книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

нуль или в константы. Полученный в результате фиксации всех вторичных параметров подвижной репер геометрически

ными функциями, при помощи которых задаются не вошед­ шие в репер векторы, определяющие элемент образа, образу­

при помощи этих формул мы можем найти сам геометриче­ ский образ, т. е. получить его конечные уравнения или путем интегрирования или в виде рядов Тэйлора для всех векторов канонического репера относительно неподвижной системы координат (начального канонического репера). Те из рядов, которые дают выражения для векторов, определяющих эле­

формулы (8) представляют собой систему уравнений Пфаф­ фа, и для того, чтобы они определяли геометрический образ, т. е. имели р-мерное решение (ибо элемент образа определя­ ется репером, а в простых случаях просто составляет его часть), необходимо, в силу обобщенной теоремы Фробениуса, потребовать их вполнеинтегрируемость, т. е. выполнение уравнений структуры (13). Эти условия образуют квадра­

•система, представляющая собою условия вполнеинтегрируе-

тат.

О с н о в н а я т е о р е м а т е о р и и п о д в и ж н о г о р е п е ­

9!

Этот вывод в применении к пространству с любой фунда­ ментальной группой является основным теоретическим бази­

о произволе существования геометрического образа, что дает

го образа сводится, очевидно, к соотношениям между инва­ риантами полной системы, и каждое из них, если оно совмест­ но с основными дифференциальными уравнениями, выделяет некоторый частный класс геометрических образов Ф,,. Поэто­

образа, который получится в результате интегрирования де­ ривационных формул канонического репера.

Описанный аналитический алгоритм канонизации репера дает возможность провести классификацию рассматриваемых геометрических образов по их натуральным уравнениям: приравнивая нулю отдельные инварианты или их простые ком­ бинации, затем совокупности инвариантов (каждый раз прове­ ряя описанным в гл. 2 способом совместность наложенных условий с основной системой дифференциальных уравнений), мы получим важнейшие классы.

Для того, чтобы выяснить геометрическую сущность этой классификации, необходимо прежде всего найти геометри­ ческое значение всех векторов репера, а затем геометрическое значение всех инвариантов полной системы.

Выяснение геометрического значения векторов и инвари­ антов и представляет собой самую интересную часть исследо­ вания геометрического образа. Именно здесь проявляется ге­ ометрическое видение исследователя, здесь геометрический анализ выступает на первое место, а проведенное предвари­ тельно алгоритмизированное (до известной степени, конечно, так как аналитически канонизация не представляет собой однозначно определенного процесса) построение каноническо­ го репера лишь значительно облегчает работу геометра, осво-

92

бождая его от громоздких выкладок в общих координатах и от еще более трудных поисков самих инвариантов.

К сожалению, мщюгие считают исследование законченным уже в момент окончания канонизации репера, определения произвола существования и подсчета числа инвариантов, об­ разующих полную систему. Именно в этом кроется причина того обстоятельства, что некоторым ученым локальная диф­ ференциальная геометрия представляется уже завершенной дисциплиной, в которой все алгоритмизировано — так же как в элементарном курсе аналитической геометрии.

Но настоящий геометр всегда должен рассматривать лю­ бой новый алгоритм лишь как аппарат, помогающий продви­ нуть исследование геометрических образов вглубь, а глубина эта — неисчерпаема, так же как неисчерпаема возможность дальнейшего углубления исследования любого, реально суще­ ствующего объекта.

Что касается способов нахождения обсуждаемых геомет­ рических значений, то здесь тоже можно указать ряд стан­

точности) геометрических образов, исследование ассоцииро­ ванных образов, элементами которых являются части репера, не входящие в элемент, и т. д. Однако с этими приемами луч­ ше знакомиться на конкретных примерах, некоторое количест­ во которых содержится во второй части этой книжки.

Описанный в этом параграфе процесс дифференциальногеометрического исследования геометрических образов и на­ зывается обычно методом подвижного репера.

В заключение отметим, что в некоторых случаях — для особенно простых геометрических образов (например, для прямой или плоскости, как геометрического образа, элемен­ том которого является точка) — описанный процесс канони­

тождества. Это имеет место тогда, когда существует нееди­ ничная подгруппа фундаментальной группы пространства, ос­

93

Поэтому одну из них можно принять за дифференциал не­ зависимого переменного

записав деривационные формулы в виде

где все -4 — или константы, или инварианты.

Инвариантами являются и ds* и сам „инвариантный па­ раметр" s*. Их геометрическое значение обычно нетрудно выяснить. Мы покажем, как проходит канонизация репе­ ра для Ф, в первой главе второй части книги на примере регулюса.

§ 4. О неголономной геометрии

Описанный выше метод исследо!ва|ния геометрического об­ раза при помощи канонического репера и его инвариантов дает достаточно полную характеристику общего строения об-

какое большое значение в классической теории поверхностей

ставляет собой некоторую модификацию картановского алго­ ритма, позволяющую сосредоточить внимание именно на под­ многообразиях геометрического образа. Существенной особен­

94

в аффинном трехмерном пространстве может быть задана, вообще говоря, некоторым уравнением

неподвижной системы координат. Ту же поверхность можно

точки зрения несущественно отличаются друг от друга. Заме­ тим, что форма Пфаффа, стоящая в левой части уравнения, не является самой общей формой, ибо ее внешний дифферен­

не вполне интегрируемо. Следовательно, оно не допускает решения вида (36) и не определяет никакой поверхности.

Тем не менее ряд дифференциально геометрических пост­ роений, типичных для теории поверхностей, можно ассоции­ ровать и с уравнением (37). Именно для него всегда сущест­ вует бесчисленное множество решений вида

(интегральные кривые).

95-

можно определить для неголономной поверхности точно так же, как для голономной. Некоторые же определения видоиз­ меняются, другие вообще теряют смысл (например, понятие эволюты, т. е. поверхности, касающейся всех нормалей данной поверхности). Тем не менее возникает нетривиальная гео­ метрическая теория, которая систематически развивается с 1926 г. (в СССР ее разработку начал в это время Д. М. Син­ цов) .

Повысив размерность пространства, можно рассматривать неголономную геометрию, порождаемую не вполне интегриру­ емой системой уравнений Пфаффа. Естественно, что можно строить неголономную геометрию и в пространствах более сложных, чем аффинное. В частности, можно рассматривать четырехмерное пространство всех прямых евклидова прост­ ранства (или, общее, ( m - f 1)(д — т)-мерное пространство всех m-плоскостей «-мерного проективного пространства).

Всякий раз мы будем иметь некоторое ^-мерное неинтегралыное распределение в некотором пространстве X N , кото­ рому соответствуют, с одной стороны, совокупность геометри­ ческих образов Ф ь соответствующих одномерным решениям системы Пфаффа, а с другой стороны, некоторый голономный образ Фл', элементом которого можно считать точку прост­ ранства ХАГ , дополнительно оснащенную при помощи этого распределения. Однако в пространстве достаточно сложной структуры не всегда легко определить, что же представляет собой это оснащение геометрически.

мощи распределения, соответствующего данной системе Пфаффа.

Следует заметить, что для наших целей первое понятие важнее, так как элемент образа ON определяется неод­

т. е. Ф3 , элементом которого является точка с единичным вектором, перпендикулярным ассоциированной плоскости («поле направлений»).

относительно первичных параметров. Если эта система впол­

«геометрический образ» в известном смысле идентичен тер­

Мы ставим теперь задачу провести частичную фиксацию репера геометрического образа так, чтобы он (репер) имел одно и то же строение для любого неголономного подмногообразия Т т . Это можно сделать следующим образом. После включения элемента в репер надо выделить некоторое число т.' вторич­ ных параметров и оставить их нефиксированными в течение

08

параметров, которые мы будем считать неизвестными функци­ ями от первичных параметров, можно было выделить любое

т. е. при помощи т(р—т) существенных функций Аьа .По­ этому и число т' вторичных параметров должно быть равно т(р—т). Это значит, что в продолжении всего процесса ка­ нонизации репера надо оставить нефиксированными т'— т(р—т) вторичных форм.

Естественно стремиться выбрать в качестве полувторич­ ных форм те, которые «управляют» точками или векторами репера, наиболее тесно геометрически связанными с элемен­ том репера при смещении его по подмногообразию, т. е., например, определяющими касательные к геометрическим местам точек элемента или фокальные точки прямых эле­ мента или, наконец, характеристики плоскостей элемента и т. д. Аналитически это означает, что полувторичные формы следует выбирать прежде всего из тех форм п[, которые

Наиболее удобным будет такой полуканонический репер, который строится одинаково для всех подмногообразий. По­ этому в процессе канонизации репера из уравнений вида (24) нужно, если возможно, составлять такие комбинации, в кото­ рые полувторичные формы входят «несущественно». Именно, из соотношений вида (24)!.

где tf' — полувторичные, a id' — неполувторичные формы, составляют комбинации вида

Sep, (A'i) = F-,r ъГ + thr rJ",

где

Py = PV' ? v ,

и производятся такие фиксации, при которых именно

?х(4Е) = 0.

После того как фиксация всех неполувторичных форм за­ вершена, рассматривают оставшиеся вторичные параметры как произвольные функции первичных параметров и пола­ гают Q'a = со». После этого так же, как и при построении канонического репера, выбирают р первичных форм щ за независимые, полагают

и вносят эти соотношения в уравнения структуры. Полу чается основная система дифференциальных уравнений гео метрического образа Фр, отнесенного к неголономному под­ многообразию xYm. Произвол решений этой системы будет на т' функций р аргументов больше, чем произвол сущест­ вования геометрического образа Фр.

где б — символ дифференцирования по полувторичным па­ раметрам, являются инвариантами и самого геометрического образа. Можно все инварианты геометрического образа вы­ разить через инварианты полуканонического репера путем

можно получить так называемые вычислительные формулы, в которых инварианты подмногообразия Wi выражаются через инварианты канонического (или какого-нибудь другого) репера и дифференциалы первичных параметров (см., напри­ мер, формулы § 7, гл. 2, вторая часть).

100