Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

*r = - {?'e'):\e"\\

(40)

Поэтому горловая точка может быть найдена по формуле

г = р + хге.

(41)

Вычисление инвариантов р и b не представляет труда. Фор мулы (24) дают

_	/	\ _	/' dr	е	de3
	\ds '	2/	'	3'	ds
					(42)
	ds	'J	\ ds2		ds

Отсюда, пользуясь (39) и (41), получаем

p=W, е, e'):\e'\*

b = (e", e',e):\e'\3

Для инварианта а имеем

= (	d	r ' e ' * e	) ,	(43)
		\de\2
= {	d	4 ' d e ' e	) .	(44)

a ~ - • ( ! • * • ) •			( 4 5 )
Поэтому		:\e'\
a	= - (/•', e8 )	:\e'\
и окончательно	Kp', eB) +	x'r}:\e'\.
fl = -	Kp', eB) +	x'r}:\e'\.	(46)

Мы получили вычислительные формулы для всех основных инвариантов регулюса. Что же касается стрикции гр, то она может быть вычислена при помощи формулы (37):

Xgif=p:a. (47)

§4. Основные классы регулюсов.

Натуральные уравнения

Перейдем к рассмотрению основных классов регулюсов, характеризующихся простейшими соотношениями между ин вариантами. Естественно начать с «^нуль-классов».

1. Регулюсы р=0 (торсы). Из (24) сразу видно, что в этом

случае — \\е3 . Следовательно, лучи являются касательными ds

к горловой линии. Поэтому регулюс р = 0 можно рассматри вать как совокупность касательных прямых к некоторой ли-

8. Заказ 6667.

И З

нии. Нетрудно показать, что в качестве горловой линии регулюса р = О может выступать любая пространственная кри вая. В самом деле, при а ф О можно положить:

(48)

ads = da, — = k, ——•/..

аа

Тогда формулы (24) примут вид
	dr	dmx	,	....
	~=т„	—-±=km2,		(49)
	da	da
dm 2	,	,	dm*.	— *tn2,
—-	= — km,	-f-%тг,	— - =	— *tn2,
da			da

т. е. совпадут с известными формулами Френе — дериваци онными формулами канонического репера произвольной про


странственной кривой.			Отсюда и		вытекают		геометрические
характеристики		векторов и инвариантов регулюса в							случае
р = 0. Заметим,		что у «ас исключен случай k = 0, но в этом
случае кривая вырождается в прямую						линию. Итак, регулюс
р = 0	(торс) образован		касательными к произвольной						прост
ранственной кривой. Из формулы (33')						видно, что для			торсов
касательная плоскость			вдоль	луча	не	меняется и		совпадает
с плоскостью (/?—г, тг) = 0,				т. е. с соприкасающейся					плос
костью	горловой	линии. Поэтому			торс	является		огибающей
однопараметрического			семейства		плоскостей.		Из	основного

курса дифференциальной геометрии известно, что всякий торс допускает локальное изгибание на плоскость. Впрочем, это непосредственно следует из того, что первая основная квад

ратичная	форма	торса, вычисленная при			помощи	формул
(49), не содержит		кручения/.:
/ = \| dR \| 2	= \| d (г + Xmj) 12 =		I тг	da + d\mx	+ lkm,da	\| 2 =
		= (da + d\)2	+	2k\4a\

что означает, что любой торс наложим на совокупность каса тельных к плоской кривой х = 0 . Свойство наложимости на плоскость объясняет старое (и неудобное) название торса — «раз!вертывающаяся поверхность». Заметим, что точки горло вой линии для торса являются особыми: вектор нормали з них не определен, так как (см. (33))

dR	dR	= 0.
дх	ds
		х = 0

Точки горловой линии торса называются точками возврата

114

или фокусами соответствующих лучей, а сама горловая ли ния — ребром возврата торса.

2. Регулюсы р = а = 0 — частный случай торсов, являют

ся конусами,	так как для них dr = 0,	т. е. горловая	линия
регулюса вырождается в точку — вершину конуса.
3. Регулюс	а = 0, р Ф 0 называется	бинормальным,	так

как представляет собой совокупность бинормалей некоторой

пространственной кривой.				Действительно,	при р Ф 0, а = О
можно положить
е2 = т и	ех — — т2,		е3 = т3,	— pds = da,	b-.p — k,	1:р = х
Формулы	(24)	примут вид		(49), откуда и следует		наше ут
верждение.			называется цилиндроидом и характери
4. Регулюс		6 = 0

зуется тем, что все лучи его параллельны одной и той же пло скости

(R,e2)=0,	(50)
так как de2 = 0. Эту плоскость называют направляющей	плос

костью цилиндроида. Сферическая индикатриса цилиндроида представляет собой окружность, расположенную в плоскости (50). Все асимптотические плоскости параллельны направ ляющей плоскости. Нетрудно видеть, что при р = Ь—0 регу

люс	вырождается в плоскость, так как в силу формул		(48) и
(49) горловая линия становится плоской.
Заметим, что Фавар в [20] называет регулюсы b =			0 коно
идами, что не соответствует		общепринятому значению	послед
него	термина.
5.	Регулюс а — b = 0.	У него dr \\ е2 = const. Следова

тельно, горловая линия есть прямая линия, перпендикуляр

ная	всем образующим. Такие регулюсы называются					прямы
ми	коноидами	(о термине		„коноид"	см. конец § 5). Так
как	для них из (24) следует, что
	ds2	=	— е и ds2	= — е3,	е-, = const,	'(51)
то	можно положить*)
е3 = / cos s + j sin s,			ex = — / sin s + j cos s, e2 — k,			(52)

где i, j , k — орты неподвижной декартовой системы коор динат. Полагая еще

§pds = P(s),	(53)
о

получаем следующие конечные уравнения самого общего пря мого коноида:

*) П о д р о б н о е д о к а з а т е л ь с т в о ф о р м у л (52) см. н и ж е в § 5.

8*.

115

R	= P{s)k+		h(i cos s+jsins),			(54)
где P — произвольная		функция.
6. Регулюс a = b = 0,			/? = const		называется	прямым ге
ликоидом (о термине		«геликоид»		см. конец §		5). В этом
случае
P(s) —р (s ~ s0), sQ				= const,		(55)
и (54) принимает	вид (после сдвига по оси г)
R	= psk	+	>. (/cos s	j	sin s).	(56)

Регулюс образован посредством вращения прямой вокруг перпендикулярной к ней оси с одновременным смещением ее вдоль оси на расстояние, пропорциональное углу поворота. Величина р показывает, на какое расстояние смещается эта прямая при повороте луча на единицу угла. Величина же 2пр есть так называемый «шаг», т. е. расстояние, на которое поднимается образующая после полного оборота вокруг оси z.

7. Регулюс b = const характеризуется тем, что его лучи образуют постоянный угол с постоянным вектором.

В самом деле, в силу (24)

		f L ( e s	+ *es ) = 0,			(57)
		as
и для постоянного		вектора	т = е2	-f- be3,	получается
		л	r —Ь
	cos(meo)=		r —Ь	. = const.		(58)
Сферическая индикатриса			в этом	случае	представляет со
бой окружность, так как ее кривизна k выразится так:
k	d2e3	des	y \ + b 2 ^		const.	(59)
k	ds*		y \ + b 2 ^		const.	(59)
	ds*	ds
Заметим еще, что первая ось репера, т. е. прямая
		/? = /• + \ех				(60)

описывает вдоль такого регулюса цилиндроид с направляю

щей плоскостью			(61)
( Я , т ) = 0.
В литературе регулюсы fr = const	часто называют		поверхно
стями откоса.
Мы ограничимся описанием отмеченных классов. Всякое
соотношение, связывающее между	собой инварианты		р, а, Ь,
s, а также производные от р, a, b	по s, можно	рассматривать
как натуральное уравнение класса	регулюсов	(см. ч. 1, гл. 3,
§ 2). Задав две из трех функций р, a, b произвольно,			мы мо-

116

жем найти третью из этого уравнения. Следовательно, класс регулюсов, заданных одним натуральным уравнением, зави сит еще от двух функций одното аргумента. Задание двух натуральных уравнений определяет класс регулюсов с произ волом одной функции одного аргумента. Конкретный же регулюс задается, вообще говоря, тремя (независимыми) на туральными уравнениями:

р = p(s),		а =	c(s), b = b(s).
Из большого	числа	задач	метрической	теории регулюсов
мы остановимся	подробно только на двух:			на задаче о на

хождении всех регулюсов с постоянными инвариантами и на задаче о паре регулюсов с неизменной связью реперов.

§ 5. Регулюсы с постоянными метрическими

инвариантами

Геометрические образы, допускающие нетривиальную груп пу преобразований в себя, представляют собой один из важ ных объектов исследований в дифференциальной геометрии. В метрической геометрии кривых таковыми являются окруж ности и винтовые линии, (в общей теории поверхностей — по верхности вращения и винтовые поверхности.

В случае однопараметрического геометрического образа задача об отыскании всех образов, допускающих преобразо вание в себя, решается просто: речь может идти лишь об однопараметрической группе таких преобразований, и достаточ но потребовать, чтобы локальные уравнения образа относи тельно репера не изменялись при изменении инвариантного

параметра. Эти локальные уравнения можно				представлять се
бе	в виде	канонического	представления, т. е.		разложения
функций,		определяющих	элемент (в нашем	случае — г (s)
и е3	(s) в ряд Тэйлора (см. ч. I , гл. 3, § 2).			Так	как коэф

фициенты этого ряда будут зависеть только от коэффициентов деривационных формул и их производных (в нашем случае

— от р,	а, Ь),	то достаточно потребовать, чтобы эти коэффи
циенты, т. е. инварианты образа, были постоянны.
Итак, мы имеем			задачу: найти все регулюсы, для которых
		р =	const, а = const, b = const.		(62)
Прежде	всего	проинтегрируем уравнения
			de 3	е	(63)
			ds	е	(63)
			ds

117

при b = const. Имеем
^	" + (1 +	= 0.	(64)
ds2
Общий интеграл этого	уравнения	имеет вид
ev = a cos Bs -\|- с sin Bs,			(65)
где

5= V 1 + Ъг

иа, с — некоторые постоянные векторы. Так как ех — еди

ничный вектор, то при всех s имеем

a2 cos2 Bs + с 2 sin2			Bs + 2 (а, с) sin Bs cos Bs =		1.	(66)
В частности,		при s = 0 и s = —		получаем
			25
Поэтому			а 2 = 1, с 2	= 1.
Поэтому
	cos2	Bs + sin2	Bs + 2 (а, с) sin Bs cos = 1
при всех	s, что возможно лишь при
			(а, с) =	0.
Итак, а	и с суть ортогональные			орты. Включая	их в базис

неподвижной декартовой системы координат и обозначая

через	/ и j	, запишем (65) в			виде
		ех	= / cos Bs + j sin Bs.			(67)
Интегрируя		два последних			уравнения из (63), находим
		е3 = —	{/ sin Bs — у cos Bs] + /,
						(68)
		е2 = — {/ sin Bs — у cos Bs} +				g,
			В
где /	и ^ — постоянные			векторы. Требуя,		чтобы et, е2 и ея
при всех s		образовывали		декартов базис,		получим
		/ =	- 4 *	'	S = - \ k .	(69)

Наконец, интегрируя уравнение

drds = — ре2 — ае3,

получаем

г =Рр—£-Ц

cos Bs +j sin Bs) + -^j^-sk.

(70)

118

Мы видим, что горловая линия при
(pb-a)(p	+ ab) фО	(71)

является обыкновенной винтовой линией, расположенной					на
pb — а	„	шаг	p + ab	„
цилиндре радиуса —	и имеющей	шаг	В	• 2к. Ре-
1 + * 2			В

гулюс описывается винтовым движением*) луча, проходяще

го через переменную точку линии						(70)	в направлении			е 3 ,
перпендикулярном			соответствующему				радиусу		цилиндра
р _ _pb—— .(cosBs-i-{-j				sin Bs) \\ех		и образующим			постоян-
	В 2
ный	угол	с касательной — винтовой					линии:
					ds
			ctg <!> =		— .				(72)
Шаг	равен				Р
Шаг	равен
				2 т	Р + а Ь
					В
При	b = 0,	т. е. в случае цилиндроида,					луч	все время		рас
полагается в плоскости, параллельной плоскости XOY.										Ес
ли (71) не имеет			места, то возможны три случая.
1.	При	pb—a	= 0,	рА~аЬфО		горловая		линия	превра
щается в прямую			линию—ось OZ.			Регулюс		образован		вин

товым движением прямой линии, пересекающей ось 02 под

постоянным		углом <р, для	которого
		cos с? = \| е3	—	dr	b_
		cos с? = \| е3	—	ds	В
			ds	ds	В
т. е.
Шаг	равен	2?:/? cos ср. При b — 0			имеем ? = 0 и	получаем
отмеченный выше „прямой геликоид".
2.	При р + ab — 0, pb — а ф0				горловая линия	является

окружностью, а регулюс представляет собою одно семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида вращения. В самом деле, параметрические уравнения по верхности можно записать в виде

pb — а	„ i l	.	D
х = -	cos Bs — h- —	sin Bs,
B 2	B2

pb ^	• D i	+
у — —	sin Bs	+
B 2

*)	В и н т о в ы м	д в и ж е н и е м н а з ы в а е т с я в р а щ е н и е	в о к р у г оси с о д н о в р е м е н
ным	с м е щ е н и е м	по в е р т и к а л и , п р о п о р ц и о н а л ь н ы м	у г л у п о в о р о т а .

119

Ч — -	cos Bs,		lb
Ч — -	cos Bs,		В2	'
В2			В2	'
а исключение к и s приводит		к	уравнению
				2
	V		\ \+Ь2	)
3. При р + ab = pb — а =		0	получается		р = а = 0, т. е.
регулюс превращается	в прямой		круговой		конус

(1 4- Ь2) (х2 + у2 ) - z2 = 0.

Так как исключенные из рассмотрения цилиндры тоже до пускают однопараметрическую группу движений по себе (сдвиги по образующим), то мы можем резюмировать резуль

тат исследования следующим	образом.
В ы в о д . Все регулюсы,	допускающие однопараметриче

скую группу движений, суть или цилиндры, или прямые кру

говые конусы,	или однополоетные	гиперболоиды	вращения,
или регулюсы,	образованные винтовым движением прямой
линии, перпендикулярной к радиусу		цилиндра и	составляю

щей постоянный угол с касательной к винтовой линии, или, наконец, регулюсы, имеющие прямую горловую линию и об разованные винтовым движением пересекающей ее под посто янным углом прямой.

З а м е ч а н и е . В терминологии, относящейся к рассмот ренным выше регулюсам, нет достаточной четкости. Так, цилиндроиды часто называют поверхностями Каталана и да же коноидами (см. [20], стр. 351). Однако значительно чаще коноидом называют цилиндроид с прямолинейной секущей. Термин «геликоид» иногда применяют ко всем поверхностям, полученным винтовым движением произвольной линии. С этой

точки	зрения все	регулюсы, полученные	в	этом	параграфе
(кроме	цилиндра,	конуса и гиперболоида),		суть геликоиды.
	§ 6. Пара регулюсов, реперы		которых
		неизменно связаны

Одной из интереснейших задач теории пространственных кривых является задача о паре кривых с неизменной связью реперов, являющаяся естественным обобщением знаменитой задачи Бертрана. Бертран показал: кривая, основные инвари анты которой связаны линейным соотношением с постоянными коэффициентами, характеризуется тем, что к ней можно при соединить другую кривую так, что в соответствующих точках эти две кривые будут иметь общую главную нормаль. При этом оказывается, что расстояние между соответствующими

120

точками и угол между соответствующими касательными так же будут постоянны. Таким образом, координаты начала и базисных векторов канонического репера (репера Френе) од ной кривой относительно канонического репера второй кри вой, построенного в соответствующей точке, постоянны. Иными словами, реперы Френе пары кривых Бертрана «неизменно связаны». Легко проверить, что такое присоединение второй кривой с неизменной связью реперов Френе допускают толь ко кривые Бертрана и их частный случай — винтовые линии. Ясно, что задачу о неизменной связи реперов можно ставить для любых геометрических образов Фь

Пусть	даны два ортогональных репера	{г, еи е2, е3)
и {г*, е\,	е, е}. Запишем их деривационные	формулы в виде

dr	,
-Г	= а е и
ds

de,	k	(73)
"J" = a < e *'		(73)
ds
(i, k =	1, 2, 3),

df~	. *	dei	и	*	,	тл\
—-	= ctlet,	ds"	= ч	ek	,	(74)
US'"		ds"

где s и х * — инвариантные				параметры				и,	конечно,
	af + ai = 0 ,			ai + ai = 0.						(75)
Неизменная	связь	реперов		выразится				формулами
г* = г +	с1 а ,	el	= с) ек,		с'1	= const, с* = const,				(76)
причем в силу ортогональности репера								[е*\	имеем {eie*k) = bik,
откуда сразу	следует, что
	3			3
	2 Ср Ср -=			2 сЧ & = Ьш .						(77)
Дифференцируя (76) по s				и используя				(73), (74),		получаем
	H Q		СЧО} =а* + с1а*.							(78)
	ds
Умножая эти формулы на ckm					и суммируя				по k, получаем
— а» = У		(а* + с1 af)			ckm	, т	=	1, 2, 3.		(79)
Аналогично найдем, что
ds	m = i									(80)
+ af (с/			— с? с)) +			a\|	(cf cj — cf cj).			(80)
+ af (с/			— с? с)) +			a\|	(cf cj — cf cj).

121

Но	из соотношений [ei ej]			— ek,		где /, /, k			образуют	лю
бую	циклическую перестановку					индексов 1, 2, 3, получает
ся,	что	1	2	3		3
		1	2	3		3	,
		Ck =	Ci	Cj	— C i С/		,
		2		3	2	3	1
		Ck	—	Ci	Cj	Cj	Ci ,
		3	=	1 2		2	1
		Ck	=	Ci Cj — Ci Cj .
Поэтому		(80) можно переписать в виде
		ds*				+ а\с1,			(81)
		—-л1 = а\с\+а\с1				+ а\с1,			(81)
		ds
где действует установленное					соглашение			о	индексах i,	/, k.
Формулы		(79) и (81) дают		возможность				решать задачу		о не

изменной связи метрических канонических реперов для лю

бого геометрического		образа
В интересующем нас случае					регулюсов имеем
а 1	= 0, а2		= —- р*,		а3 = — а* ,
а 1	= 0, а 2		= — р, а 3 = — а ,
а\	=b,	а\	=	1, а\	= 0 ,
а{	= 6*,	а \| =		1, o-l = 0,

где звездочками отмечены инварианты регулюса, присоеди

няемого к данному. Формулы (79)					и (81)	дают		соотно
шения
рс\ + ас\ — Ь (с1 с\ — с 2 с\) + с3с\					- с1 с\	= 0,		(82)
	6 с ? + с ? = 0							(83)
и выражения	для инвариантов		р, а, Ь* и			для		величины
ds*
ds							b ф const, то
Если исходный регулюс—произволен, то есть							b ф const, то
мы должны	положить с\ = с\ =» 0. Но				тогда	из	(82) полу
чается (так как с\ = ±		1 в силу		(77))	с2 — с3	= 0.		Поэтому
	г* = г	+ сх е и	е\	= с\ е и				(84)

т. е. для соответствующих лучей регулюсы имеют общие горловые нормали. Из шести независимых констант с\ cf две

(с1 , с\|) еще можно	задавать произвольно. Следовательно,
к заданному регулюсу, у которого		b ф const,	можно	при
соединить оо2 регулюсов с неизменной связью			реперов.
Пусть теперь исходный регулюс		есть поверхность		отко
са, т. е. b = const. Пусть инварианты		р и а не связаны ли
нейной зависимостью	с постоянными	коэффициентами. Тогда

122

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ