книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

эндоморфизм Тп

в Г ? ,

а

не

само конкретное

Т

Но

как

только xt

(или dXj)приобретают

инвариантный

геометричес­

кий смысл (так

обычно

и

бывает в дифференциальной

гео­

метрии),

подпространствам

Т

также соотносятся

вполне

определенные геометрические понятия.

П р и м е ч а н и е .

С о о т н о ш е н и я

(9)

р а с с м а т р и в а ю т с я з д е с ь и м е н н о

к а к

б а з и с н ы м и

в е к т о р а м и

dxt

( в е д ь п о с л е д н и е

о с т а ю т с я

н е з а в и с и м ы м и ,

п о к а

р а с с м а т р и в а ю т с я

т о л ь к о

Тп

и

Хп). С л е д у е т

з а м е т и т ь

т а к ж е , что в у р а в н е ­

н и я х

(9)

и

(9')

через

dx,

о б о з н а ч е н ы , с о б с т в е н н о

г о в о р я ,

о б р а з ы б а з и с н ы х

в е к т о р о в

dxi

п р о с т р а н с т в а

Тп

при

э н д о м о р ф и з м е

Тп

в Г , , Т е р м и н

« р а с ­

п р е д е л е н и е »

обычно

о п р е д е л я е т с я

д л я

в е к т о р н о г о

п р о с т р а н с т в а ,

с о п р я ж е н ­

н о г о

с Г „ , а

не д л я

с а м о г о

Тп

. О д н а к о

р а с п р о с т р а н е н и е

этого

п о н я т и я н а

п р о с т р а н с т в о д и ф ф е р е н ц и а л о в т а к ж е п о л е з н о .

В общем

случае

ранг

матрицы \\hlc\\

равен

п—q.

Те

точ-%

ки

пространства

Х П ,

где ранг этой матрицы понижается,

называются

особыми

точками

относительно

распределе­

пространства Х П ,

где нет особых

относительно

него

точек

(или, если таких точек вообще нет), то говорят

о

неособом

расаределении.

Если система уравнений Пфаффа, соответствующая распре­

делению Ри

равносильна

части

уравнений

Пфаффа,

опреде­

ляющих

распределение

Р2,

то

распределения

Р х

и Р2

опре­

деляют

подпространства

TQl

и

Tq„

причем

Г ^ с Т , , .

В этом

случае

говорят, что распределение

Р2

принадлежит

расп­

ределению

Р,,

а

распределение

Рх

содержит

распределе­

ние

Р2.

сопоставление

векторных

подпространств,

Продолжая

можно также

говорить

что

распределения

Р,

и Рг

имеют

распределение

Р 3

своей

общей

частью

(т.

е. Ря

принадле­

жит

и

Pt

и

Р2),

если

соответствующие

подпространства

связаны

соотношением

Tq, П Tq%

— 7"?3 .

Если задать при помощи аналитических

функций

Х{ ~

Xi(t!,

...

,

tg)

(Ю)

d x ^ а2= 1~

dt

(11)

dta

причем

дх.

имеет ранг q. Исключая из (10) и (11)

матрица

to. и dta,

dta II

мы получаем

соотношения вида (9), которые бу­

нений, имеющих

поверхность

(10)

одной

из (п — ^ - п а р а ­

метрического

семейства

интегральных

поверхностей. Это

семейство мы также обозначим Xq.

Следовательно,

задание

семейства

Xq

порождает

некоторое

^-мерное распределение.

Такое распределение называется интегральным.

Однако не

всякому ^-мерному распределению

(9) соответствует

семей­

ство Xq,

т. е.

не

всякое распределение

является

интег­

ральным.

Кроме

того, может быть,

что заданное распределение (9)

удовлетворяет

системе

(4)

лишь

в

определенной

точке

M0(x°i,...,

х„)

пространства

ХП

или в

некотором

дискрет

ном множестве точек.

На этом пути мы придем

к новому

пониманию

решения

системы внешних

дифференциальных уравнений,

т. е. к по­

Как известно, принимая соответствующие частные произ­

водные от неизвестных функций за новые неизвестные

функ-

•ции, можно

всякую

систему

дифференциальных

уравнений

;В частных производных свести к системе, содержащей

только

гаерйые частные производные от г неизвестных функций

п ар­

гументов вида

/т

Iхи

... , хп,

zu ...,

г п ~

, ... , ^ - г ) =

0,

(12)

V

д*\

дхп)

7 = 1,2,...,

g.

Эту

последнюю

можно

свести

к системе

уравнений Пфаффа

d z

i — ptdxa

~ 0, i — 1, ... ,

г,

а =

1, ... ,

п,

(13)

где

р] — новые неизвестные

функции,

связанные

g

конечны­

ми

соотношениями

/ т ( х „

хп,

z,,...,

г п

р \ , . . . ,

р") = 0.

(14)

циальной операции над внешними

дифференциальными

фор­

мами, которая, будучи тесно связана с обычным

дифферен­

цированием

и

интегрированием,

позволяет

переходить от

векторного

пространства /\р

Т

к

векторным

пространствам

более высокой

размерности

п

Т

, q>p.

К

изучению

этой

f\q

операции мы и переходим.

п

Введя ее сначала

формально,

в конце

параграфа мы по­

кажем и «реальный прообраз».

О п р е д е л е н и е .

Внешним

дифференциалом

формы*>

i2 =

a^-ip[dxil...dxip}

(15)

называется

внешняя дифференциальная

форма

def

[da-

. . . dx.

0 =

0 2 =

1Р dxh

] .

(16)

P+\

p

[da1 dx-, ] = \д'a1 dx;

dx-\

= ^

(д' а1

— д1 a')

[dxj dxi],

(17)

j<i

где частные

производные

—

обозначены д1. Формулы (16)

можно записать

ещз и так:

dxj

DQ

—. д> а

••• V [dx-. dxu

... dxt

]

(18)

или

Р

=

2

D9.

\dx-.dxh

. . . dx,].

09 )

p

j<i,< .,. <ip

'

*) З д е с ь с у м м и р о в а н и е обычное , а не по с о ч е т а н и я м г'у- =1,

п.

D ( 2 +

в) = D 2

+ D8,

(20)

p

p

p

p

D(a2)

=[da,

2]

4-aDQ,

(21)

p

p

p

D[QQ\ =

[DQ,

Q] +

(-iy\Q,

DQ],

(22)

p Q

p

q

P

Я

где

2,

2 — внешние

дифференциальные

формы из

/\рТ,

/\"Т, р

ая

— функция

от

х1.

п

п

д1'

Из

перестановочности

обычного

дифференцирования

=д'1

и из формул (17)

и (18)

вытекает

D(df)

=

0,

(22')

D ( D 2 ) =

0,

(23)

р

нении дает

тождественный

нуль,

причем

внешний

диффе­

ренциал функции

(т. е. вектора

из

Л 0 ^ )

отождествляется

с обычным

п

дифференциалом.

Этот

результат

иногда

назы­

вают теоремой

Пуанкаре.

Отсюда,

в частности, следует,

что внешнее

дифференци­

ривать как дифференциал

константы.

Для

выяснения происхождения

операции

внешнего диф­

ференцирования

вспомним

известные

из

анализа

формулы

Грйна

j

(Pdx +

Qdy) = j

j 1 ^д£

-

у

j dx

dy

(24)

L

D

и Гаусса —Остроградского

J j (Pdydz

+ Qdzix

+

Rdxiy)

=

формулы замены переменных, о которых мы говорили

в конце

§ 1. Ясно, что формулы (24)

и

(25)

можно записать в

виде

L

D

2

Я

? -

Ш

е .

причем DQ = 2 в силу

(17) и £)9 = 9

в силу (18).Обобщая

1

2

2

3

эти

известные формулы,

получаем

j - - - j

Q = J - - - J D 2

,

(26)

^ . — _ J i л - I

J . . J

n—l

л—1

n

где

первый

интеграл

берется

по границе области

второго

рования в известном

смысле соответствует

операции

перехо­

да от (п—1)-кратного

интеграла к и-кратному.

Нетрудно показать,

что

формула (26)

включает

в себя

также и формулу Стокса

и ее обобщения.

а1 ш,- = О,

а[ш,-

Ш / > ] = О,

(S)

а''-1р[щ1...ш1р]

=0,

Т."

где i,

ij=

1, ... ,

п, индексы i i • • •

означают номера урав­

нений,

а

,

— формы

Пфаффа.

*, = *,(*,,...,

tm).

(27)

Она называется m-мернои, если ранг матрицы

равен т.

Те

совокупности

значений t v ... ,t m

(и соответствующие

точ­

ки

{*,•}),

для которых ранг этой

матрицы понижается, на­

зываются

особыми

и из рассмотрения

исключаются.

Функ­

ции

лгг (^, ,

, tm)

прэдполагаются

аналитическими (хотя бы

локально).

В некоторой

окрестности

неособой

точки

ранг

матрицы

" остается

равным т,

и

функции

xt(tt,...,

tm)

d x t ^ ^ ^ d t j .

(28)

Исключение t{, ... ,

tm

из

уравнений

(27)

приведет

к

систе­

ме

уравнений

Fa(xlt

...

,

хп)

=

0;

а ~

1, . . .,

/г—от,

(29)

равносильной

системе

(27)

в

указанной

окрестности.

Имея

в виду указанные ограничения, можно говорить о

локаль­

ной

аналитической

т-поверхности.

При т = п — 1

гово­

рят

об аналитической

гиперповерхности.

В дальнейшем, мы, как правило, будем опускать термин

„локальный",

подразумевая,

что

все

рассмотрения

ведутся

Определение,

т-мерная

поверхность

(27)

назы­

вается

интегральной

поверхностью

внешней

дифференци­

альной

системы

(S),

если

при

подстановке

вместо

xt

в коэффициенты

уравнений

и в коэффициенты

форм

шп ш

выражений

(27),

а

вместо

дифференциалов

dxt

выраже­

ний

(28)

получаются

тождества

во

внешней

алгебре

дифференциалов

dtj

над

модулем

аналитических

функ­

ций

от

tx,...,

tm.

этом

определении

предполагается

лишь

Как

и

всюду,

в

локальное

рассмотрение,

т. е. тождества

должны

выполнять­

совокупности tu..,

t т . Однако эту

окрестность

мы

не сводим

к точке: если тождества

имеют

место

(т. е.

коэффициенты

при

независимых

поливекторах

обращаются

в

нуль) лишь

для

одной фиксированной

точки

(/",...,

tm),

то

мы еще не

будут иметь место лишь в числовом поле, а не, в модуле

ана­

литических функций.

С семейством

m-мерных

интегральных

поверхностей всегда

связано m-мерное распределение

(см.

§ 2), т. е. закон, выделяющий подпространство

Т т в

каса­

тельном векторном пространстве Тп.

Чтобы получить

его в

отношений

(28)

исключить tk

посредством

(27),

а затем

исключить

и

dt k

. Распределение, определяемое

семейством

поверхностей,

называется

интегральным

или

интегрируемым.

Очевидно, что одномерные

распределения всегда

являются

интегральными,

^-мерное

распределение,

которое

не

являет­

ся интегральным, называется

неинтегральным.

56

/

шалась

в § 6, гл.

1), то можно ставить вопрос о существовании

интегрального

распределения

максимальной

размерности.

В частности, если для системы

т уравнений Пфаффа

суще­

ствует

(п—т)-мерное

интегральное

распределение, и

следо­

вательно, интегральная

поверхность

п—т

измерений, то

система

(5) называется

вполне

интегрируемой.

мости, сколько из-за того, что в нем

ясно проглядывает

идея

общего

рассмотрения.

для Х П :

Пусть

дано одно

уравнение

Пфаффа

w~Bal(x)dXi

=

0.

(30)

Здесь и далее в тех случаях, когда

это

не

вызывает

недора­

зумений,

мы

для краткости буквой

без

индекса

(например,

х)

будем

обозначать

совокупность

определенного

числа

ар­

гументов

(здесь — п аргументов Xi,...,

хп ) .

Для частных производных по xt

будем

употреблять

сим­

вол

д1,

а для производных по tk

— символ V * .

семейства

Для уравнения (30) вопрос о существовании

интегральных

гиперповерхностей решается

следующим

об­

разом:

Т е о р е м а

1 (Фробениуса). Уравнение Пфаффа

является

вполне интегрируемым тогда и только тогда, когда

[Do),o)]=0 .

(31)

D{dF)

- \d\,

ш] — XDu) = 0.

Так

как D (dF) = 0, то отсюда следует

Dm — — [ЙЛПА, со],

[ О ш ,

ш] = —

[ t / In w, ш] = 0,

т . е .

условие (31) выполнено.

тегральных поверхностей уравнения

(30) — интегральные

кривые:

х1

==• х(

(t) + сь

Ci = const.

dx-

В самом деле, внесем

dxt—

—l-dt

в

(30). Получится одно

dt

"

dx

2 V ( * ( ' ) ) ^ = 0

(32)

на

n неизвестных функций. Задав п — 1 из них произвольно,

мы

найдем

(с произволом

в одну

постоянную)

последнюю,

интегрируя

(32). Дальше

можно

рассуждать

по индукции:

достаточно

из предположения существования

семейства т-

мерных интегральных поверхностей Ж т вывести

существова­

ние

семейства (т + 1)-мерных 9J?m+i • Пусть семейство УЯт име­

ет

уравнения

x, = f,(tl,---,tm)

+ cl.

(33)

Рассмотрим

одну из них (для определенности ту, для которой

(с; = 0). Тогда

откуда

Л а ^ а < ( * ( / ( О ) ) У а / < = 0, a = 1 , . . . , т.

(34)

%i= т1/

>

• • • > С tm+\),

(35)

причем параметр tmJr\

выберем так, что

а,

о) =f(n,...,t°m).

(36)

x i =

<?« (*i. • • • - ^ .

*m + i ) ,

(37)

где

? , ( * ? , . . . , * £ ,

^ + 1 ) = ФД/?,

**-и).

(38)

что означает

Яр = а ' ( ? ( 0 ) ? ? ? / = 0 ,

т = 1, от+ 1.

(39)

а все кривые (35) — интегральные.

Итак,

B « + i = 0 .

(40)

£><в =

[вш],

(41)

где

в

=

U (х) dxj.

(42)

Внося (30) и (42) в (41), получаем

\daldx^

= Val [dxjdxt]

(43)

или

(Va1 -

Val) \dXjdxt] = 0.

(44)

Заметив,

{д'а1 — Val)

(v??/VT(F/ — VT?A?C?/) = °-

( 4 5 )

что

VTBp = d/a'-vT ?rV3 ?i +

a'v3 (v1 ?,-),

(46)

VP V4?/) = V V ( ? / ) ,

(47)

приведем

(45) к

виду

где

V p f i T

-

— В ^ з +

B9Lf =

0,

(48)

^ =

^ V ' f v

(49)

Положив

в (48)

-( =

т +

1 и учтя

(40),

получим

.?E!!-=BaLm+l.

(50)

ференциальных

уравнений

заключаем

Вл~0,

что вместе с (40)

и дает (39). Теорема

доказана.

Доказанная

теорема

легко

может

быть распространена

и на случай системы уравнений

Пфаффа.

Т е о р е м а

2.

(Обобщенная

теорема Фробениуса). Для

того, чтобы система q независимых уравнений Пфаффа

со* =

0,

х =

1, . . . , q

Du>x

= [ е > . . ] ,

•/ =

1 , . . .

(51)

Этот результат

непосредственно

следует из

второй

те­

оремы Картана, которую мы докажем в §9 . Теорема 2

до­

пускает следующую эквивалентную

формулировку.

Т е о р е м а 3.

Необходимым

и

достаточным

условием

того, чтобы (я — <7)-мерное

распределение (1 < q < п — 1)

ч>х =

0,

х =

1,

. . . ,

q

в пространстве Хп

было

интегральным, являются

соотноше­

ния (51).