книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

лексах определенного класса. Они показывают, в частности, что все неголономные конгруэнции, отмеченные в предыдущем параграфе, существуют в произвольном, комплексе. Более то­ го, присоединение к любому из рассмотренных в § 7 нату­ ральных уравнений условия голономности (136) также не приводит к соотношениям, содержащим только инварианты комплекса. Следовательно, в произвольном комплексе имеют­ ся и голономные конгруэнции всех отмеченных в § 7 классов.

§ 9. Сопряженные подмногообразия

Вернемся к диаграмме Циндлера (см. § 5), на которой регулюсы и неголономные конгруэнции, проходящие через луч комплекса, изображались точками и прямыми проектив­ ной плоскости. Мы отметили две инвариантные кривые вто­ рого порядка: кривую (76), точкам которой соответствуют торсы, и кривую (79), точкам которой соответствуют цент­ рально соприкасающиеся регулюсы. Следует ожидать, что полярная сопряженность относительно этих кривых должна определять некоторую сопряженность между подмногообразия­ ми xVi и X F2 комплекса, которая, по-видимому, может быть геометрически истолкована в рамках теории комплексов.

ме точки полярно сопряжены относительно кривой второго порядка

точки которой соответствуют торсам комплекса. Условие со­

Выясним, как связаны между собой два сопряженных регулю­ са в комплексе. Прежде всего покажем, что здесь имеет место такое же свойство, какое было установлено в § 8, гл. 2 для сопряженных регулюсов в конгруэнции: поляритет, опреде-

*) И н о г д а их н а з ы в а ю т и н в о л ю т и в н о с о п р я ж е н н ы м и [ 1 1 ] .

20?

ляемый на луче совпадением касательных плоскостей двух сопряженных регулюсов, проходящих через луч, является инволюцией. В самом деле, если точки

M = r+ te:i и М* = г \-te-i соответствуют в таком поляритете, то векторы

должны быть параллельны, т. е. должно быть

Это соотношение должно оставаться неизменным при замене t^~*t, «>•<-—ш, если поляритет является инволюцией. Но это воз­

двух сопряженных регулюсов. В терминах канонического

репера величины /; и г; должны удовлетворять соотноше­ ниям вида (41'). Следовательно,

и только при условии (169) мы имеем

Q = - 1.

Следовательно, сопряженность двух регулюсов комплекса, проходящих через данный луч, характеризуется гармониче­ ской сопряженностью их точек прикосновения.

204

Совокупность регулюеов комплекса, сопряженных с неко­ торым фиксированным регулюсом, образует неголономную конгруэнцию, так как поляра точки относительно кривой вто­ рого порядка на нашей диаграмме есть прямая линия. Урав­ нение этой неголономной конгруэнции мы получим если в (158), (159) или (160) будет считать заданным отношение форм

Эту неголономную конгруэнцию мы будем называть со­ пряженной с регулюсом (165). Например, «координатные» регулюсы (в каноническом репере) (81) и координатные неголономные конгруэнции (82), (83), (84) образуют такие сопряженные пары. Каждому торсу сопряжена содержащая его параболическая конгруэнция (на диаграмме ей соответ­ ствует касательная к кривой (78) в точке, соответствующей торсу). Все торсы суть самосопряженные регулюсы.

Неголономной конгруэнции (124), к которой мы относим полуканонический репер, в силу (159) будет сопряжен регу­ люс

а ее торсам (125) сопряжены неголономные конгруэнции, имеющие в терминах полуканонического репера уравнения

С2 + ъ) °>1 - Ъ «4 - Сз о»!} К - Ц ) = 0 (167)

Соотношение сопряженности регулюса и неголономной конгруэнции можно характеризовать и еще одним важным свойством: точки прикосновения регулюса совпадают с фоку­ сами сопряженной с ним неголономной конгруэнции.

В самом деле, найдем точки соприкосновения регулюса (166). Для них должно быть (см. § 3)

с

кривизна комплекса т)2 отлична от нуля, мы получаем совпа­ дение точек прикосновения с фокусами (126).

Заметим, что эта характеристика сопряженности носит проективно-инвариантный характер. Ее можно сформулиро­ вать и так: фокусы неголономной непараболической конгру­ энции образуют гармоническую четверку с точками прикос­ новения любого принадлежащего ей регулюса.

*) В п р е д п о л о ж е н и и С2 =£ 0, т. е. н е г о л о н о м н а я к о н г р у э н ц и я п р е д п о л а ­ г а е т с я н е п а р а б о л и ч е с к о й .

Кроме формы Oi = (о1со2з — си^со'з, мы имеем еще одну от­ носительно инвариантную квадратичную форму Ф 2 — левую часть уравнения (72), определяющего асимптотические регу­ люсы (см. § 4). На диаграмме Циндлера этим регулюсам так­ же будет соответствовать кривая второго порядка, а потому имеет смысл рассматривать сопряженность регулюсов и отно­ сительно этой квадратичной формы.

Будем называть эту сопряженность вторичной (Н. И. Кованцов [11] назвал ее просто сопряженностью, что в нашем изложении неудобно). Для выяснения ее геометрического значения проведем несложное построение в каноническом репере. На луче регулюса (18) возьмем точку

М = г 4- tes.

Рассмотрим линию, которая в этой точке перпендикулярна лучу. Уравнение последней имеет ЕИД (dM, е3) — 0 или

Плоскость, соответствующая М в нормальной корреляции (22), огибает вдоль нашего регулюса торс, образующая / ко­ торого (соответствующая рассматриваемому лучу) имеет на­ правление

т. е. для которых образующая / перпендикулярна лучу, на­ зываются точками симметрии. Для их определения, разверты­ вая (170), получаем уравнение

Вычислим сложное отношение определяемых этим уравне

Сравнивая (172) с (72), получаем, что вторичная сопря­ женность двух регулюсов комплекса характеризуется гармо­

со1 : со'з : ю2з, мы получим уравнение неголономной конгруэн­ ции, вторично сопряженной с этим регулюсом.

§ 10. Главные неголономные конгруэнции и главные

регулюсы. Главные линейные комплексы

Наличие сопряженности относительно двух квадратичных форм естественно вызывает вопрос о двояко-сопряженных подмногообразиях.

Очевидно, что для каждого регулюса, принадлежащего комплексу и проходящего через данный луч, можно найти единственную точку на диаграмме Циндлера, которой будут соответствовать регулюсы, двояко-сопряженные данному: де­ ло сводится к определению точки пересечения двух прямых — поляр данной точки относительно двух кривых второго поряд­ ка, соответствующих квадратичным формам Ф] и Фг.

Гораздо интереснее задача об отыскании троек точек, со­ ответствующих попарно двояко-сопряженным регулюсам. Ал­ гебраически эта задача эквивалентна задаче об отыскании главных направлений поверхности второго порядка (эти нап­ равления, как известно, можно определить как одновременно сопряженные и ортогональные, а условия ортогональности и сопряженности получаются приравниванием нулю двух били­ нейных форм). Поэтому естественно, что регулюсы, входящие в тройку попарно двояко-сопряженных, назвали главными регулюсами. Неголономная конгруэнция, состоящая из регулю­ сов, сопряженных главному регулюсу, называется главной не­ голономной конгруэнцией комплекса.

Геометрически главные регулюсы характеризуются преж­

Мы. должны найти по крайней мере три точки, удовлетво­ ряющие системе: .

207

Для существования нетривиальных решений этой системы необходимо и достаточно, чтобы

Соприкасающийся линейный комплекс главного регулюса называется главным линейным комплексом. Для нахождения последнего надо в уравнение (71), которое запишется те­ перь в виде

Поэтому, если мы хотим сразу найти главные линейные комплексы, надо лишь записать характеристическое уравне­ ние в виде

д л е р а , к о т о р ы м с о о т в е т с т в у ю т т р о й к и г л а в н ы х р е г у л ю с о в .

208

остальные W равны нулю, а значения а1'1 даны в (80). Поэ­ тому характеристическое уравнение принимает вид

Если же эта линия - линия прикосновения, то nt\t\2ex + te2. Тогда условие(185) принимает вид (мы работаем в терминах канонического репера)

или

(ij2a>J + t(ol) (ij2u>» - to3) + (Ы1 + со1) (drt, - Ы\) = 0. (186)

Если учесть, что для линий прикосновения в силу (4Г)

TJ, (Ы\ + со1) = t{vu\t +

то для совпадения (186)с уравнением линий прикосновения достаточно потребовать совпадения уравнения

7 j 2 (7J2 C02 — CD3 ) -f-1 (Ы\ — drj2) = 0

с уравнением (4Г) . Это дает

Если теперь записать (175) с использованием (73), (80), (183), (16) и (17), то получится (187), что доказывает наше утверждение.

Отметим еще одно свойство главных регулюсов. Они яв­ ляются решениями задачи об экстремуме отношения основных форм Фг и Ф]

(Эту величину называют иногда нормальной кривизной регу­ люса комплекса). В самом деле, записав (188) в виде:

Характеристическое уравнение (182) является, как изве­ стно, условием распадения квадратичной формы Ф 2 + АФ1 на линейные множители:

**) См . § 15, гл. 2.

210

асимптотических линий для двух фокальных неголономных поверхностей конгруэнции со1 = 0:

U = ->23

Таким образом, условие соответствия асимптотических име­ ет вид

(в случае £г = 0 задача теряет смысл, так как неголономная конгруэнция ш1 = 0 становится параболической, т. е. имеет лишь одну фокальную неголономную поверхность), что равно­ сильно двум соотношениям:

оправдывают свое название: асимптотические на неголоном­ ных фокальных поверхностях соответствуют.

Однако неголономные конгруэнции W обладают еще ря­

(<?3, de3, ci*e3)-1= xa = o = 0.

212