книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

Рассмотрим

совокупность всех

прямых

R=-r

+

tn,

| я

; = 1,

(48)

удовлетворяющих

условию

(Q, п) 4- (N, [г, я]) = 0,

(49)

где Q и N-— некоторые заданные векторы.

Обозначим

координаты

векторов,

входящих в

уравне­

ние (49), следующим

образом:

г(х, у,

z),

п

(/, т,

п),

Q (Л, В,

С),

N(L, М,

N).

Тогда условие (49)

примет вид

А1 + Вт + Сп

4- L (ул. — zm)

-

4- М

(zl

-

хп)

+ N

(хт - yl) =

0.

(50)

XQ ХХ

Х2

Х3

Уо >'l

У2 Уз

составленной

из

однородных

координат двух

точек:

M i

(А-0

: хх: х2 : х?)

и

N{yu:

у , : у.,:

у3),

принадлежащих этой прямой. Плюккеровы координаты

пря­

мой обозначают

так:

Ри =

X {Xi У] — xj yi),

/, j =

0, 1, 2,

3.

(51)

Ро\ Раз + РозРы + PwPii = 0-

(52)

Если

пару точек М\, М2

заменить

другой парой

точек той же

самой

прямой, то в силу

линейной

зависимости

радиус-векто­

ординаты

могут

лишь приобрести

новый

общий

множитель,

а отношения их не изменятся.

Условие (50) является самым общим линейным соотноше­

нием, связывающим плюккеровы

координаты

прямой (48),

т. е. миноры матрицы, составленной

из однородных

координат

ее

двух

точек:

собственной г (I

: х : у : г)

и

несобственной

п

(0 : /: т : п).

Поэтому совокупность

всех прямых

(48),

удовлетворяю­

щих условию (49), называют линейным

комплексом.

При J V = 0

получается

совокупность

всех

прямых

парал­

лельных одной и той же

плоскости (г, Q) =

0 (т. е.

пере­

секающих одну и ту же несобственную прямую), при Q = 0 —

совокупность

всех

прямых,

пересекающих

прямую

г

= \N\

если же Q±N,

то

можно

положить

Q =

[Л^, г0]

и

усло­

рованной

прямой

г

= r0

+ IN.

Во всех

этих

случаях

линей­

ный

комплекс

называется

специальным,

а

прямая,

пересе­

кающая

все лучи

(48)

(может быть,

несобственная),

— его

осью.

Специальные

линейные

комплексы

получаются,

таким

образом,

тогда и только

тогда, когда

в

(49)

(Q,

N)

=

0.

(53)

Если

пару

точек

г,

п

заменить

парой

собственных

то­

чек

rx

=

r4~txn,

ri=r

+ t2n,

то

заменив

в

(49)

векто­

ры г

и л

на

гх

и

г 2

— г,,

получим

уравнение линейного

комплекса в

виде

(Q,

г 2 — rx) +

(N,

гх,

г я )

=

0.

(54)

Если

фиксировать

одну

из

точек

г,

(или

/*2 ),

то

уравне­

ние (54) будет линейным относительно

координат

не

фик­

сированной точки

г 2 ( и л и

/у,.

Таким

образом,

задание

ли­

ве:

точке

гх

соответствует

(проходящая через нее)

плос-

скость.

(г, N*)

+ D = 0,

(55)

где

N* =

Q+[N,

rx],

D = - ( r „

<?).

(56)

В этой корреляции (называемой иногда

„нуль-системой"

линейного

комплекса) каждой

прямой

соответствует

пучок

плоскостей. Действительно,

если положить

г х

= г 0 +

tl,

(57)

то

каждому

t соответствует одна плоскость из пучка

где

(r,N)

+

D=0,

(58)

N=

Q+[N,

r 0 ] +t[N,

I],

D=-(r0

+

tl, Q).

(59)

Таким образом,

прямой

(57)

соответствует

пучок

плоскос­

тей

(58).

Прямая,

которой в нуль-системе не специального

линейно

\Nl}\\Q + [Nr0}.

(60)

[IN\

= 0

или

[Q + [NrQ],

N] = 0 .

(61)

[QN\ + r0N*-(r0N)N=0.

(62)

Точку

г0 можно выбрать как точку пересечения прямой

(57)

с плоскостью, проходящей через начало

координат

и

пер­

пендикулярной этой

прямой, т. е. вектору N. Тогда (r0

N) = О

г „ = т а .

(бз,

N-

Итак,

ось линейного

комплекса (49)

имеет

уравнение

R

=

+ tN.

(64;

N2

Линейный комплекс (49) называется касательным

к

регу-

люсу

в данном луче,

если

он может

быть

получен как

пре­

комплексу, называется

касательным линейным

комплексом.

Чтобы

найти касательный линейный комплекс, надо под­

ставить в

уравнение (49)

векторы, определяющие

луч

и

близкий к нему

R = г

4- te3,

(65)

R

= r+dr

+ t(e3 + de>)

(66)

и

потребовать, чтобы

послг

отбрасывания членов

второго

любого

рггулюса

(18),

т. е.

для

любых

значений

форм

ш1 : oi3 :<»з\ Внося (65)

и

(66)

в (49), получаем

(Qe3)

4- (Are,)

= О,

(67)

«?,

de3)+(N,

dr, e3)-{-(N,

r,

de3)

-

0.

Будем находить

координаты

L ,

М,

N и

А,

В, С

векто­

ров N и Q относительно

полуканонического

репера,

соот­

ветствующего

лучу

(65);

тогда

г =

0, и

подстановка

в

(67)

выражений

dr

и

из

деривационных

формул (8)

с

уче­

том

обозначений (9) дает:

откуда

С = 0, А =

-

L T ) , ,

В = — /Х„ М = L \ 2 ,

(67а)

-г-С3 е,), N

=

L(e,

<? =

- / . ( ъ е ,

- И 2 е 2

+

Хе3 ),

(676)

где

X. = / V : Z.

остается

произвольным*). Получился

пучок

касательных

линейных

комплексов. В каноническом

рзпере

этот

пучок

имеет уравнение

-

(«з я )

+

(е, -4- >>ем,

г, и)

= 0.

(68)

Оси

комплексов этого

пучка

суть

прямые

R

=

—2 -

е, +

* (*! 4- Хе,).

(69)

1 +

/ 2

В пучке

(68)

выделяется

линейный

комплекс

>. = 0,

харак­

теризующийся

тем,

что

его ось

совпадает

с

главной

нор­

малью R = te-i комплекса.

Он называется центральным

ли­

нейным,

комплексом.

Линейный комплекс, который может быть получен пре­

дельным

переходом

из

линейного

комплекса,

содержащего

данный луч

и два близких

к нему луча регулюса

(т. е. имею­

вается соприкасающимся

линейным комплексом

регулюса,

соответствующим данному

лучу.

гулюсом

(18).

Такой линейный комплекс

называется

сопри-

*) С л у ч а й L =

0, п р и в о д я щ и й к с п е ц и а л ь н о м у

к о м п л е к с у (см.

§ 12).

о с т а в л я е м

в стороне .

касающимся для

регулюса

комплекса. Для

его отыскания

на­

до

к условиям

(67 а)

присоединить

условие

Q, еъ

+

йе3 +

1

d*e3 j

+

г.

е.

(Q, d* е3)

+

2 (N,

dr,

de3)

+

(N,

d* г,

e3) = 0.

(70)

Фх =

1У (со1)2 + (у;2 2

-

2^).)

(«4)2

J

-

+ ( ^ М - : » ) ( « > ! ) Я

+

271,0)' СО» +

(71)

+

2 (С, +

X)0>, о)1 + 2 (т), rj 2

-

т13) о,' ш »

=

0.

Отсюда следует, что для каждого регулюса (18), не яв­

ляющегося

торсом

(т. е. при Ф, — 7j2

;<о')2 — ш2

т.

^

()),

мож­

но

из

(71)

найти

единственное

значение

>.,

е.

в

пуч­

ке

(68) — единственный

соприкасающийся

с

ним

линейный

комплекс.

Для

каждого касательного линейного

комплекса (т. е. для

каждого фиксированного

X) соотношение

(71)

дает

бесчислен­

При >, = 0

мы получаем

совокупность

регулюсов

Ф 2

= 5, (со* )2 +

т]2 2

(«,$)* +

_

:Я )(Ю §)« +

(72)

+ 21], СО1 CO1, - f 2;х

СО1 СО2 - f 2 (7), 7j2

— 7]3) СО1 СО | = О,

вая часть уравнения (72)), обращение которой

в

нуль

выде­

ляет асимптотические регулюсы. Обе эти формы

(так же, как

и пучок Ф А , ИМИ порождаемый, — левая часть

уравнения

(71)) играют большую роль в теории комплексов

и являются

относительно инвариантными даже в проективной

теории

комплексов.

§ 5.

Неголономные конгруэнции комплекса

(подмногообразия

Ч^)

В соответствии

с общей

теорией

подмногообразий

(см. ч. 1,

гл. 3) всякое линейное

уравнение

относительно

базисных

форм to1, со '

со'

определяет в комплексе неголономное под­

многообразие

Ч^г

(неголономную

конгруэнцию).

Через каж­

лежащих данному х ¥2 -

Полагая

для удобства

(73)

= Ю1 ;

CIJ | =

У>2,

СО1 =

О ) 0 ,

мы можем

записать

уравнение

произвольного

Ч72 в виде

а''ш/

= 0,

I =

0,

1,

2,

(74)

а'" х, = 0.

(75)

деляется

уравнением

Ф,

ЕЕЕи^СО» — <о*о>' = 0

(76)

ИЛИ в каноническом

репэре

с учетом обозначений (73)

урав­

нением

Фг

= ^<о1 - ^ ( ' о . 5 ) 2

= со0 со2 -7)2 (со,)2 = 0,

(77)

х о х 2 — Ъ Х 1

= 0 , .

(78)

относительно

которой

треугольник

А0

А\

А2

является

авто-

*) Э т а « д и а г р а м м а » в в е д е н а в н а ч а л е X X в е к а Ц и н д л е р о м [ 4 4 ] . С л е д у е т

з а м е т и т ь ,

что она

и з о б р а ж а е т л и ш ь

т а к

н а з ы в а е м у ю

п е р в у ю д и ф ф е р е н ц и ­

а л ь н у ю

о к р е с т н о с т ь л у ч а .

Э т о о з н а ч а е т ,

что

к а ж д о й

ее точке с о о т в е т с т в у е т ,

в о о б щ е

г о в о р я ,

не

о д и н

р е г у л ю с , п р о х о д я щ и й через д а н н ы й

луч, а

все

регу ­

л ю с ы ,

о п р е д е л я е м ы е у р а в н е н и е м

(18), в

к о т о р о м ф у н к ц и и

[ч

п р и н и м а ю т

з н а ч е н и я

х, при

Ui=u{,

где

ut

— з н а ч е н и я

г л а в н ы х

п а р а м е т р о в

д л я

д а н н о г о

луча . М ы

б у д е м

о д н а к о

в д а л ь н е й ш е м

д л я

у д о б с т в а

г о в о р и т ь о б

« о д н о м регулюсе»

(х0:хх:х^,

« о д н о м

торсе»

(лг0:дС]:х2)

и т. д .,

и м е я

в в и д у

о г о в о р к у , с д е л а н н у ю в д а н н о м з а м е ч а н и и и не п о в т о р я я

ее к а ж д ы й

р а з .

В т о м

ж е с м ы с л е

мы

б у д е м

г о в о р и т ь

и

об

«одной

н е г о л о н о м н о й

кон ­

г р у э н ц и и » .

&JxlXj=

О,

i,

у -

О,

1,

2,

(79)

где

а 0 1 =

Tjj, а 0 2 =

*.д,

а 1 2

=

ij, T J 2 —

vj3 .

(80)

Точкам координатного

треугольника

A g A j A j

естествен­

но соответствуют

простейшие

регулюсы:

Л 0 ( 1 : 0 : 0 )

0)2 =

0,

A t

( 0 : 1 : 0 )

со0

= о:2 =

0,

(81)

Л 2 ( 0 : 0 : 1 )

0)0 =

0 ! =

о,

А0

А,

ш2

=

0

^

=

^

=

0,

(82)

А 0

А2

со, =

0

а0

=

а2

=

0,

(83)

Ау А2

ш0

=

0

а1

=

а2

=

0.

(84)

Каждая из

этих простейших

неголономных

конгруэнции

характеризуется

прежде всего, тем, что ей

принадлежат два

из трех

простейших регулюсов

(81).

Все подмногообразия 4*2, для

которых а0

=

0,

называются

цилиндрическими,

так как они содержат цилиндр

o>i = o>2=0.

Им соответствует пучок прямых с вершиной А0

на

нашей ди­

аграмме. Среди

них находятся и неголономные конгруэнции

со2 =

0 и coi =

0. Первая из них

называется

бицилинбричес-

кой,

так

как

в

силу (77) она не содержит никаких

других

торсов,

кроме

цилиндра, а вторая — боковой,

так

как она

из них содержит только один торс, и называются

(по

анало­

гии с теорией обычных конгруэнции) параболическими

него-

лономными

конгруэнциями.

К ним,

кроме

бицилиндрической

конгруэнции

0)2 = 0,

прнадлежит и конгруэнция

соо =

0, тор­

сом которой

является центральный

торс.

Она

содержит и

центральный

регулюс. Будем называть ее

центрально-парабо­

лической, а

вообще

все

подмногообразия

Ч^,

содержащие

вторая г

е з I лежит посередине между горловой точкой

а1

а2

(85)

~

= -2s,

— = - 7 .

а"

а0

и записать уравнение (74) в виде

со1 =

— 2ewf —7.0)3.

(86)

Кроме того, мы имеем

( О 2 = — 7)2 О ) 3 .

(87)

Если ввести новые формы ш1

и ш2 по формулам

Ш1

== Ц)1

-f £0j| ,

(88)

о ) 2

= O J 2 - ) - е ш 3 ,

то (86) и (87) примут вид

OJ1

= — ecu3 — yis>l

(89)

Так как

ш2

== — У]2 o)J -f- eov3.

d(A

— z ег)

=

ш 1 е,

-f- ш 2 е2 4- «>3 е 3 ,

(90)

где

w3

=

a) 3 - cfe,

(91)

Ц = А - е е 3 .

(92)

Изучение всех подмногообразий

принадлежащих него-

груэнции, проведенного в § 3, гл. 2, если только

иметь в виду

соответствие обозначений

СО'

СО1'

— 7},>,

я - *

— е , г-^Ц

(93)

х

=

- £

( (

U '

• ' - ( X + TfeW ">g + e(q>»)a

( 9 4 )

(«>?)« 4-(<of)«

и параметр

распределения

=

т ; г К ) 2 - 2 £ ш ? а ) 3 - - Х ( т | ) 2

К ) 2 + Ю 2

Определяя экстремумы величины лгг, найдем

точки

Gi.2 =

Д ±

| /

+- - 1 (1 + *),)2

<?3

(96)

и соответствующие

регулюсы

(X + rj2) (ш?)2

- 4вш? «.в -

(X +

=

0,

(97)

которые по-прежнему будем

называть

граничными

точ­

ками

и главными

регул'осами

неголономной

конгруэнции

Регулюсы

* К ) 2 - г

( % + X K u > l - e ( c o ^

= 0

(98)

следует

называть

распределительными.

Уравнения

торсов

принимают

вид (ср. (77))

TJ2 (CO3 )2 -2ECO3 CO3 - Х ( С О « ) 2 = 0 ,

(99)

а их

горловые

точки

Fu=U±V*2

+ xn2 е3

(100)

по-прежнему будем

называть фокусами.

Однако они не образуют никакой поверхности

(если толь­

ко 4*2 не является голономным) и поэтому понятие

фокальной

(см.

(43), гл. 2)

Я / 1 =

Ы К -

(s - Р() М

е, -

{{г + Pi) h + Х>.3} е2,

(101)

где

pi,2 =

±

Vе2

+

Ъ А

:

^2 ~~ произвольное

число.

Из (96) и (100)

следует, что

наше новое

начало

Ц есть

середина

между

фокусами (или граничными точками) и естест­

венно назвать его центром луча

неголономной конгруэнции

(86).

Величина

е имеет инвариантный геометрический

смысл,

представляя

собой в силу

(92) абсциссу центра Ц относитель­

риситетом подмногообразия

(т.

е. неголономной конгру­

энции (86)). Отсюда следует,

что

центральные

конгруэнции

(а1 =

со = 0) характеризуются

совпадением центров Ц и А .

Что

касается средней поверхности и средней

огибающей,

то для неголономной конгруэнции эти понятия так же,

как и

понятие фокальной поверхности, теряют смысл.

Вычислив экстремальные значения параметра распределе­

ния, мы получим

(по аналогии

с § 5, гл. 2) полный и средний

параметры распределения

К = Ре, Ре, =

— е 2

— / 7 ) , ,

(102)

Отсюда

вытекает

геометрическая

характеристика

инвари

анта У.\

Х = Н + г}2.

(103)

Так

как инвариант Я иногда называют анормальностью,

то х можно назвать коанормальностью.

груэнции

будем называть коанормальными.

Эйлерова разность

Я2 —4К

в силу

(96)

будет,

как и

в случае

голономной

конгруэнции, равна квадрату

модуля

расстояния между

граничными

точками:

| G, - ; 0 2

! 2 =

4s2 + (TJ2

+ If =

Н- -

АК.

(104)