосфери

ческой,

что оправдывается

следующей

теоремой.

Т е о р е м а

Псевдосферическая

конгруэнция

характе

ризуется тем, что обе ее фокальные

поверхности

имеют

оди

наковую постоянную отрицательную

кривизну

(т. е. являются

псевдосферическими), равную— - — .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

для конгруэнции

выполнены

соотношения

(149), то

? 1 = ? 2 = Pi = 92 = 0.

Тогда

из (139) с учетом

правила получения

Л*, В*, С* из

А, В, С заменой

< р и р н а — « и — р

получаем

С* = В=^Л*,

Л = В* = С,

(150)

откуда в силу (144) и (149)

следует

/(,=#•> =

L = const.

(151)

Если, наоборот, дано (151),

то из (144) следует

Л = С ,

Л* = С*,

(152)

я из (134) получается

dp = g-d(sin2<?) = 2gcos2<pdcp.

(153)

С другой стороны, из (121), (126), (129),

(130) и (138) и (142)

вытекает

2dp = (В-С*)и

(C-B*)v,

(154)

4gdy

= (В* — Л) и + (Л* -

В) v.

Поэтому (153) дает

(В -

Л*) и + (Л -

В*) v = cos 29 {(В* — А) и + (А* — В) v}.

(155)

Так

как для

гиперболической

конгруэнции

sin2<»=£0,

то в

силу

линейной

независимости

форм

и и v

отсюда

следует

В — Л* = Л* — В = 0 и dp = dtp = 0.

Следовательно,

конг

руэнция (151) — псевдосферическая. Теорема

доказана.

157

В нижеследующих теоремах доказываются еще некоторые

важные	свойства рассматриваемых		конгруэнции,		наличие
каждого	из которых свидетельствует		о принадлежности псев
досферических конгруэнции к тому или иному				более	общему
классу.
Т е о р е м а 2. Асимптотические линии на фокальных по
верхностях псевдосферической		конгруэнции		соответствуют

друг другу, т. е. высекаются одними и теми же семействами лучей конгруэнции.

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Из теории	поверхностей известно^
что дифференциальное	уравнение	асимптотических линий

получается приравниванием нулю второй основной квадратич

ной дифференциальной формы. Обращаясь к формулам		(143),
находим, что при наличии соотношений	(152) уравнения	асим
птотических линий на обеих фокальных поверхностях		имеют
один и тот же вид
(и + •£>) (и — v) = О,
так как А А* = СС* Ф 0 в силу (147).
С л е д с т в и е . Распределительные	регулюсы псевдосфе

рической конгруэнции секут ее фокальные поверхности по асимптотическим линиям. Главные регулюсы псевдосфериче ской конгруэнции секут фокальные поверхности по сопряжен ным сетям.

Действительно, в силу (135) уравнения асимптотических линий принимают вид co3i • со32 = 0, т. е. совпадают с уравне ниями распределительных регулюсов, а уравнение (85) глав

ных регулюсов	в	первом	каноническом			репере	имеет вид
(co3 i)2 — (со3 2)2	= 0, т. е. определяет			на	фокальных		поверхно
стях сопряженные		сети.
Т е о р е м а	3.	Линии	кривизны	на	фокальных		поверхно
стях конгруэнции		соответствуют.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Внося	(150)		в (146),	получаем
(145); следовательно, уравнения линий						кривизны	обеих фо

кальных поверхностей совпадают.

Покажем, что распределительными регулюсами псевдосфе рической конгруэнции являются регулюсы специального типа.

В самом	деле,	из (141)	для псевдосферической конгруэнции
следует:	Ь --= Kpctg ср =		const,	b' = "j/ptg ср = consf,		(156)
	Ь --= Kpctg ср =		const,	b' = "j/ptg ср = consf,		(156)
откуда в	силу	основных уравнений (22)			при а = 0	имеем
т. е.	p = -2(b + b')h,			q = 2(b +	b')k,
т. е.
		Р- = const,		— = const.		(157)
		h		k

158

Переходя	(см. (61))	к терминам репера регулюса ш?2			= 0,
заключаем,	что для	этого	регулюса р = const,	а = 0	и
— = const, то есть в силу (67), (68)
	р = const,		— = const.	(158)
			Ь

Следовательно, распределительные регулюсы псевдосфери ческой конгруэнции принадлежат классу регулюеов с постоян ными параметром распределения и отношением наклона к ко сине.

Присоединяя соотношения (156), (157) к основной системе (22) (при а = 0), мы замечаем, что она сводится к двум внешним квадратичным уравнениям:

[dh, со?] 4- [dk, со!]) =	_ (1 + k2	+ h2)	[u>? o>3],
			(159)
- [dh, со3] + [dk, со3] =	- 1 {b'-b	+ h3	— k*\ Исо ?].

Отсюда следует, что произвол существования псевдосфериче ских конгруэнции составляет две функции одного аргумента, т. е. равен произволу существования псевдосферической по верхности. Это обстоятельство наводит на мысль, что, задав произвольную псевдосферическую поверхность и семейство линий на ней и проведя к этим линиям касательные, мы по лучим произвольную псевдосферическую конгруэнцию, а в ка честве второй фокальной поверхности получим новую псевдо сферическую поверхность той же кривизны, что и исходная. Такое преобразование псевдосферических поверхностей было подробно изучено Бэклундом (см. [29], гл. 17).

§ 14. Конгруэнции Биаики

Рассмотренные в предыдущем параграфе псевдосферические конгруэнции представляют собой весьма частный класс конгруэнции, обладающих рядом интересных свойств. Мы ви дели, что изучение этих конгруэнции тесно связано с изучени ем весьма важного класса псевдосферических поверхностей. Естественно ожидать, что ослабление условий (150), харак теризующих псевдосферические конгруэнции, приведет к но вым интересным классам конгруэнции и поверхностей.

Начнем с конгруэнции

Л = С ,	Л* = С*,	(160)
известных под названием	конгруэнции В или	конгруэнции
Бианки.

159

Д ля них сохраняются, очевидно, свойства псевдосферичес ких конгруэнции, выраженные теоремой 2, § 13 и ее следст вием: распределительные поверхности высекают на фокаль

ных поверхностях асимптотические		сети	и2 — v2	= 0 (или
со3, со32 = 0), а главные	поверхности	высекают сопряженные
сети.
Полные кривизны в	соответствующих		точках	фокальных

поверхностей по-прежнему будут одинаковы, но не будут, в общем случае, постоянны. Иными словами, вместо (151) бу дем иметь.

Л", = К , = - \ ; .

(161)

Чтобы выяснить строение фокальных поверхностей конг руэнции Бианки, заметим, что в силу (139) — (140) и анало гичных соотношений для второй фокальной поверхности формулы (160) дают:

(2gk	— q — 2g-cp2 — р2 ) sin ср — (2gh-\-p — 2g<j}\ - f pi) cos cp = 0,
											(162)
(2gh	+p	+ 2g<?[ — pi) cos				cp + (2gk — q + 2gf'2 + p2) sin cp = 0.
Присоединяя			сюда	(141')			и	аналогичное		соотношение для
второй фокальной поверхности,								а также	учитывая,		что sincp •
• соЭф Ф 0, получаем
			2gk-q			= 0,		2gh+p	= Q,		(163)
			2£<Р2 +		р2	=	0,	2£<pi + pl =		0.	(164)
В силу		(22)	при а =		0	и	(140) —(141)		уравнения		(163) и
(164)	дают внешние			уравнения:
					[db,		о.»] = 0,				(165)
				[db\			ы?]	= 0 .			(165)
				[db\			ы?]	= 0 .

Таким образом, уравнения асимптотических линий могут быть

записаны	в виде	db-db'	=	0	(166)
или в виде

	Ь =	const, b' =		const.	(167)
Приняв b и Ь' за первичные			параметры,		получим, что фо
кальная	поверхность	конгруэнции Бианки			характеризуется

тем, что в асимптотических параметрах и и v ее полная кри визна имеет вид

	/ С »	!	_	(168)
	(U	+	V)2
где U=U{u)	и V= V(v).

Присоединяя	уравнения (165) и (163) к системе (22)	при
а = 0, получаем,	что основная система для конгруэнции	Би-

анки состоит из четырех внешних квадратичных дифференци


альных	уравнений относительно четырех функций		b, b', h и k
и имеет	стандартный вид. Следовательно,	произвол		сущест
вования	этой конгруэнции — 4 функции	одного	аргумента.
Наконец, заметим, что распределительный регулюс				со32 = О

конгруэнции Бианки в силу (163) и (165) характеризуется уравнениями:

а:Ъ = — Н, р=-Н+С,	[rfC,<u3]	= 0,	(169)
где a, b, р — инварианты канонического репера			регулюса
(см. гл. 1), Я — анормальность	конгруэнции, а	С — параметр

распределения второго распределительного регулюса. Отсюда

получается натуральное		уравнение	распределительных регу
люсов
	— - /? = const,				(170)
	b
которые,	таким образом,	как и в	случае	псевдосферических
конгруэнции, не являются		произвольными.
Можно показать, что с любой поверхностью (168)					ассоци
ируется	о о 2 конгруэнции	Бианки. Вторые		фокальные	поверх
ности последних называются «преобразованиями					Бианки»
исходной	([22], п. 78, 79).

§ 15. Конгруэнции W

Если еще более ослабить условия (160), то возникнет класс конгруэнции

АА* = СС*.

(171)

Для этих конгруэнции сохраняется только одно свойство псевдосферических конгруэнции: асимптотические линии на обеих фокальных поверхностях высекаются одними и теми же регулюсами. В самом деле, из (143) следует, что при условии (171) вторые квадратичные формы фокальных по верхностей обращаются в нуль одновременно. Часто говорят просто: на фокальных поверхностях асимптотические соответ ствуют. Это свойство характеризует рассматриваемый класс конгруэнции и обычно принимается за определение: конгру энция W есть такая конгруэнция, на фокальных поверхностях которой асимптотические линии соответствуют.

Так как свойство это проективное (ибо асимптотические линии характеризуются проективно инвариантно), то изучение конгруэнции W производится обычно в проективно-дифферен-

11. Заказ 6667.

161

циальной геометрии, где легко доказывается, что произвол существования этих конгруэнции составляет одну функцию двух аргументов. Мы здесь отметим лишь некоторые простые метрические их свойства.

Прежде всего заметим, что произведение главных кривизн фокальных поверхностей в фокусах одного и того же луча

конгруэнции W выражается	формулой
KtKs	= J _	;i72)

4 ?

как это сразу следует из (144). Условие (172) также является для конгруэнции W характеристическим.

Название «конгруэнции W» возникло так: поверхности, главные радиусы кривизны которых связаны функциональной зависимостью, издавна называли поверхностями Вейнгартена ([8], 1, § 20) или поверхностями W. Оказалось, что на эво лютах (так называются геометрические места центров кри визн) таких поверхностей асимптотические линии соответст вуют по нормалям исходной поверхности. Наши формулы дают возможность убедиться в этом следующим образом. Рассмотрим произвольную нормальную конгруэнцию (см. § 9 ) . Для нее Ъ' — Ъ, а произвольная ортогональная лучам поверх ность имеет уравнение (96), где

		dy = —						3 ,_L			(173)
Главные радиусы кривизны R{ и R2 этой поверхности суть
координаты фокусов			(ср. (41))
			/=1.2		= г		± Ье-,				(174)
относительно		начала	(96):
				Rx =			b-y,				(175)
				Rt	-	-	b -	у.

Имеем в	силу	(173)	и	(100)		(Й-J 4-
	dRl	= (p +	q -	2bk)				(р +	q +	2bh)	m\s
	dR, = (p-q		+ 2bk)			u>* +		(q-p			(176)
									— 2bh) a>*.
Условие	функциональной				зависимости				Rx	и R,	имеет вид
		р Л-q — 2bk				р + q + 2bh
		p — q + 2bk				q-~p		— 2bh =		0	(177)

или		p2 -	q2	+	2b (ph. - f qk) =				0.		(178)

162

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2416 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ