Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

ческие образы в трехмерном евклидовом или аффинном про странстве и пользоваться аппаратом обычного векторного исчисления*). О более общих построениях см. [7, 12, 15, 41, 42].

§ 1. Основные определения

Будем рассматривать трехмерное аффинное пространство, или, что то же, аффинную геометрию геометрических обра зов, погруженных в трехмерное евклидово пространство, т.е. будем изучать те свойства геометрических образов обычного пространства, которые сохраняются, какому бы аффинному

преобразованию	мы не подвергли этот образ.
В этом случае	основные	необходимые для	дальнейшего
определения можно дать в		следующем простом	виде, допу

скающем довольно очевидное распространение на более об щие случаи.

О п р е д е л е н и е . 1.		Элементом		называется	совокупность
конечного	числа точек	и	прямых	линий.
Если	в пространстве		задана некоторая неподвижная аф

финная система координат, то точки элемента можно задать радиус-векторами Г;, а прямые — уравнениями вида

г = р« +	Х/в,	(1)
где ра — радиус-вектор некоторой	точки	прямой, а / а — сво

бодный вектор, параллельный прямой. Отсюда следует, что всякий элемент можно задать конечным числом радиус-

векторов (/",-, ра) и конечным числом

свободных

векторов

/„.

Разумеется, в элемент можно включать и

более

сложные

вещи, но для выяснения идеи мы ограничимся

определе

нием 1.

Если

векторы,

определяющие

эле

О п р е д е л е н и е

мент

Е,

являются

некоторой области

достаточное

число

раз

дифференцируемыми

функциями

некоторого

числа

р параметров,

то совокупность

всех элементов,

соот

ветствующих

всем

значениям

параметров

(пробегающих

область

AJ,

называется

геометрическим

образом

Фр,

со

стоящим

из

элементов

Е.

Ясно,

что один

и тот же

геометрический

образ

можно

задать

различными

наборами

функций

rt,

ра,

1а,

но

любой

набор этих функций задает вполне определенный геометри

ческий	образ.	Например,			две	функции р =	р (0 и / =
*) Н а ч и н а я с		э т о й	г л а в ы и	д о	к о н ц а	книги, в е к т о р ы	т р е х м е р н о г о п р о
с т р а н с т в а	в с ю д у ,	к а к	обычно,	о б о з н а ч а ю т с я п о л у ж и р н ы м			ш р и ф т о м .

6. З а к а з 6667.

определяют регулюс, т. е. линейчатую поверхность, рас сматриваемую как совокупность прямых вида (1). Так или иначе, каждый геометрический образ задается как совокуп ность конечного числа вектор-функций от р параметров. Эти параметры мы будем называть первичными параметрами геометрического образа.

О п р е д е л е н и е

Если

наряду

с геометрическим

об

разом

Фр заданы

одна

радиус-вектор

функция

три

вектор-функции

ти

т2,

тъ, удовлетворяющие

условию

[тх

т,

т3)

Ф 0,

(2)

причем

эти

вектор-функции

являются

функциями

тех

же

параметров,

что

функции,

определяющие

образ

Фр,

то

определяемая

точкой

(начало)

векторным

базисом

{/и;} аффинная

система

координат

(а

также

совокуп

ность

всех

этих

систем,

соответствующих

всем

зна

чениям

первичных

параметров)

называется

подвижным

репером

образа

Ф р .

В современной литературе понятие репера и вообще си

стемы

координат

трактуют обычно более

широко. Именно,

системой координат называют просто закон, определяющий отображение некоторого множества (дифференцируемого многообразия, погруженного многообразия, геометрическо го образа и т. п.) в арифметическое пространство. В конк ретных геометрических исследованиях удобно этот закон задавать при помощи некоторой простой геометрической фигуры, которой присваивается наименование репера. Мы придерживаемся здесь именно такого понимания термина „репер". Если задать некоторый репер r°, т°, то каждому реперу г, т , будет соответствовать, как известно, единст

венное

аффинное

преобразование,

переводящее

репер

г°,

т{\

репер

г, Ш/.

Обратно,

каждое аффинное

преоб

разование

можно

задать

как

преобразование

репера

r°,

m°i

некоторый

репер г, и , .

Так

как

четыре

вектора

г,

определяются

двенадцатью

координатами

~2,

tl2

относительно г°,

га°, то говорят, что „аффинная

группа

трех

мерного

пространства

двенадцатичленна",

т. е. общее

пре

образование

этой

группы в аналитической

записи

содержит

12 существенных параметров. С

геометрическим

образом

можно

ассоциировать

бесчисленное

множество

реперов.

каждым

элементом

(т. е.

при

фиксации

первичных

параметров)

можно

ассоциировать

четверку

векторов

г,

mL,

зависящую от 12 параметров, что позволяет в общем						случае
считать векторы	г,	tnt	зависящими	не только	от р	первич
ных параметров,	но	и	еще от 12	параметров,	которые мы
будем называть	вторичными.

Накладывая на эти функции обычные дифференциальногеометрические ограничения, мы приходим к следующему

определению:					Наиболее		общим	репером		геомет
О п р е д е л е н и е				4.
рического		образа	Фр называется				совокупность			аффинных
систем	координат,			определяемых			достаточное			кисло раз
дифференцируемыми					функциями
					t2<	t„, t j , T 2 i		т J з ) >		(3)
			ttli(tt,		t->, tp,		т , , т , ,	- , 2	) ,

удовлетворяющими				условию		(2).
Здесь tu t2, ...			tp	— первичные			параметры,		при помощи
которых	определяется				геометрический			образ,		параметры
хи т ,2. ••••> T i 2		являются		вторичными.			При этом		12	скалярных
функций / и		/ , ,	/ 1 2	— координаты			векторов г,		т г	— должны
удовлетворять условию
			IHUfl^JA				, 0			(4)

при всех значениях h, принадлежащих области А.

Если, как это часто делается, репер определять как фи гуру Ф, стационарная подгруппа которой единична, то „наи более общий репер геометрического образа" также можно задавать при помощи конечного числа функций вида (3),

которые

при

фиксированных

и т р

определяют

фигуру

Ф.

О п р е д е л е н и е

Каноническим

подвижным

репером

геометрического

образа

называется

подвижной

репер,

по

лученный

из наиболее

общего

репера

(3) путем

задания

всех вторичных

параметров

т р

как

функций

главных

па

раметров

так,

что

векторы

г, nti

становятся

геомет

рически

инвариантно

зависимыми

от

образа

Фр.

Здесь под „геометрически инвариантной зависимостью"

понимается

возможность задать

каждый из векторов

г,

т1

как некоторую комбинацию векторов элемента или же в терминах теории прикосновений.

На фигурирующие в рассмотрениях этой главы функции мы накладываем только ограничение, состоящее в требовании существования достаточного числа производных (диффер„енцируемость). Однако при решении вопроса о существовании того или иного конкретного геометрического образа при по мощи исследования совместности внешних дифференциальных

6*.

систем приходится это ограничение усиливать, требуя анали тичность рассматриваемых функций, ибо это требование су щественно использовалось в предыдущей главе при доказа тельствах теорем существования.

§ 2. Канонизация репера. Основные соотношения. Основные

дифференциальные уравнения. Полная система инвариантов геометрического образа. Натуральные уравнения

Подобно	тому как в аналитической	геОхМетрии		изучение
того или иного геометрического образа		(линии,	поверхности)
или класса	образов значительно упрощается		путем	целесо

образного выбора системы (неподвижной) координат, так в дифференциальной геометрии со времен Френе стремятся отыскать наиболее удобные подвижные системы координат

— кано'нические реперы. Если в аналитической геометрии за дача целесообразного выбора системы координат решается сравнительно просто и почти однозначно, то в дифференци альной геометрии имеет место наличие большого произвола.

Так, в нашем	случае		мы		можем		распоряжаться			четырьмя
вектор-функциями от 12 +					р	параметров, а кроме того, можем
производить произвольную					замену		параметров по			формулам
		*	*		. . . , t'p), I		=	1, 2, ...,/?,
tx	= tl	(t\,	t2,							(5)
		I *	*2		. . . , х12),		р =	1,2,	12,
k				,
p — X„		\X\,	T
где функции	и хр	должны				удовлетворять			лишь	обычным
дифференциально-геометрическим							условиям		и условиям ви
да (4).								не может быть и речи
На первый	взгляд, в		этих			условиях

о какомлибо достаточно определенном процессе выбора на иболее удобного канонического репера. Ж . Фавар пишет по этому поводу, что такой репер «выбирается из соображений удобства, соображений субъективных, при которых нет места

никаким соображениям точной теории» ([20],	стр.	116).
Однако аппарат метода внешних форм позволяет отвлечь
ся от того произвола, который дают формулы	(5), а	рассмат
риваемые ниже метод канонизации репера по	Картану и спо

собы построения полуканонических реперов, соответствующих тем или иным подмногообразиям, значительно сокращают элемент «субъективности», а в простейших случаях дают вполне обозримые совокупности наиудобнейших реперов поч ти однозначно.

Процесс канонизации репера, начинается со следующей простой операции, которую мы назовем „включением эле-

мента

репер".

Пусть

элемент

определяется

несколькими

точками

Ми

М,,...,

ма

с радиус-векторами

г„ г 2 ,... , г, (от

носительно

неподвижной

системы

координат)

нескольки

ми направляющими

(свободными)

векторами

/ 2 , .,., I .

Тогда

одну из точек Ми

УИ2 ,...,

М 3 естественно

принять за

начало

репера, т. е. положить, например.

r = r l t

(6)

три (некомпланарных)

вектора

из

12,..., lq

принять за

базисные

векторы, т. е. положить,

например,

т ,

/,,

т2

= / 2 ,

т 3 =

1Ъ.

(7)

Тогда

положение

остальных

точек

М2,...,

Ма

векторов

/ 4 , . . . ,

/ ? определится однозначно относительно

выбранного

репера

при

помощи

определенного

числа

скаляров ср,,

с р 2 , . . . ,

<р*,

являющихся

функциями

главных

параметров

инвариантами

геометрического

образа.

При этом репер

станет каноническим (поскольку правые части формул (6) и (7)


принадлежат		элементу). Однако в практически							интересных
случаях	мы не		будем иметь такого „богатого"						элемента.
Так, например,			если элементом				является прямая		линия (1),
то включение		ее в репер			сводится к тому,			что	мы можем
поместить начало				репера	в	какую-нибудь		точку прямой		и
сделать	один	из векторов			репера		параллельным		вектору	t„.
В остальном		репер		остается		пока никак не		фиксированным.

Итак, будем полагать, что при включении элемента в ре пер не возникает канонический репер, а только часть элемен тов наиболее общего подвижного репера так или иначе фиксируется. Дальнейшую фиксацию репера можно произво дить чисто геометрически или при помощи некоторого анали тического алгоритма.

К описанию такого алгоритма мы и переходим. Рассмот рим так называемые деривационные формулы наиболее об щего репера (3), т. е. формулы, выражающие дифференциалы всех векторов репера через базисные векторы nti этого ре пера:

dm*=Qimi. (8)

Здесь для краткости обозначено г — т0.

Условимся, что в этой главе индексы принимают следую щие значения:

/, /, k — \ , 2, 3; а, ? , т = 0 , 1, 2, 3;

л, щ	v =	1, 2, ... ,	р;	р =	1, 2,..., 12;	(9)
а,	6 =	1, 2,... ,	q;	и, v	= р-\-1,...,	q.

В формулах	(8) коэффициенты				2£ являются формами Пфаф
фа вида		« i	= t «i +		- i ,					(10)

где
		К = a a dh ,								(11)
		rJa = b^d^,								(12)
а коэффициенты alax,			зависят в общем					случае		от	всех
параметров ti, х9,			(8)	заведомо			имеют		решения		вида
Так как уравнения
(3), то система		(8) должна		быть вполне интегрируемой, т. е.
внешние дифференциалы				уравнений			(8)	должны		быть ал
гебраическими следствиями				этой		системы			(см. § 5,. гл. 2).
Дифференцируя		(8) внешним образом и внося в								результат
выражения dm« из (8), получаем							внешние		квадратичные
уравнения		D£'=		[ o { 2 J ]						(13)

(«уравнения	структуры»		аффинной			геометрии).
В результате		включения		элемента			в репер		некоторые		вто
ричные параметры зафиксируются,						что проявится				и в дери

вационных формулах. Например, если один из радиус-век

торов	элемента	станет радиус-вектором г начала						репера, то
Следовательно,		dr \dt-dLl=...=dtp			=о = 0.
Следовательно,		2;, =		Ч
и		2;, =		Ч
и		< = 0.
		< = 0.
Если один из векторов элемента					принимается, например, за
вектор/и 3 репера, то
или		dm31 df—dtl=	• • -=мр=о = 0
или
И		*'з = 0 .
		*'з = 0 .
В общем случае в результате					включения		элемента в ре
пер мы получим q линейных				соотношений			между вторич
ными	формами	т:'а с постоянными			коэффициентами. Очевид
но, что q>p. В результате			получится, что q линейных ком
бинаций форм		выразится	через			одни только		первичные
формы	со* в виде
		^a = c a a * ^ a з a	= c a a ° a > a в a = <»a,
		оа — 1, 2, ... ,				zа,		(14)
		оа — 1, 2, ... ,				zа,

где У0 »в и ша„а

означают

заново

перенумерованную

часть

форм

й«

и соответствующих

им

форм ш'а,

a za — число та

ких

форм, вошедших

в соотношение

с номером

а.

Одно

временно

произойдет

фиксация

части

вторичных

форм:

(15)

Формы са°Щаа

принадлежат

векторному

подпространству

{dh}.

Выберем

р из

них

за

базис этого

подпространства

и обозначим их ш\. При этом, правда, исключаются из рас смотрения некоторые (обычно сильно вырожденные) клас сы геометрических образов и отдельные элементы, для ко торых как раз эти формы зависимы. Тогда все остальные

правые части		соотношений (14) (обозначим их юи)	выразят
ся через	Ш).	линейно:
		шц = А1<1>\.	-(16)
Точно такие же соотношения возникнут и между			формами,
стоящими	в левых частях равенств (14),
		Qu=*AuQi,	(17)

где .4ц, как и все последующие коэффициенты, обозначен ные большими латинскими буквами, суть функции всех пер вичных параметров h и оставшихся нефиксированными вто ричных ~\.

Соотношения (17) будем называть первыми основными соотношениями для данного геометрического образа.

Аналитически первый шаг алгоритма 'канонизации

репе

ра

сводится к

тому,

чтобы

выяснить,

как

коэффициен

ты

Л\

зависят

от

вторичных

параметров,

зафиксировать

те

вторичные

параметры,

от

которых

зависят

АХИ

так,

что

бы

первые основные соотношения,

следовательно,

де

ривационные формулы

(8)

максимально упростились.

Чтобы

получить ответ

на

первый

вопрос,

продифферен

цируем основные

соотношения (17) внешним

образом.

Так как соотношения (17) выполняются при всех значе

ниях входящих в них переменных, т. е. являются

тождест

вами,

то

мы получим

также

тождественные соотношения-

D9.a=[dAlu,

Qx\+Ax„DQx.

(18)

Так как формы щ образуют базис, эквивалентный

базису

{dh},

то

система

уравнений

ш\ =

эквивалентна

систе

ме

0. Следовательно,

система

шк = 0

вполне

интегри

руема и на основании обобщенной теоремы Фробениуса имеем (см. § 5, гл. 2)

(

D(0>, = 1<^«V ]

(19)

где

Qt — некоторые

формы

Пфаффа

из касательного

век

торного

пространства

Тр+п,

т. е. линейные комбинации форм

2 £ . Следовательно, внешние

дифференциалы

всех форм

2 а

в силу

(14)

(16)

также

представимы

виде

(19).

Одна

ко

D 2 a

можно

вычислить

и при

помощи

уравнений струк

туры (13). Эти выражения

DQa

не

будут

содержать

диф

ференциалов неизвестных

функций

Л ц ,

т. е.

будут

иметь

вид

Z?2e = [2$av],

(20)

где

2ц

являются

формами

2^ или

их

линейными комбина

циями с коэффициентами,

не

зависящими

от

л„

(среди

со

отношений

(20) находятся

соотношения

(19).

Поэтому

соотношение (18) можно представить в виде

[dAl

+ A x

u k - k ,

«v]

= 0 .

(21)

Отсюда,

по

лемме

Картана

(§ 5,

гл. 1),

получаем

dAl+Aa&x-SF

= В > , .

(22)

Эти равенства выполняются при всех значениях аргу ментов. Фиксируя часть из них, мы будем получать нуж ные нам следствия. Прежде всего зафиксируем первичные параметры, т. е. придадим им некоторые постоянные зна чения: h = t\. Тогда dt\ 0, все формы i», обратятся в нуль,

формы	& а , а значит и 2£	превратятся во вторичные	фор
мы те * и Tia (в силу (10)). Дифференциалы функций при			dt\=0
будем	обозначать символом	о, т. е.
	М = 2 - ^ - * Р .		(23)

рбх9

Тогда соотношения (22) дают

			8 Л £ + Л « * ? - * £ = = 0 ,		(24)
где	их и Ки—линейные комбинации тех вторичных форм, ко
торые		остались	нефиксированными	при включении	элемен
та	в	репер соотношениями (14).
	Формулы (24) дают ответ на вопрос о том, как				коэффи
циенты Аи зависят от вторичных				параметров. Они поро
ждают систему дифференциальных уравнений в					частных
производных по			т р .

Чтобы осуществить первый этап канонизации репера, надо подобрать их простейшие частные решения. Заметим, что в коэффициентах уравнений (24) могут присутствовать и t х , которые при интегрировании следует считать постоянными. Можно пойти и дальше: положить равными нулю все диффе

ренциалы оставшихся	вторичных параметров,		кроме одного,
и рассмотреть те из уравнений		(24), которые не сводятся при
этом к 6Л = 0 (что	означало	бы, что данный	коэффициент

.4 от этого параметра не зависит). На практике просто пола

гают равными нулю все независимые, входящие в					(24)
формы Па, кроме одной; тогда эту оставшуюся форму				(обо
значим ее	я) можно считать	дифференциалом	одного	из	ар
гументов	т —т, умноженным	на некоторый	множитель,		не

зависящий от этого тр = т (напомним, что допустима замена (5)). Тогда останется одно или несколько уравнений с одной

или

несколькими

неизвестными

функциями

А „

с одним

независимым

переменным.

Выделим

из

них

одно:

dA'Z =

(

l .

(

)

где точками обозначены входящие в

правую часть

осталь

ные функции

А и'.

Часто

последние

совсем

не

входят,

и такие

уравнения

надо

использовать

первую

очередь,

так

как

тогда и

решение

Л» = <Р<т,...,с)

(26)

(где

с — произвольное

постоянное)

не

будет

от

них

за

висеть.

Возможны два случая: 1) можно подобрать такие значе.

ния

т и с ,

что Аи — 0;

это

значит, что возможна такая фик

сация

параметра

-.,

которая

дает

А1 = 0,

тг =

(27)

— это

самый

благоприятный

случай;

значение Л„ = 0 об

ращает

(25)

в тождество;

тогда

это

равенство

наступает

не

в силу выбора вторичного параметра

т,

силу некоторо

го ограничения на класс рассматриваемых

геометрических

образов; говорят, в этом случае, что

равенство

Л£ = 0

но

сит инвариантный характер; в этом

случае

фиксация

(27)

невозможна,

но

возможна

некоторая

фиксация

типа

А1 =

А0,

тг =

(28)

где

Л 0

— какая-нибудь

константа

(обычно

1 и л и — 1 ) ,

от

личная

от

нуля.

Если имеется несколько уравнений типа

(25)

для

вы

бранной формы

л,

то,

конечно,

надо

использовать

то,

для

которого проходит фиксация (27). При наличии нескольких возможностей следует стремиться к максимальной симмет ричности как формул, осуществляющих фиксацию, так и по лучающихся деривационных формул. Иногда целесообразно рассмотреть и несколько вариантов: каждый из них может оказаться более удобным для решения тех или иных конк ретных вопросов. Наконец, следует, по возможности, учиты вать и геометрические соображения, не откладывая выяснения геометрического значения той или иной фиксации до оконча ния всего процесса канонизации.

Такие фиксации проводятся до тех пор, пока не исчерпа ются все, входящие в (24), вторичные формы (или их неза висимые линейные комбинации) или зафиксируются все ве личины А'и, участвующие в (24). Может оказаться, что формы п исчерпаются раньше, чем зафиксируются все At . Это зна чит, что оставшиеся А „ при данном способе канонизации ста новятся инвариантами геометрического образа, т. е. не зави сят от вторичных параметров.

Внеся в (22) зафиксированные значения величин А\ . мы вновь получим соотношения вида (17), в которых искомыми

станут коэффициенты В\. Их можно назвать вторыми ос новными соотношениями и применить к ним тот же процесс, что и к первым, т. е. к (17). Ко вторым основным соотноше ниям можно присоединить еще и выражения

		dAa	=	FUx,			(29)
где	Аа — получившиеся		на	предыдущем	этапе	инварианты.
Так	как щ — Hldt^, где		HI	зависят и	от вторичных		пара
метров, то и коэффициенты Fl также зависят						от них,	и со
отношения (29)		имеют такой же вид, что и соотношения					(17),
так	как 2>. = шЛ .	Присоединением соотношений				(29) можно

ускорить процесс канонизации репера, но обычно геометри чески истолковать канонизирующие соотношения труднее, чем при использовании лишь основных соотношений.

С каждым шагом число незафиксированных форм умень шается и, в общем случае, процесс построения заканчи вается. Все вторичные формы становятся равными нулю, все формы 2'а — равными соответствующим первичным фор мам ш1а, которые выражаются через базисные формы шх ли нейно:

		«V	=	Г 'а ш-А.		(30)
В	ходе фиксаций	на	Г1х	уже	наложен ряд	соотношений,
т.	е. некоторые из	них	или из		их комбинаций	обратились в

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ