Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 244 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

строк системы (Sp).	Мы строим регулярную	цепь. Поэтому
уравнения последней	строки системы	(которая	обес
печивает максимальный ранг системы (Sp+i))		не могут	иметь
ранг больше, чем соответствующие уравнения системы			(Sp).
В силу того, что уравнения последней строки системы			(Sp+\)

сравниваются (при определении ранга этой системы) с боль шим числом уравнений, чем уравнения последней строки

системы (Sp),	число		sp	может	еще уменьшиться	по сравне
нию с sp-u	Итак,	sp	<	sp-i.
§ 7.	Системы с выделенными переменными.
	Критерии Кэлера и Картана
В простейших		применениях			теории внешних	алгебраи

ческих уравнений к дифференциальной геометрии сущест венную роль играет следующая задача: для внешней ал

гебраической системы с ra-fr векторами х

и х 2

, х п , ги z2,...

гг

требуется

найти

цепь регулярных

решений,

принадлежащих

последовательно

подпространствам

Э CI Э С

• • • (Z Э,

имею-

щим

базисными

векторами

„выделенные

переменные"

хи

х2,

хп

или

их

линейные

комбинации.

Таким образом, векторы х{, х2,

хп

являются

неко

тором

смысле

заданными (они выделяют

пространстве

п + г

некоторое

подпространство

Э), а

векторы

г,, г2,

гт — ис-

комыми. Так как в последнем звене

цепи решений — в под

пространстве

Э — векторы хи

х2,

хп

должны остаться

не-

Zj=\/x.(i=\t

зависимыми, т. е. решение должно иметь

вид

п; 7 = 1,2,

г),

то

х,, х2,

хп

называют

также

„независимыми

(векторными)

переменными".

Внешняя алгебраическая система*), в которой проведено

указанное

разделение

переменных

и для

которой

ищется

цепь регулярных решений, принадлежащих подпространст

вам В CZ Э С		• • • С 9, называется системой с	выделенными
1	2	п

переменными.

Если система (S) допускает указанную цепь регулярных решений („регулярную цепь"), хотя бы при одном выборе базиса для выделенных переменных, то она называется „си стемой в инволюции". Имея в виду возможность замены ба зиса

xi = <4xJt

det || оЛ| О,

*) Саму систему выписывать не будем: она имеет вид системы (S) пре дыдущего § с очевидными изменениями обозначений.

будем

искать

регулярную

цепь в следующем

(по-видимому,

самом

простом,

но

не

единственно

возмож ном)

виде:

Л:

х3

О,

хп

0, zJ

= \jxi,

Р2:

х3

= 0,

хп

= 0, zj = Ц х{

+ Ху лг2>,

(20)

Я л _ ь

х л

= 0,

Zj =

Ху*, Н

-f X""1 лг„_1,

2у =

Ху х,.

Этот способ построения регулярной цепи решений системы

(S) называется способом

Кэлера,

а искомые

скаляры "к) —

коэффициентами

Кэлера.

Способ

Кэлера

требует

от нас последовательного

решения

п линейных

(вообще

говоря,

неоднородных

отличие от

предыдущего

§)

систем

в поле Q,

причем

р-й

системе

«предыдущие

коэффициенты

Кэлера»

(т. е. KJ,

q < р) следу

ет считать известными и удовлетворяющими предыдущим сис темам. На каждом р-м шаге имеет место одна из трех ситу аций: 1) р-я система не совместна*) ни при каких значениях предыдущих коэффициентов Кэлера, удовлетворяющих пре дыдущим системам; 2) р-я система имеет решение только при условии, что предыдущие коэффициенты Кэлера удовлетво ряют не только всем предыдущим системам, но и еще неко торым дополнительным уравнениям, возникающим из условий

совместности			р-й системы;		3)	р-я	система			совместна	при
произвольных			значениях	предыдущих				коэффициентов			Кэле
ра, удовлетворяющих предыдущим системам.
	В первом случае мы вообще не найдем решения, принад
лежащего		Э	и содержащего			предыдущее			решение (содер-
жащееся в		р			случае		найденное			решение	будет
		Э )• Во втором
		р—
особым, так как при других значениях коэффициентов											Кэле
ра,	не удовлетворяющих			дополнительным					уравнениям,		ранг
рр	повышается (см. предыдущий §). И							лишь		в третьем	слу

чае можно продолжать построение регулярной цепи. Отсюда

вытекает
Т е о р е м а	К э л е р а . Цепь	решений системы внешних
алгебраических	уравнений с	выделенными переменными,

построенная по способу Кэлера, является регулярной в том и только в том случае, если ни на одном шаге при решении оче редной системы линейных уравнений относительно коэффи циентов Кэлера Ху не возникает ни противоречий (т. е.

*) Напомним, что критерием совместности является равенство ранга мат рицы коэффициентов при неизвестных рангу расширенной матрицы, т. е. матрицы всех коэффициентов.

невозможных в поле	Q равенств),	ни	новых	соотношений
между предыдущими	коэффициентами		Кэлера	Xf, q <	р.
Если требуется лишь установить,		что построенная по спо
собу Кэлера цепь состоит из регулярных решений,					но не

требуется их вычислять, то вместо критерия, вытекающего из

теоремы Кэлера {«критерий	Кэлера»),	можно применять бо
лее простой «критерий Картана», к нахождению которого мы
и переходим.
Сохраним обозначения	предыдущего	параграфа для ран

гов матриц коэффициентов при неизвестных в системах, воз

никающих при последовательном							определении			коэффициентов
Кэлера: р,, р™а х ,...,				р™ах-	По-прежнему будем называть						харак
терами	числа
			s l	max		max			max	max
	5 0 = P l >			— P2	— P i ,		5 „ _ 1 =		Рл — prt - 1 .
Обозначим		sn	и назовем		л-м характером				число*)
			Sn = Г		So	Sx	•••	Sn—l,
и назовем		число
числом			Q = s, +2s2			+ 3s3	+ --- + nsn			^—^	(21)
	Картана.
Заметим, что число Картана							Q можно подсчитать				незави
симо от того,			существует			или нет		регулярная цепь			реше
ний, т. е. не заботясь о совместности								соответствующих			систем.

В случае же существования регулярной цепи ранги соответ

ствующих расширенных матриц будут равны					р т а х .
Определим число параметров, от которых будет зависеть
вся совокупность находимых по формулам					(20)	регулярных
решений системы (S). Если все системы				будут совместны, то
оно равно
г - ох + г -	Р Г Х Н	+ r — р™ах = nr — ns0		— 'yn—\)sl		—
{/г — (п—		\ )}sn-i	= n{r — 5 0 — st			s„_i) +
	+ st	+ 2s2	+ • • • + (я — 1) 5„ _ ь
т. е. числу	Картана.
Однако	общее решение, принадлежащее				Э,
			Zj=\jxt		л
			Zj=\jxt			(22)

можно найти и непосредственной подстановкой (22) в си стему (S) и последующим решением возникающей при этом системы уравнений (вообще говоря, полилинейных) относи тельно X/ в поле 2. Пусть наиболее общее решение этой

*) Тогда сумма всех п + 1 характеров равна числу г «искомых» пере менных z j .

3. Заказ 6667.

системы зависит от N параметров, т. е.	/V из коэффициен
тов X) могут быть взяты произвольно, а	остальные опреде

ляются из указанной системы. Если это же наиболее общее решение может быть получено при построении регулярной цепи (20) по способу Кэлера, то вычисленное при этом по • строении число Картана Q, равное числу коэффициентов Кэлера X), оставшихся нефиксированными, должно быть равно N, т. е. должно быть

vV= Q.

Если же общее решение достижимо по способу Кэлера толь ко нерегулярной цепью, то это означает, что по крайней мере на одном этапе (скажем, на р-м) придется наложить допол нительные соотношения на предыдущие коэффициенты Кэле ра (Xj , q<.p), которые при формальном (т. е. без учета этих соотношений) вычислении числа Картана Q по формуле (21) будут считаться произвольными. Таким образом, в этом случае получится

Q>N.

Отсюда следует Т е о р е м а К а р т а н а . Решение

Zj = >Ui

(22)

системы (S) внешних алгебраических уравнений с выделен ными переменными может быть получено построением регу лярной цепи по способу Кэлера только при

N=Q,	(23)
где TV—число коэффициентов ).}, остающихся	произволь

ными при нахождении решения путем непосредственной подстановки выражений (22) в систему (S), a Q = $,-}-2s2 +

Нnsn, где

— Pi-, s l

max

s 0

P'2

—

Pi ,

S n — 1 = ?n —

р л - 1 ,

= Г — S Q

Si •

• • • —

S n - 1

и p ™ax суть

ранги

линейных

систем,

возникающих

при пост

роении цепи решений по способу

Кэлера. Если же

N<cQ, то

решение

(22)

недостижимо

регулярной

цепью,

построенной

по способу

Кэлера.

Соотношение (23) и является критерием Каратана воз

можности

построения

регулярной

цепи

(20) решений

системы

(S) способом

Кэлера.

Если критерий Кэлера или Картана дает отрицательный

ответ, то это еще не значит, что

данная система

(S)

вообще

не имеет

регулярной

цепи

решений

по

выделенным

перемен-

ным, так как такую цепь можно искать не только способом Кэлера, но и более общим способом — так, как указано в предыдущем параграфе. Вместо этого можно предвари тельно сделать самую общую замену независимых пере менных:

x^a't'x'r,

det 1 af ||=^ 0

(24)

и, считая at произвольными элементами поля £2, произво дить построение способом Кэлера. Если и тогда, т. е. при произвольных а г , удовлетворяющих неравенству (24), кри терий Картана (или Кэлера) даст отрицательный ответ, то мы можем утверждать, что поставленная в начале параграфа задача не имеет решения, т. е. предложенная система с вы деленными переменными не является «системой в инволюции».

На практике вместо общей замены (24) достаточно иногда сделать какую-либо частную замену простого вида, чтобы избежать возникновения «дополнительных» соотношений на предыдущие коэффициенты Кэлера и найти регулярную цепь решений.

С другой стороны, в некоторых случаях доказательство неинволютивности системы можно провести, не производя общей замены базиса, а вычислив лишь один первый харак тер и найдя произвол N наиболее общего решения. Для этого достаточно придать одному (или нескольким, с учетом заме чания о невозрастании характеров для квадратичных систем

— см. § 6), следующему за найденным, характеру максималь ное значение, остальные принять равными нулю и вычислить

формальное значение Q. Если получится		Q>N,	то система —
не в инволюции, так как после замены		базиса и изменения
следующих за найденным характеров число Q может только
возрасти. Например, если	г = 5, п = 3,	S i =	3, то, положив
s2 = 2, s3 = 0, получим Q =	7, и если N < 7, то система — не
в инволюции.

§ 8. Стандартные квадратичные системы

Для применения к теории дифференциальных уравнений особенно важны квадратичные системы, т. е. системы с выде ленными переменными, линейные относительно векторов, при надлежащих пространству Л 2Е • К исследованию таких сис-

г + п

тем мы и переходим.

Рассмотрим простейший пример — систему

\ztx2\ = a [Х|Х2 ],

[z2xt] = $[x,x2],

(25)

где xit		х2	— выделенные			переменные,	а, р —некоторые			эле
менты		поля		2.		0 .
						0 .	2
	Полагая			по способу		Кэлера г,- = )7-дг, + Ху- х2 (j		=	1, 2), по
лучаем						о
						о
						X} = а,
						> I == — Э-				(26)
Критерий			Кэлера не удовлетворен, так как первое						уравне-
								с
ние	связывает				предыдущий коэффициент Кэлера			X}.		Мож
но	проверить				и критерий Картана. Так как ранг			последней
системы относительно неизвестных к]							равен 1, то		s, = 1 и
s2 = 2 — 1 =				1, а число		Картана Q — 3. В то же время, так

как в системе (26) имеется два соотношения на четыре

коэффициента XJ, то N ~ 4 — 2 = 2 < Q.
Однако достаточно	сделать		простую	замену базиса
	Xi	=	Х\,
	*2	— 1 + 2>
чтобы нарушение критериев			исчезло. В самом деле, в но
вом базисе система (25) принимает вид
faxl]	+ [zix'2]		=а[х'и	х'2],

[z2x[] = H * i х'2].

а система (26) — вид

X} -Ц = а,

Критерий	Кэлера — удовлетворен, так как нет							связей
о,
на Ху. Критерий Картана			также		удовлетворен, так как ^ = 2 ,
s2 = О и Q = 2 = N. Итак, система (25) — в инволюции,									т. е.
допускает построение регулярной цепи решений.
Система	(25) является			частным			случаем системы		вида
	[г\ хх\	+	[г\	х2]	=	at	[xtx9],
	[z\•*,]	+	[z \|	x2]	=	a2	[xtx2],	(25')

+ [ z | x2] = a 3 [ x , x 2 ] ,

где
zq = wq = Aqzj+Aqz2+A3qlzl+A3q2zl			q=l,2,
а векторы z\,	z \| , z\, z\	образуют базис подпространства E
			4
„неизвестных"	векторов	(в системе	(25) wq = О, а третье
36


уравнение отсутствует). Проведем исследование									на иволю-
тивность	для этой		системы.
Если	провести		общую		замену		базиса	по	формулам
	х, =	'>{xj,		det	il ^	\|\| ФО, i, J =		1, 2,
то система (25')		примет		вид
		[г},х,] +		[4х2]		=	1р[х1Х2],		(25")

Р= 1,2, 3,

где

4 = г'р

Предположим, что векторы z\, z\, z\ и z\ образуют базис подпространства Е. Положив по способу Кэлера

г J =

хл +

>.? хг,

г.'

к 1 х ,

Х 2 2

х,,..,

—

х{ -4-

Хз2 # 2 ,

Z j =

Хз' Xi

Х^л'г,

получим для

определения

коэффициентов

без

нуликов

си

стем у

-If = «и

« 2 ,

- г

Критерий

Кэлера

удовлетворен

(характеры

суть

s, =

s2 -- 4 — 3 = 1).

Можно

ли утверждать, что всегда сущест

вует

такая

замена

базиса xh

чтобы

после

нее

все

небазис

ные

векторы

оказались

во

втором

столбце системы (25"),

т. е. чтобы векторы г] можно было включить в базис (век

торы	2з включаются			в силу		det\|\|i{\|\| Ф 0)?		Имеем в подроб
ной	записи
	г\	=(А\г>	+	А*г1	+	А3пг1 + А ? 2 г ? ) * 1			+ z ? ' ^ ,
	*\	= Щ г\	- f	А\z\	+	А321 г\ +	A^zl)	П	+
или
		г{	=	а{г5+	<!>{ (Л?!z\		+ Л ? 2 г \| ) ,
				1

где у >- /.' и			2				'		. . .
где у >- /.' и
				i
				s, k =	1, 2,	s Ф i.
Следовательно, z\				и z\	могут быть включены				в	базис
только	при	условии
			det\|\|ai		=£0,	/Фк,
т. е., подробнее, при				i
т. е., подробнее, при
Отсюда	видно,		что	при А \ — Л \| =			1 — А \ А \ = 0		искомая
замена	базиса		невозможна.			1			i	,
Обобщая		эти рассуждения,				мы приходим к		следующим
определению		и	теореме.
О п р е д е л е н и е				1. Стандартной			системой	с двумя вы

деленными переменными называется квадратичная система вида

(р)( Р )

\%хя] =а1р[х1х2],

q=\,2;

/7 = 1,2,3; у = 1, 2,

(27)

(Р)

где векторы г т , р Ф q образуют базис пространства £ неиз-

вестных	векторов	г,, г2 ,		гл, а остальные			выражаются	че
рез них линейно:
		( ? )„	(7)	3	(?) '	(р)
		zi	= w.	= у	АР.	zi-,
			* = 1 , 2 ;				(28)
Здесь и далее		индексы		-fp, Т?> Тр> Т<? и			т - п - означают
номера	уравнений	и пробегают			значения		чр, ^р — 1, 2,	хр ,
7? , 7? =	1,2, ... xq.	Очевидно, что
		*, +		+ 2т3	= г.		(29)

Если р-я группа уравнений (т. е. уравнения с номерами чр ) отсутствует, то, естественно, считается, что т = 0. В более подробной записи система (27) выглядит следующим образом:

<1)	о),	(п
[тъхг}	+ [гьх2}	= aTl [ * , * , ] ,
(2).	(2)	(2)
[zbxx]	+ [wbx2]	= a-, [ххх2],	(2'7)

(3)(3) (3)

Индексы в круглых скобках наверху позволяют разли чать векторы и скаляры с одним и тем же номером ^ из

разных

уравнений. Например,

векторы

(2)

(3)

различны:

г\

и z\

первый

входит

во

второе

уравнение

второй

строки,

вто

рой — во

второе

уравнение

третьей

строки.

Т е о р е м а

Стандартная

система

(27) — в

инволюции,

если существуют

такие

элементы поля й

ф{

<Ъ\,

для

ко

торых

выполняется

неравенство

detifpI'||=H=0,

(30)

где

(<?У

(?)•/

т '

t,q,s

\,2;

(31)

Зд —известный

символ

Кронеккера. Ее

характеры

этом

случае

равны

t , + х

2 + х з

( т . е . числу всех уравнений

системы),

s3 =

х3

(т. е. числу

уравнений с двумя

базисными

( 3 , »

векторами

z y .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Произведем

замену

базиса

det 1 ^||=^0 ;

?,/

!, 2.

(32)

Система

(27)

примет

вид

/12

]

\г

а, [л:1

( 3 3 )

где

(34)

частности,

при

р — i = 1, 2;

<7 =

1 имеем

(7)

№ T ' ( « v

( о / С ) /

л»)

(3)

<• = К; г < ; + р 7 ; ч + й АЪ° z

i t

Ф i>

( 3 5 )

при

/7 = 3

(3)(3),

*У.= # 4

(36)

В силу (30) и (32) векторы (35) и (36) образуют базис про-

странства	Е, а остальные,			т. е.		(О	являются			их линейны-
странства	Е, а остальные,			т. е.		z2.	являются			их линейны-
	z					'«
ми комбинациями (или нулями).
Доказательство завершается построением решения сис
темы (33)	по методу		Кэлера.		На		первом		этапе	ищется	од
номерное	решение
	(3р _ v « Г Г ( * ' _ х п						/	/ -	1 9
	2 7 з — Л 7 з Л Ь		Z T	( —	f^ii	Х\,	I , J — 1 , Z ,
в котором коэффициенты Ц], Ц1						остаются			произвольными.
Координаты же Х7!		векторов
			( , ) 2		,21	*
			Z-i. =		Л-,. ^Ci
являются	линейными		комбинациями					коэффициентов Щ,			l]]
На втором этапе		ищем		решение
		2 7 з —	Чз XJ> 2 7 г				4i XJ-

Подстановка этих соотношений в (33) дает систему т3--j-^i-f-~v уравнений для определения Х^, Х}2:

2 -.21 (3),

ЪЯ 1 з '

> 1 2 _ \ 2

'"ll

— \

а 7,->

которые,

очевидно,

удовлетворяют критерию Кэлера. Пер

вый характер равен числу этих уравнений: s,

— t 3

^2 +

^ I -

Тогда второй в силу (29) равен s2

— s,

т3 .

Теорема

доказана.

Известны

два

довольно

сильных

результата

и для слу

чая

переменных.

Стандартной

системой

первого

О п р е д е л е н и е

рода

с выделенными

переменными

называется

систе

ма,

состоящая

из внешних

квадратичных

уравнений

вида

которые

можно

разбить

на

подсистем

(S,),

(S2),

•••

(Sn)

следующим

образом:

в каждом уравнении

каждой

под

системы

(Sk)

будет

иметься

векторов

z',

которые

{все

вместе, т. е. взятые

из

всех

уравнений

всех

подсистем)

вместе

с векторами

хи

х„

образуют

базис

простран

ства

ЕПЛТ,

каждый

из остальных

векторов

является

линейной

комбинацией

базисных

векторов,

входящих

то

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 244 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ