книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

(139) дают ^так как 2ср = — , p = f c j :

А = bVU(K-h),

А* = ЬУ2(к

-4- «),

С = V2(p + q + bh-bK),

(179)

С* = 1/2 (q~p

— bh — Ьк),

В* — С,

C* = S.

(180)

В силу

формул

(139) при

2ср ф 0, тс условия

(180) равно­

сильны

условиям

pi = р2 = 0, т . е . р = const. Следовательно,

ризовать постоянством

полного

параметра распределения:

К = const ф 0.

(181)

Оказывается, что эти конгруэнции можно

получить так же,

как и псевдосферические,

требуя

наличия

неизменной связи

исходить

не

из

канонического

репера

первого

рода

(как

в § 13), а из полуканонического

репера

конгруэнции. Именно

потребуем, чтобы полуканонический

репер {г, е } конгруэнции

(см. формулы

(18) — (22)) был неизменно связан с полукано­

ническим

репером

{F, Е } первой*)

фокальной

поверхности

(см. §

12), т. е. чтобы имели место

формулы перехода

вида

(120)

с pi = const

и ф] =

const. Так как в

силу

(41) и

(54)

9 х = УаГ-\-ЬЬ'

=V~K\

(182)

то указанная

неизменная

связь

возможна

только для

конг-

*) Р а з у м е е т с я

в к а ч е с т в е «первой» м о ж н о

р а с с м а т р и в а т ь

л ю б у ю

из д в у х

ф о к а л ь н ы х п о в е р х н о с т е й к о н г р у э н ц и и .

п*

163

руэнций К = const. Для

определения cpt

= (Ез, ег)

из (43)

получается аналогичная

(118) формула

£ 3 I I [в3 , ( d ^ L j . o I Н (а + У ^ ) * ,

+ Ьеъ

(183)

откуда

Ь =

(р, +

a) ctg«pl t

(185)

р! =

const,

cpj =

const.

Из (184)

имеем

* - ( p 1 + a ) c t g c P l ,

V =

(р' -

a) tg?

l f

(186)

откуда

при pt

= const

и <pt

= const

следует

db =

da-ctg<?u

db'=

— da-tgft.

(187)

Внося

эти соотношения

в (22), получаем:

[dh,

СО»] +

СО»] = (— Л2 — А2 —

1) [cof

[а>,

( в ? ]

+

[rftf, о)|] =(b'

— b—ph — qk)[u>l<al],

(188)

[da,

a>?] + ctg

">!] =

{ ^ - 2 а А - А ( 6 + 6 ' ) > К « » 1 ] .

(6 - f b') ( * t g < p - f A ) - a t g

2a (Atg

=

Найдя /?

из последнего

уравнения

и подставив его во вто­

рое, мы получим стандартную систему трех

внешних

квад­

ратичных

уравнений

относительно

четырех

функций

h, k,

q,

а.

Следовательно,

конгруэнции

К=

const

определяются

с

произволом

в

одну

функцию

двух

аргументов.

Следует

иметь в виду, что наши построения

имеют смысл

только

для

гиперболических

конгруэнции К < 0, если мы

хотим

(186) при

помощи

формул

§ 6 получаются

натуральные

уравнения

подмногообразий,

к которым надо отнести конг­

руэнцию К = const,

чтобы получить

указанную

выше неиз­

менную связь реперов:

u > ! = 0 :

P = ( p i - « ) t g ? „

(189)

а)? = 0 :

Р =

I * + Pi) ctg 9i,

разий

(189). Если одно из подмногообразий (189) есть торс,

то полуканонические

реперы {г, et] и {Fu £,} параллельны:

tg ср, =

0 или ctg ср, =

0.

ЫУ = 0

(190)

В = В* — 0.

(191)

km? 4- — /?со? =

ctgcp-afcp,

Ь' '

(193 )

ь

v

=

р~! • dp.

[йк, со]] +

— [dh,

о)?] = Р,

К ш?],

6'

(194)

b'[dq, cof]

6[d/>,

+

ш 3 ] = Р 2 [ о з ] ш З ]

(значения коэффициентов Л

и Я2 Для

краткости

не выписы­

ваем).

Уравнения

(194)

вместе

с

первыми

двумя

уравнениями

системы (22)

определяют конгруэнцию

Гишара с

произволом

стандартную

систему

с тз = 0.

Отметим еще одно свойство конгруэнции Гишара, связанное

с некоторым (на первый взгляд

искусственным)

построен"—'

Рассмотрим

пару

поверхностей

5

и S,

определяемых

урав­

нениями

r

— r(u,v),

q =

q(u,v).

(195)

Если в

каждой точке

поверхности

5

провести

луч,

парал­

лельный

нормали,

восстановленной

в соответствующей

точке

для конгруэнции х и, кроме того, для каждой

пары соответ­

ствующих точек и соответствующих направлений

поверхнос­

тей S и S' будет

иметь

место

условие ортогональности

(dr,dq)

= 0,

(196)

то будем

называть поверхность

5'

ортобазой

конгруэнции

х

(в литературе S называют также образующей

поверхностью

для к). Рассмотрим задачу о

нахождении ортобазы данной

конгруэнции х. Дело сводится к нахождению

вектор-функции

ц из условий

(dr,

dq)

=

0,

(197)

{dq, е3) =

0,

Откуда,

считая,

что

конгруэнция

х отнесена

к

первому

ка­

ноническому реперу,

получаем

Положив

dq

II со2

ег

-

со1 е.,.

(198)

dq

= ).(со2 е,

-

о>1 е2),

(199)

D (Ы2 ех — Хш1 е2) = 0.

(200)

(201)

[cf In X, ш1] =

— q [ю3 ш?,].

Отсюда имеем

d\n\=-9-<a\-!Lm*

(202)

b

b'

q = j l ( ^ i e i -ш1е2),

(204)

I ,

=

(rf<7)a =

>.46'>?)2 +

& > 2 ) ' | ,

(205)

I I ,

=

-

(dq,

dez)

= Х ( 6 ' ( « . ? ) 2 -

6(ш 3 ) 2 ] .

Для линий кривизны

ортобазы

получим

уравнение

Отсюда получается

ш? . т 3

= 0 .

(206)

Т е о р е м а

1.

Торсам

и распределительным регулюсам

конгруэнции

Гишара

соответствуют

асимптотические линии

и линии кривизны

ортобазы.

АВ

ВС

4g2

+ В- +

АС

ВВ* ф 0.

(207)

В* С*

А*В*

4g* + B*

+ Л * С *

Отсюда, прежде "всего, следует,

что

ЛЛ* =

СС*,

(208)

т. е.

искомые

конгруэнции

принадлежат

классу

конгруэн­

ции W (см. § 15). Кроме того, имеем

или

В*С* (4g2

+ В2

+

АС) =

АВ (4g2

+ 5*а

+ Л*С*)

(209)

4g2

{В*С* - В А) +

^

(ЛЛ* -

ВВ*)

(В*С -

А*В) =

0.

(210)

В*С*

— ВА = В*С — А*В

= 0.

(211)

Вместо с (208) это дает

Л* = еС,

С* = еЛ, В*=еВ,

е = + 1.

(212)

(4g2 + В2)С

— С2

А = 0,

(213)

С*'. А* — С* (4g2

- f В*') =

0.

Отсюда имеем

4g2 + B2 = AC,

4g2 + B**=A*C*

(214)

зумеется,

исключен).

Внося

(214) в

(207) и

(208), получаем в точности

условия

(212). Наоборот, из (139)

и

(212)

получаются

условия

(214).

В заключение

заметим,

что в

силу (214),

(212)

и

(143)

имеем

/ 2

= ^ / „

(215)

D ( i w ?

+ 7 ' ш | : ) = 0 -

( 2 1 6 )

Эти конгруэнции

называются

конгруэнциями

Рибокура. При­

соединив условие

(216) к системе (22)

при а =

0, мы получим

стандартную квадратичную

систему

из пяти

уравнений на

шесть функций b,

b', h, k,

q,

р. Следовательно, совокупность

Свойства

конгруэнции Гишара, выраженные теоремой 1

§ 17, имеют

место и для конгруэнции Рибокура, так как

сохраняются,

хотя К =

с :р.

Конгруэнции Рибокура могут быть характеризованы

аф-

финно.

Т е о р е м а

1. Конгруэнция Рибокура характеризуется

тем,

что ее торсы высекают на средней поверхности

сопряженную

сеть.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как для средней

поверхности

при а = 0 имеем

dr

= «)f (b'e2

+ рег)

+ Ф*2 (be, + qe2),

(217)

то ее нормаль

параллельна вектору

tfllf

b

ех +

Рb-ег-ег.

(218)

Положим

d ~ =

+

1г«>\, d^

=

K J . U ) ?

+ rj 2 < u 3 .

(219)

Тогда

уравнение

(dr,

dN)

= 0 асимптотических

линий при­

мет

вид

где

L ( « n ? ) 2 +

2Af <o>2 +

=

0,

(220)

о

Ъ

(*21)

Сеть

линий

ь ,

и

ь

6 ' ( ш ? ) ' - 6 ( " > 2 ) 2 = 0,

(222)

соответствующих торсам

конгруэнции, сопряжена, если

Lb -

Nb' = 0.

(223)

В силу

(221) это

равенство

при ЬЬ' = 0 дает

* ! . - $ 2 +

- ? - А + 4 , £

= 0.

(224)

ренцирование

в (216),

используя

(219) и (21). Теорема до­

казана.

§

20. Конгруэнции

Гишара — Пето

Рассмотрим

теперь

конгруэнции

p =

q = 0,

(225)

конгруэнции,

именуемые обычно конгруэнциями

Гишара —

Пето, входят в класс нормальных конгруэнции

(см. § 10). Из

формул (197) —(202), определяющих

ортобазу, следует, что

конгруэнции

Гишара — Пето входят

и в класс

конгруэнции

Рибокура (при

К =

const).

Из формулы

(46)

следует, что конгруэнцию

Гишара — Пе­

I

=

(rfr)J

= 6 { K ) 2

+ (a)i)«} = (de3)2-b,

~(dr,

(226)

II

=

dN) = -2o)?«u?

Отсюда следует,

что

средняя

поверхность — минимальная

(т. е. конгруэнция

Гишара — Пето представляет собой конгру­

рической

индикатрисе.

Наконец, заметим, что так как средняя поверхность кон­

груэнции

Гишара — Пето

перпендикулярна лучам,

то

все

подмногообразия

имеют

нулевой

центральный

наклон

(я =

0), что также

характеризует

конгруэнцию

Гишара —

Пето

(см. последнюю из

формул (80). Внося (225)

в

(22)

при а =

0, получим, что произвол существования

конгруэнции

с — а = Ь + Ь'---0

(227)

и формулы (10) позволяют зафиксировать только

одну вто­

ричную форму

Sc = oa = rc3

= 0 .

(228)

Тогда формулы

(9)

дают

23

= р9-\

+ qQ?,,

(229)

db = qQ]

-рЩ.

Отсюда внешним дифференцированием

получаем

[dp-qQl

Q*] +

[dq + pQl

Щ] +

2b [9? 22]

= 0,

(230)

[dq + рЩ,Щ}

+

[-

dp + qQl

Щ]

= 0,

откуда

(231)

bp

q-к],

] .

uq =

— ръ

Последнюю фиксацию

репера

проведем

так*):

/, = 0,

к? =

0, q± 0.

(232)

Тогда

(-P =

ql2l

(233)

тать,

что

£2' = to',

" / = ш{. Деривационные

формулы

прини­

мают

вид:

dr

=

бшЦ ех

— Ьш* е-> + qu>% е3 ,

dex

=

(ясо3

+

ku>l) е> -4- со3 е3 ,

(234)

йег

- f Ы%) ех +

е3,

=

— ( A w f

со'з

de3

=

—

iof

ех — ш| е2.

Основная

система

дифференциальных

уравнений получится

из (22) при а = Ь-{-Ь'

= р — 0

в

виде

\dh,

« - И +

[ d £ ,

со3]

= - ( 1

+

А » +

Л 2 ) [ О ) 8 О > 3 ] ,

<7 [ d £ ,

со3] +

q [dh,

со3] =

8bh [со3

со3 ],

(235)

dfc

=

^ w ? ,

dq = — (46

-+- <?&) со3

~ f <7«со3

и определит

изотропную

конгруэнцию

с

произволом

в две

функции

одного

аргумента. Так

как

(dr,

e3U=Q

= 0,

(236)

х

= 0, р = 2Ь,

(237)

что означает, что все

подмногообразия имеют на

данном

луче общую горловую точку, совпадающую с началом

репера

лительных

регулюсов.

Вместо

формул

(36) и

(41)

получим

(ш3 )* +

(ш 3 ) 2 = 0,

(238)

Л . 2 = r±

ibe3,

т. е. торсы

и фокусы — мнимы.

*) Е с л и p

= q = 0,

т о в н е ш н е е д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е (229) д а с т 6 = 0 ,