книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии
.pdfЧтобы |
продолжить |
соответствие |
обозначений |
(93), по |
||||||
ложим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ds =г0ш* |
|
|
-f-e,u>J = 8 , 0 ) ? |
+ е2 со3 , |
(105) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е, = |
— 2ее 0 — е„ е2 |
= - |
уе0 — е,. |
|
|||
Тогда |
в силу |
|
(91), (86) и (9) |
|
|
|
||||
|
ш з |
=, _ |
( S i + |
2 s s 3 + rl3) со? - |
(ц + 7.S, + ; 8 ) ш » . |
(106) |
||||
Кроме |
того, |
в силу |
(9) и (86) для Ч>., имеем |
|
||||||
|
|
ш ? |
= |
- |
К |
+ |
2е6.) со? - |
('„ + ZE,)cu3 . |
(107) |
|
Поэтому |
введем |
обозначения |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(108) |
|
|
— ( 6 , |
+ |
Х?3 |
+ |
г8 ) = ^ _ |
(С, + z s,) = ^ |
|
||
и продолжим сопоставление (93) следующим образом:
р-+р, h-+h,
(109
q-+q, k-*k.
Теперь все результаты § 6—8, гл. 2 почти без всяких изменений переносятся на неголономные конгруэнции. Не сле дует забывать лишь о том, что глобальные конструкции теря ют смысл. Например, сопряженность двух регулюсов, принад лежащих подмногообразию (86) и проходящих через данный луч, имеет прежний смысл (см. § 8, гл. 2), но говорить о сети регулюсов нет смысла.
Здесь следует подчеркнуть, однако, что если в рассужде
ниях, |
проводившихся |
в гл. 2, подмногообразия |
Wu |
зада |
||
вавшиеся уравнениями |
<»3i = 0 и со32 = 0 (в полуканоничес |
|||||
ком репере) были, вообще говоря, произвольными |
(хотя за |
|||||
дание |
одного из них уже определяло другое: вместе они об |
|||||
разовывали ортогональную сеть), то в неголономной |
конгру |
|||||
энции они определяются |
единственным образом, как |
только |
||||
задана |
уравнением (86) или (74) сама конгруэнция. На диаг |
|||||
рамме им соответствуют |
точки пересечения прямой a1 |
xt |
— 0 |
|||
с прямыми ЛИ г и А\А%. |
Они характеризуются и рядом |
гео |
||||
метрических свойств. Например, из (94) следует, что горловая точка у регулюса са32 = 0 (и только у этого регулюса в общем случае) совпадает с центром Ц неголономной конгруэнции, а у регулюса o>3i = 0 она симметрична с ним относительно центра Л комплекса; из (95) следует, что у регулюса со32 = 0
13. З а к а з 6667. |
193 |
параметр распределения равен кривизне комплекса, а у регу
люса |
©3i = |
0 — коанормальности |
(с обратным знаком). По |
|||
этому удобно называть регулюсы |
ш31 = |
0 и со32 = |
0 (в |
комп |
||
лексе |
они |
имеют уравнения |
co3i = co1 +'x( o 3 2 = 0 |
и |
и 3 2 = |
|
= co'+2eoj3i = 0 ) основными регулюсами |
неголономной |
кон |
||||
груэнции (86).
Инвариант Гишара — Пето П = р 2 + 92 можно интерпре тировать в случае неголономной конгруэнции только как
сумму квадратов инвариантов я и я основных регулюсов, так как средней огибающей нет.
Мы уже выделили ряд важных классов неголономных кон груэнции: параболические, цилиндрические, центральные, коанормальные, бицилиндрические, боковые, центрально-пара болические. Нетрудно указать большое количество их свойств, вытекающих из проведенного сопоставления с теорией голономных конгруэнции. Мы представляем это сделать чи тателю.
Какие из рассмотренных в главе 2 классов конгруэнции имеют аналоги среди неголономных конгруэнции? Очевидно, те, у которых хотя бы одно из характеристических свойств может быть выражено в терминах, сохраняющих смысл для неголономных конгруэнции.
Так, например, нормальными |
неголономными |
конгруэнция- |
||||
ми |
можно назвать те, которые |
характеризуются |
обращением |
|||
в нуль среднего параметра |
распределения, т. е. соотношением |
|||||
|
Х = |
Т12. |
|
|
|
(ПО) |
Нормальные неголономные конгруэнции можно также ха |
||||||
рактеризовать перпендикулярностью |
фокальных плоскостей, |
|||||
так |
как соответствующая выкладка |
(ср. § 9, гл. 2) |
сохраня |
|||
ется |
(с изменением обозначений |
по схеме |
(93), |
(109)). |
||
И другие свойства нормальной конгруэнции, связанные с под многообразиями ЧЛ» распространяются на неголономный случай.
Относительно наличия того или иного класса неголономных конгруэнции в произвольном комплексе следует сказать сле дующее. Если соответствующий класс определяется одним или двумя соотношениями, существенно содержащими функ
ции е |
и % (или а° : а1 |
: а 2 ) , |
то |
очевидно, |
что конгруэнции |
такого |
класса имеются |
в произвольном комплексе. Если ж е |
|||
из указанных'соотношений |
(в |
частности, |
если их будет |
||
больше двух) можно исключить е и % так, что останутся не тождественные соотношения на инварианты самого комплекса, то: это означает, что подмногообразия Чг 2 данного типа име ются лишь в комплексах частного вида.
194
Одним из условий, которые можно наложить на подмно гообразие Ч^, является условие голономности, т. е. условие вполнеинтегрируемости уравнения (74):
|
|
|
|
|
[D(aJu>i), |
|
a'ttb] = 0 . |
|
|
|
|
( I l l ) |
|||
В терминах (86) это условие можно |
|
записать |
так |
(учи |
|||||||||||
тывая |
(16)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
{?i (2%Х + |
4s* + |
X») 4 - 2щщ-+ чз. + |
|
(112) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ ч2 м) [«>>!] = о. |
|
|
|
|
|||||
Положив |
(ср. (105)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
de = |
s0 со1 + |
в, о)J + |
s2 о)| = |
(в, + |
2ее0)со3 |
+ |
(е2 + Хе0) ш|, |
(113) |
|||||||
|
|
dV. = |
Х„w l |
+ |
'/, «4 + |
Х2 |
со I |
= |
(X, |
+ |
2е"/0) ш3 |
+ |
|
||
|
|
|
|
|
|
+ |
(72 |
+ |
Г/0 )с»1, |
|
|
|
|
||
можно |
привести |
(112) к |
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Х , + 2 е Х 0 - 2 ( е 2 - | - Х е 0 ) |
+ |
2е7}1 + |
|
(114) |
|||||||
|
|
|
+ ^з + ^ С , + S1 (2I)2 X + 4E» + X 2 ) = 0 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
При |
выполнении |
этого соотношения |
комплекс расслаивает |
||||||||||||
ся на оо1 голономных конгруэнции ш1 = |
2ешя - j - Хш?.. Так как |
||||||||||||||
при |
этом |
(см. (85)) |
исключены |
цилиндрические |
конгруэн |
||||||||||
ции, найдем отдельно условие голономности для цилиндри-'
ческой |
конгруэнции |
.«о* = |
Aojj |
|
|
|
s > |
(115) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и для |
бицилиндрической |
ш | = |
0. |
Для первой |
получим |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Е,(1 + / 2 ) - / 0 |
= |
0, |
|
|
(116) |
|||
где, |
как |
обычно, |
/„ |
берется из |
|
|
|
•> |
..••.( |
||||
|
|
|
di |
= |
i 0 ^ |
; |
•: |
/соь |
: |
; ( |
П |
7 ) |
|
а для |
второй просто |
£ , = 0 . |
|
|
|
|
(118) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так |
как |
последнее |
уравнение |
(совпадающее |
с |
(116) |
при |
||||||
/ = |
0), |
содержит |
только |
инвариант |
комплекса |
| i , то |
мы |
по^ |
|||||
лучаем |
важный результат: только |
в |
комплексах |
(118) |
могут |
||||||||
существовать голономные боковые и бицилиндрические кон груэнции. Мы вернемся ,к этим комплексам, в § 14. Заметим»
однако, уже сейчас, что в этих |
|
комплексах |
голономны и |
все |
|
те цилиндрические |
конгруэнции |
(115);, дли |
которых [dl, |
ю'з. |
|
ю 2 з])= 0, т. е. /о = |
0. |
- |
Ь |
|
-| |
§ 6. Фокальные |
неголономные поверхности |
|||
Выше мы заметили, что для неголономных |
конгруэнции |
|||
понятие фокальной поверхности теряет смысл. |
|
|||
Однако |
можно ввести |
понятие |
фокальной |
неголономной |
поверхности. Напомним, |
что термин «неголономная поверх |
|||
ность» означает (см. ч. 1, гл. 3, § 4) |
совокупность интеграль |
|||
ных кривых |
некоторого уравнения |
Пфаффа, |
связывающего |
|
координаты |
переменной |
точки пространства. |
Геометрически |
|
это эквивалентно заданию голономного трехпараметрического геометрического образа, элементом которого является точка
вместе с инцидентной ей плоскостью (являющейся |
совокуп |
||||
ностью касательных |
к интегральным |
кривым, |
проходящим |
||
через эту точку). |
|
|
|
|
|
Зададим на каждом луче комплекса |
точку |
|
|
||
|
M = r + |
te3 |
|
|
(119) |
(здесь t—функция |
первичных |
параметров). |
Мы |
получили |
|
трехпараметрическое |
множество точек. Если |
каждой точке |
|||
ассоциировать плоскость, то получится |
неголономная поверх |
||||
ность. Эти плоскости можно задать уравнением Пфаффа на
координаты точки М, что равносильно заданию |
уравнения |
|
Пфаффа на главные параметры |
комплекса: |
|
а1ш1 = |
0, |
(74) |
т. е. заданию неголономной конгруэнции комплекса. Итак, чтобы задать неголономную поверхность, инвариантно свя занную с комплексом прямых, нужно 1) задать (геометриче ски инвариантно) на каждом луче комплекса точку М, 2) задать неголономную конгруэнцию комплекса.
Но можно сначала задать неголономную конгруэнцию (гео метрически инвариантное подмногообразие 4*2, определяемое уравнением (74)), а затем задать точку М, инвариантно свя занную с этой конгруэнцией. Мы получим тогда неголоном ную поверхность, инвариантно ассоциированную с заданным 4*2. Чтобы определить плоскость, соответствующую точке М, достаточно вычислить dM при условии (74):
dM = |
( К + гЧ) ех + (у]2 щ |
+ |
*Ч) ег |
4- |
|
+ (£з <°0 |
4- си, + : 3 у>2 |
4- dt) |
e3}ai |
«>, = |
0. |
Если записать уравнение (74) в виде (86), то получим: |
|||||
dM = |
о»'}{(* + 2е) ех |
+ ъ е2 4- (2е&, |
+ |
||
+ ч , + 2гР 4- г1 ) е,) - «>S [Xet |
+ te2 + |
(120) |
|||
+ |
(Х 5, + С + |
+ |
|
|
(121) |
г де |
dt = tl |
СО; . |
|
|
|
1 9 6
Два вектора, |
стоящие |
в фигурных |
скобках, |
и |
определяют |
|||||
искомую плоскость. Ее |
нормаль |
параллельна |
вектору |
|
||||||
я = |
И - 2 s |
7 j 2 |
Ыг |
+ |
% 4 - 2 е * о 4 - / ' |
- |
|
( 1 2 2 ) |
||
|
X |
t |
Д 3 |
+ ^з |
+ |
tn + |
fi |
|
|
|
Отсюда сразу видно, что эта нормаль перпендикулярна |
лучу |
|||||||||
только при |
( 0 3 |
+ |
2 г ? - х ъ |
= |
0, |
|
|
|
(123) |
|
|
|
|
|
|||||||
т. е. только в фокусах неголономной конгруэнции |
(86). |
|
||||||||
Следовательно, единственными точками луча |
неголономной |
|||||||||
конгруэнции, |
с которыми |
ассоциируются |
неголономные |
по |
||||||
верхности, касающиеся лучей конгруэнции, являются фокусы. Поэтому естественно называть эти неголономные поверхности фокальными.
Итак, фокальная неголономная поверхность есть неголономная поверхность, задаваемая при помощи уравнения него лономной конгруэнции и одного из ее фокусов.
Легко проверить, что плоскость, определяемая нормалью п для неголономной фокальной поверхности данной неголоном ной конгруэнции, совпадает с соответствующей фокальной плоскостью: достаточно сравнить выражение (122) с (101) и заметить, что скаляры последнего столбца определителя (122) играют роль произвольных Ль \% формулы (101).
§ 7. Неголономные конгруэнции в полуканоническом репере
Для изучения неголономных конгруэнции (и вообще лю бых подмногообразий) удобно применить полуканонический репер. Таковым в нашем случае является репер, введенный в § 1. Уравнение Пфаффа
со1 = |
0 |
(124) |
определяет произвольную |
неэллиптическую |
нецилиндричес |
кую, неголономную конгруэнцию комплекса. Исключение из рассмотрения цилиндрических неголономных конгруэнции, ко нечно, неприятно, но их исследование было достаточно продви нуто в каноническом репере.
Более существенным является исключение эллиптических
конгруэнции. |
|
|
В самом деле, торсы неголономной конгруэнции |
(124) оп |
|
ределяются вытекающим |
из условия |
|
(dr, е3, de3) = 0 |
|
|
уравнением |
|
|
fflj(w>i |
4 - i > i ) = 0 , |
(125) |
197
а фокусами являются всггда действительные точки
|
F { = r,F2 |
= |
г - ^ e 3 , |
|
(126) |
Таким |
образом, неголономная |
конгруэнция |
(124) |
всегда не |
|
эллиптическая и не может быть цилиндрической. |
Следова |
||||
тельно, |
ни эллиптические, |
ни |
цилиндрические неголономные |
||
конгруэнции нельзя задать |
уравнением (124) |
ни в каком по- |
|||
луканоническом репере, а при заданий их общими уравнения
ми вида (74) теряется та выгода, которая |
обеспечивается |
|||||||
простотой уравнения |
(124). |
|
|
|
|
|||
|
Центром |
конгруэнции (124) |
является |
точка |
|
|||
|
|
У |
= |
г~1-12е-л. |
|
|
' |
(127) |
: |
Нормали |
фокальных |
неголономных поверхностей |
найдут |
||||
ся |
(имея в виду результаты предыдущего |
параграфа) |
в: виде |
|||||
|
|
« i | [ № ) - » ' - « . з - о , е3]\\еи |
|
|
...(128) |
|||
|
» 2 l l l ( ^ 2 ) . « > ! f f v U c ^ |
= o, e 3 l l h ^ i |
+ |
^е». |
,029) |
|||
|
Таким образом, полуканонический репер |
комплекса явля |
||||||
ется «фокальным» каноническим репером неголономной кон груэнции (124): его начало находится в фокусе, а вектор ех направлен по нормали соответствующей фокальной неголо номной поверхности.
Определяя обычным путем абсциссу хг горловой точки и
параметр р |
распределения произвольного регулюса со3 : а , |
|
конгруэнции |
(124), получаем |
|
|
_ ( ? . m i + > i > ° l |
( 130) |
|
W ) - 2 + K ) a |
' |
Ю ' + К ) 2 '
Определяя экстремумы этих выражений, найдем главные регулюсы
|
^ { « Г + ЫУ-] |
- 2 |
> 3 w |
i = 0 |
(132) |
||
и граничные |
точки |
|
|
|
|
|
|
С„2 |
= г — ^- :,е3 |
±-^-у |
С* -г- ti\ е з . |
О 3 3 ) |
|||
а также полный |
и средний |
параметры |
распределения: |
||||
|
|
к = —ц, |
н = |
- г 1 |
2 . |
(134) |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Заметим, |
что |
«координатные» |
(относительно |
полуканони |
|||
ческого репера) |
регулюсы |
со'з = |
со2з = 0, со1 |
= ю'з = 0, |
|||
198
со1 = со2з = 0 опять имеют простые геометрические характерис тики. Именно первые два являются соответственно цилинд ром и тем торсом неголономной конгруэнции (124), фокус которого не совпадает с началом репера. Для третьего дери вационные формулы можно -записать в виде
|
dr |
= — {v\2e2 + |
ъе3) <•>?, |
|
||||
|
dex |
= ( |
— 7),е2 |
+ |
е3) <ия, |
|
(135) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
de2 |
= |
t\xe^\, |
|
|
||
Отсюда |
|
de3 |
= — e: i oj3 . * |
0 |
характеризуется |
|||
видно, что регулюс |
со1 = |
со2з = |
||||||
совпадением его канонического |
репера |
с |
полуканоническим |
|||||
репером |
комплекса. Назовем |
его по аналогии с § 3 полуцент |
||||||
ральным |
регулюсом. |
Тогда торс со1 |
= ю'з = |
0 естественно на |
||||
зывать |
полуцентральным |
торсом. |
Рассматривая деривацион |
|||||
ные формулы координатных регулюсов легко получить гео метрические характеристики всех коэффициентов деривацион ных формул полуканонического репера, в том числе и инва
риантов т)2, r\i. С2, Сз, . T ] I , >i 'подмногообразия |
(124). Форму |
||
лы же |
(126) — (130) |
показывают связь последних с простей |
|
шими |
инвариантами |
неголономной конгруэнции. |
', |
Мы имеем теперь возможность характеризовать целый ряд классов неголономных конгруэнции при помощи их «нату ральных» уравнений, записанных в терминах полуканоничес
кого |
репера: |
|
|
|
|
||
1) |
г)2 = |
0 — нормальная |
неголономная |
конгруэнция (фо |
|||
кальные |
плоскости в силу |
(128) |
и (129) |
перпендикулярны, |
|||
средний параметр равен нулю и |
т. д.); |
|
|||||
2) |
£2 = |
0 — параболическая |
неголономная конгруэнция |
||||
(фокусы |
(126) |
и торсы (125) совпадают; |
полный параметр |
||||
равен |
нулю |
и |
т. д.); |
|
|
|
|
3)т)1 — 0 — неголономная конгруэнция, у которой в силу
(135)полуцентральный регулюс является цилиндроидом;
4) |
ч з = |
0 — полуцентральный |
регулюс |
является бинор |
|||
мальным |
(наклон равен нулю в силу |
(135); |
|
||||
5) |
£j = |
0 — полуцентральный |
торс |
является |
плоскостью, |
||
так как |
косина распределения его |
обращается в нуль: |
|||||
|
|
|
(е3, de3, d2e3)^ _ <U3 _ 0 |
= 0; |
|
||
6) |
С3 |
= |
0 — начало полуканонического |
репера |
описывает |
||
на полуцентральном торсе ортогональную |
траекторию: |
||||||
|
|
|
(й(г)ш. _ш ' = о |
-Le3. |
|
|
|
Хотя инварианты d, ?2, Е3 и не входят в деривационные формулы канонического репера подмногообразия (124) (ко-
199
торые, |
естественно, |
получаются из |
(&) при м1 |
= 0 ) , |
но обра |
||||||||||
щение их в нуль также дает интересные классы |
неголономных |
||||||||||||||
конгруэнции; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
£3 = |
0 — начало |
полуканонического |
репера |
описывает |
||||||||||
ортогональную траекторию |
на |
цилиндре |
комплекса, |
так |
как |
||||||||||
|
|
|
( а , г ) ( 0 1 = = ш 2 = о _ 1 _ е 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8) |
Е2 = |
0 — фокус |
F2 |
и |
векторы |
полуканонического |
ре |
||||||||
пера совпадают с началом и с |
векторами |
канонического |
ре |
||||||||||||
пера (включая в нумерацию); действительно, нормаль |
ци |
||||||||||||||
линдра |
raj |
[е3, dr\ |
( 0 i = Ц |
) 2 = 0 |
= (Ъе1 |
— е2)ш1 |
при |
U = 0 |
совпа |
||||||
дает с |
вектором е2 , |
как |
и |
в каноническом |
репере |
(см. § 2), |
|||||||||
а главная |
корреляция |
(21) |
дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
только |
при |
t = — С2, т. е. (F2)i, |
= o есть |
центр луча |
комплек |
||||||||||
са; заметим, что для этой неголономной |
конгруэнции |
г \ 2 явля |
|||||||||||||
ется кривизной комплекса; менее интересную характеристи ку данной неголономной конгруэнции дает тот факт, чго только для нее касательная к линии, описываемой вершиной полу
канонического репера на |
цилиндре |
комплекса, |
перпендику |
|||||
лярна |
вектору |
е2\ |
|
|
|
|
|
|
9) | j = 0 — касательная |
к |
линии, |
описываемой |
вершиной |
||||
полуканонического |
репера, |
лежит |
в фокальной |
плоскости |
||||
(R — г, |
ех) — 0 неголономной |
конгруэнции. |
|
|
||||
Рассматривая более сложные натуральные уравнения, мы |
||||||||
можем |
получить |
новые классы неголономных |
конгруэнции. |
|||||
Кроме |
того, можно |
рассматривать |
и системы |
натуральных |
||||
уравнений. Так как у нас два полувторичных параметра, то произвольные два уравнения, связывающие инварианты полу канонического репера комплекса, дают конгруэнции, которые имеются в общем случае в любом комплексе.
Однако в каждом конкретном случае мы обязаны прове рять, не приводит ли данное уравнение (или система двух уравнений) к соотношению на инварианты самого комплекса. В последнем случае конгруэнции указанного типа имеются только в комплексах определенного этим соотношением клас са. Эту проверку удобнее всего производить, пользуясь фор мулами перехода, которые мы получим в следующем пара графе.
Здесь же укажем еще условие, при выполнении которого уравнение ю1 — 0 становится вполне интегрируемым, и, сле
довательно, комплекс |
расслаивается |
на оо 1 |
голономных кон |
груэнции. В силу (12) |
оно имеет вид |
|
|
R = 4 i i - ^ i - ^ 8 |
- o . |
(136) |
|
200
§ 8. Переход от канонического репера к полуканоническому
Будем обозначать все векторы, формы, инварианты и дру гие величины, относящиеся к каноническому реперу, буквой
«с» сверху, а для полуканонического репера сохраним прежние
обозначения. Исходными будут являться соотношения между
векторами реперов:
|
с |
|
г 4- ре |
3 , |
|
|
г |
= |
|
||
|
с |
|
$ех + sin |
|
|
|
е, = |
cos |
fte2, |
||
с |
|
|
|
|
(137) |
— — sin fte, + |
|
$е2, |
|||
е2 |
cos |
||||
с
Беря дифференциалы этих соотношений и применяя соответ ствующие деривационные формулы, получаем формулы пере хода:
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш з — t 0 3 c o s |
^ ~~w » s i n *К |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
i»l |
= w\ sin ft + |
w-t |
cos |
|
ft, |
|
(138) |
|||
|
|
|
с |
|
|
|
с |
с |
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
со1 |
= |
со1 |
cos |
1) — о)J (^г sin & + |
pcos ft) 4- pcu2 sin |
ft, |
(139) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
$2 |
cos |
ft-sin |
ft |
= |
0, |
|
|
|
(140) |
|
|
|
|
|
|
|
42 |
= |
42 + |
p t g » , |
|
|
|
|
(141) |
||
|
|
|
|
|
|
|
= 4 2 t g » - p , |
|
|
|
|
|
(142) |
|||
|
|
|
|
|
|
^з + |
Pi |
= 2^3 |
|
cos |
|
|
|
|
|
(143) |
Ъ |
+ |
p2 |
= |
1 f — |
1- 4 sinft)4- ъ |
cos ft - |
; 3 sin |
ft, |
(144) |
|||||||
|
|
|
|
|
cos ft |
' |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 + |
Рз = |
14 Ig ft + 4 sin ft + |
C3 |
cos 8, |
|
|
(145) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
4-&2 = 2&,cos&, |
|
|
|
|
(146) |
|||||
ra |
4-ft2 |
= |
i |
I — |
H , ) s i n |
|
» + |
i |
cos |
ft-;, |
sin |
ft, |
(147) |
|||
|
|
|
|
|
\ cos |
ft |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
4- &2 = ltf2 |
tg ft 4- |
4t sin ft + 1 , cos |
ft, |
|
(148) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gfp = ptto1 |
4-P2°4 + Р а ш з . |
|
|
|
( 1 4 У > |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
201 |
|
db = |
0, со1 + |
&2<D» + f V»'- |
(150) |
|||
Здесь нужно |
подчеркнуть, |
что |
наши |
рассуждения теря- |
|||
|
|
Ь = |
• т |
|
|
|
|
ют смысл |
при |
— , так как |
тогда |
в силу соотношений |
|||
|
|
|
2. |
|
|
' |
|
(139), (138) |
формы |
ш1, со1, |
cojj |
становятся |
линейно зависимы |
||
ми. Это означает, что не существует нецилиндрической кон груэнции, одна из фокальных плоскостей которой содержа ла бы главную нормаль комплекса. Это согласуется с фор
мулой (101), |
так |
как |
и там требование |
(nf, |
et) = 0 невы- |
|
|
|
с |
|
|
|
|
полнимо при |
т]2 Ф- 0, |
т. е. для комплексов |
с отличной от нуля |
|||
|
|
|
|
с |
|
|
кривизной |
(о |
комплексах У\-, = 0 см. ниже, |
§ 12). Поэтому в |
|||
следующих |
после |
(139) формулах мы и вводим tg f>. В то же |
||||
время эти формулы еще раз подтверждают, что уравнением (124) можно задать любую неэллиптическую нецилиндри ческую конгруэнцию.
Из формулы (139) можно получить связь наших инвари антов неголономной конгруэнции с введенными в § 5 эксцен триситетом е и коанормальностью / . Так как уравнение со1 = О дает
ш1 = ш1 |
(C TJ2 tg 0 |
+ р) |
- *\ Р tg !>, |
(151) |
|
то сравнение с (86) сразу |
дает: |
|
|
||
<*= y ( P |
+ |
W f > ) , |
(152) |
||
|
-/ = |
- p t g » . |
|
(153) |
|
Из других следствий формул перехода отметим |
следующие |
||||
|
ft = |
arctgS2, |
|
(154) |
|
|
Ч э 5 2 - * а |
|
( 1 5 5 ) |
||
^ = |
\-7Т,(ъ |
+ |
*™У |
( 1 5 6 ) |
|
|
1 + |
^2 |
|
|
|
Отсюда, в частности, видно, что „натуральное уравнение"
|
Ъ + ЪЪ = 0 |
(157) |
|
не определяет |
никакого |
подмногообразия. Точно так |
же и |
системы вида |
щ = С2 — 0 |
или 12 = т)2 = 0 не определяют ни- |
|
|
с |
|
|
какого 'Ь2 в комплексе щ ф 0.
Формулы перехода всегда дают возможность решить воп рос о существовании подмногообразий W2, заданных натураль ными уравнениями, в произвольных комплексах или в комп-