Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

кроме тех регулюеов, которые можно присоединить как выше (т. е. по формулам (84)), можно присоединить и дру гие. Именно, из (82) имеем

с\

=с\

= 0,

с2

b -

с3 = 0.

Поэтому можно

положить

с3 = с2Ь.

Таким образом,

три константы

(с\ с2

cij)

остаются

про

извольными, т. е. можно присоединить

с ю 3 регулюеов. При

этом

горловые

нормали

для

соответствующих

лучей

пары

будут

параллельны,

так как е\

=с\е1

и у присоединенного

регулюса

= const

в силу (81).

Наконец, пусть

исходный

регулюс

имеет

натуральные

уравнения

b = const,

Ар -+ Ва +

С = 0,

А, В, С = const.

(85)

Учитывая

(82) и (83), можно

положить

Но тогда

с\

= —Ьс\.

(86)

А =

с\

—bc\

Ьс2с\ + с3с\

Если

АЬ Ф В, то возможно только предыдущее

присоедине

ние. Если

же В = АЬ, то,

положив

Ас\

[Ьс2-\-с3)

+ с\ С = 0,

(87)

можем задавать с1,

с2, с3 и с\

произвольно,

а с\

и с3

опре

делять по формулам (86) и

(87). Таким

образом, к

регу-

люсу

b = const, р + ab =

const

(88)

можно присоединить,

кроме

тех,

которые

указаны

выше,

еще о о 4 регулюеов

неизменной

связью

реперов.

Легко

проверить,

что и для

присоединенного

регулюса

имеют

место

натуральные

уравнения,

аналогичные (88):

b* = const, р* + a* b* = const.

Заметим еще, что для всех присоединенных регулюеов

е\ =с\ех

+с\{е2-Ье3).

(89)

Следовательно, проекция горловой нормали любого из оо 4 присоединенных регулюеов на касательную плоскость в гор ловой точке исходного имеет одно и то же направление.

123

Резюмируем полученные результаты 1. К любому ретулюсу можно присоединить, по крайней

мере, о с 2 регулюсов с неизменной связью реперов. При этом у всех присоединенных регулюсов горловые нормали соответ ствующих лучей совпадают с горловой нормалью соответству ющего луча данного регулюса.

2. К поверхности откоса (b = const) можно, кроме того, присоединить о о 3 поверхностей откоса с неизменной связью реперов.При этом для соответствующих лучей горловые нор

мали исходной и присоединенных поверхностей				параллельны.
3. К регулюсу b =		const,	а 4- pb — const можно,		кроме
того, присоединить	о о 4	регулюсов того же класса. При этом
проекции горловых	нормалей		всех присоединенных		регулю
сов на касательную	плоскость		в горловой точке	соответству
ющего луча исходного параллельны.
		Глава 2
ЛИНЕЙЧАТЫЕ			КОНГРУЭНЦИИ

Метрическая теория конгруэнции излагалась в целом ряде монографий. Наше изложение наиболее близко к соответству ющим разделам монографии С. П. Финикова «Теория конгру энции» (М.—Л., 1950). Существенной особенностью является рассмотрение подмногообразий, т. е. семейств регулюсов, на которые может быть расслоена конгруэнция. Такое рассмотре ние приводит к необходимости пользоваться полуканоничес кими реперами конгруэнции и ее фокальных поверхностей.

§ 1. Включение элемента в репер

Геометрический образ Фг, элементом которого является прямая линия, называется конгруэнцией. Если в уравнении прямой

	R = P + le			(1)
считать р и е вектор-функциями двух			параметров,	то мы
и получим наш образ	Ф2 — конгруэнцию.			поло
Включая элемент (1) в репер {г,			мы можем
жить		— р\\е3,
е3	= е, г			(2)
то есть	5 е 3 = 0 ,	8г\|\|е3 ,		(3)

124

где, как обычно, 8 означает дифференцирование по вто

ричным

параметрам.

Пользуясь

теми

же

обозначениями,

что

и в главе

1, мы будем

иметь формулы

вида (3), (4), (5)

этой

главы,

но теперь

W и ш-J будут

линейными

комбина

циями

двух

дифференциалов. В силу (3) имеем

тс? =

тс| =

тс§ =

тс3

= 0 ;

rJ =

т с 2 = 0 ,

(4)

и остается всего два нефиксированных

вторичных

парамет

ра,

соответствующие формам

тс? и тс3 . Исключив из

формул

2 | = СО3 , 2 3

= 0)3, Q i

СО*, 2 2

= CD2

(5)

дифференциалы

двух

первичных

параметров,

получим

два

основных

соотношения. Примем

формы

ю? и ш3

за

базис

ные,

т. е. предположим,

что

К < о ? ] ¥ = 0 .

(6)

Этим исключены из рассмотрения так называемые

цилинд

рические

конгруэнции,

т. е.

конгруэнции,

расслаивающие

ся

на

оо 1 цилиндров.

самом

деле,

если

[ ш 3 , cof] = 0

то

есть

a c o 3 + p c u l = 0 ,

(7)

то для подмногообразия

х ¥ г ,

имеющего

уравнение

<о;2

= 0

получаем

ш| = 0 и de3

= 0,

т. е. это

подмногообразие

яв

ляется

цилиндром

Учитывая (6),

можно

основные

соотношения

(см. ч. 1,

гл. 3,

§ 2) записать в

виде:

2 1

= a 2 3

62f,

(8)

2 2

t V 2 3

+cQ* .

Внешнее

дифференцирование

их (с учетом уравнений

струк

туры

(1.14)) дает:

[da-(b

+ b')Qj - f 23 , 2 3 ] +•

(9)

2 3 ] = о,

+ [db + (a-c)Q\,

[db' + (a-c)Q{,

QU + [dc-\-(b + b')Q\ +

^3 , 2 | ] = 0 .

Применив

к этим

соотношениям

лемму

Картана

(см. ч. 1,

гл. 1, §5), мы

получим,

что

левые

части

всех

четырех

произведений линейно

зависят

от первичных

форм Й3 = со?,

23 , = ш3,. Следовательно,

соответствующие

вторичные

фор

мы

равны нулю,

т. е.

Ьа = {Ь + Ь') «?

тс3 ,

W =

(а - с) тс? ,

ЬЬ = -

(а -

с) тс? , 8с = —

(Ь + V) тс? - тс3 .

(Ю)

125

Соотношения (10) уже позволяют (в общем случае) произ вести как полную канонизацию репера, приводя к нулю обе вторичные формы, так и построение полуканонического ре


пера, приняв	одну из них за полувторичную							(см. ч. 1, гл. 3,
§ 6). Только	в частном случае b-\-b'					=	a — с = 0			придется
«продолжить»	основные		соотношения.			Луч,			для	которого
b - j - b' = (а — с) — 0, называется					изотропным,				и	конгруэн
ция, все лучи которой изотропны, также называется										изотроп
ной. Такие лучи и конгруэнции				мы	пока		исключаем			из	рас
смотрения (см. о них ниже, § 21).
Эти же формулы		(10) дают возможность						найти некоторые
инварианты	конгруэнции,		исключая			я}	и	я 3 . Например,
имеем		5 ( 6 - Ь') = 0 .								(11)

Следовательно, # =		(Ь — Ъ')		есть	инвариант.				Однако		мы

предпочтем получить сразу полную систему инвариантов, за

дание которых определяет наш геометрический	образ Фг
вплоть до движения.
§ 2. Простейшие канонические реперы.	1
Полуканонический репер

Формулы (10) дают различные возможности фиксации ка нонического репера. Прежде всего, однако, бросается в глаза,

что
о(а	+ с) = -2кя.		(12)
Это дает возможность	осуществить	фиксацию
а + с = 0, - 3 =		0,	(13

одинаковую для любого выбора фиксации формы ъ\. Те

перь имеем
За = (b + Ь') п\,		ob = - 2аъ\, ЬЬ' =	-	2а*?.	(14)
Отсюда видно, что возможны следующие				простейшие	фик
саций репера*):		= 0 , b + b' Ф0,
	1) а = 0,	= 0 , b + b' Ф0,			(15)
(первый	канонический	репер),
	2) b + b' = 0, я? = 0 , аФО,				(16)
(второй	канонический	репер).
Можно осуществить и более общую фиксацию
\а 4- у-Ь -4- чЬ' = 0; I , ц, v = const,			к\	= 0.	(17)

*) Н а п о м н и м , чт о с л у ч а й а = Ь - [ - & ' = 0 и с к л ю ч е н н а м и из р а с с м о т р е ния (это — и з о т р о п н а я к о н г р у э н ц и я ; см . § 21) .

126

Фиксации (15) и (16) являются предпочтительными, так как дают максимальную симметрию формул, а следовательно, рав ноправие базисных дифференциальных форм со3 и cof.

Если же мы оставим форму я 2 нефиксированной и примем ее за полувторичную, то мы получим полуканонический репер (см. ч. I , гл. 3, § 6), для которого величины a, b и Ь' будут являться инвариантами. Мы выпишем здесь деривационные формулы и основные дифференциальные уравнения для полу канонического репера, так как соответствующие формулы и уравнения для простейших канонических реперов всегда мо гут быть получены из них, если положить а = 0 или b-\-b'—0. Деривационные формулы имеют обычный вид:

			dr	= со'	et,
		dei		ш/	ej,
причем		ш/ +		со) =	0,		(18)
причем				аш\ +	Ьл\,
		со'	=	аш\ +	Ьл\,		(19)
		со2	=	b' cof — асо\|			(19)
		со2	=	b' cof — асо\|
в силу (8)	и (13). Для	остальных форм				положим
	to3 =/7cof +	q<a\, со? =			Лю? +	&со\| .	(20)
Уравнения	структуры	приводят			к выражениям для		внеш
них дифференциалов базисных					форм:
	D<o» = Л [ < 0 « ,		<»*], Deo3 = k [cof со?]				(21)

и к основной системе дифференциальных уравнений:

[dh,

ш»] +

[dk,

ш32] =

-(h*

+ k2

4- 1) [ш* m|],

[dp,

cof] 4-

[cty, o>|] =

(b' — b — ph — qk)

[cof cof] ,

(22)

[rffl,

cof] 4- \db,

©S] =

{ ? - £ ( £ +

6') — 2aA} [cof cof],

[dfc'.co3] _

[da,

<o§] =

{2ak

— h{b

+ b') -

[cof cof].

Так

как

эта

система

имеет стандартный

вид

и тз = 0, то

в силу теоремы

Бахвалова (ч. I , гл. 2, § 11)

ее общее решение

зависит

от

трех

произвольных функций

двух аргументов, что

и составляет произвол

существования

конгруэнции Ф2 , отне

сенной

к произвольному

подмногообразию

(ср. ч. I , гл. 3,

§6).

Вслучае канонического репера в силу соотношения (15) или (16) число неизвестных функций уменьшится на одну, но система (22) останется стандартной. Поэтому произвол су ществования конгруэнции, как таковой, составляет две функ ции двух аргументов. Функции р, q, h, k и две из а, Ь, Ь'

127

составляют полную систему инвариантов конгруэнции в том смысле, что задание их определяет конгруэнцию с точностью до произвольного преобразования движения, т. е. до поло жения в пространстве.

§ 3. Простейшие подмногообразия. Геометрическое строение канонических реперов

Если конгруэнция отнесена к одному из канонических ре перов, то уравнение

А 2 < в » - > м а > » = 0 ,				(23)
где X, и Х2 — некоторые функции	главных	параметров, оп
ределяет некоторое ее подмногообразие Тг.		Так как в урав
нении (23) всего два независимых	переменных, то оно			всег
да вполне интегрируемо. Следовательно, Y ,			состоит	из о о 1
регулюсов. Если )м и Х2 — заданные функции,			то через каж

дый луч конгруэнции проходит один регулюс (23). Полагая

	й)?:ш\| =Х, :Х2 ,						(24)
подсчитаем абсциссу х горловой точки					г г = г + хе3		регу
люса (23), а	также	параметр		распределения		р. Пользуясь
формулами (40) и (42), гл 1, немедленно					получаем:
х —	(dr,	de3)	_	ш1 со, -4- а>2	со?.
	(de3y			(«>?)' + К )2
							(25)
	(dr, de3, е3)			со1 cuf — ш2 cof

	(de3?			(со?)2 + (<«i)2
или в терминах полуканонического репера (а						при (15)	или
(16) —в терминах одного			из	простейших		канонических):
~ =	а ( щ ? ) 2	+ (6 + г/)ш? с о 3 - а ( с			о З ) 2
		( с о ? )* +		( ш з ) ,
; _	-ь'Н)2	+	2асо« «,з +ь№Г		_		( 2 7 )

( Ш 3 ) 2 + ( Ш 3 ) 2

Чтобы довести эти формулы „до числа", надо, конечно, под ставить вместо ы? и а>1 значения (24). Однако удобнее поль зоваться выражениями (26), (27). Заметим, что по своей структуре правые части обеих формул (26) и (27) имеют такой же вид, что и формула для нормальной кривизны линии на поверхности (см. [20], стр. 316), т. е. представ ляют собой отношения двух квадратичных форм. Как из вестно, экстремали и экстремальные значения нормальной

128

кривизны дают важнейшие подмногообразия (линии кривиз ны) и инварианты (главные нормальные кривизны) поверх ности. Естественно поэтому, по аналогии, отыскать экстре мумы хе, р е и экстремали величин х и р .

Записав (26) в виде

(а -

х) ( с о ? ) 2 +

ф +

m s

( f l +

(

ш з

= о

(28)

и продифференцировав это соотношение по

ш\ и ш\,

по

лучим:

2 ( а -

л) «в? +

(6 +

£')

<о»

= 0 ,

(29)

(& +

&') «•>? - 2 (а +

* ) и>»

- 0 .

Исключив х, получим уравнения экстремалей

(Ь + * ' ) К ) 2

— 4аш? ш| -(Ь

+Ь')(а>*)* =

(30)

Исключив

же

найдем

уравнения

для

определения

экстремальных

значений

хе:

~ x l - a 2

— (b +

b')2=0.

(31)

Дискриминанты

Д! и Д2

уравнений

(30)

и (31)

всегда

поло

жительны:

Д, = 4а 2

+ (Ь +

б')2 ; Д2

-f- — (6 + б')2

(32)

(случай 6 + й ' = а = 0 — изотропной конгруэнции у нас исклю чен). Поэтому уравнения (31) определяют два экстремальных

значения абсциссы горловых	точек — х е„	хе»	а уравнения
(30) — два подмногообразия,	для которых	эти	экстремумы

достигаются. Регулюсы, для которых абсциссы горловых то чек достигают экстремума, называются главными регулюсами

конгруэнции, а их горловые точки — граничными			точками
луча конгруэнции.
Аналогичное рассуждение приводит к тому, что параметр
распределения принимает экстремальные		значения	ре , оп
ределяемые уравнением
~p\-r-(b'-Ь)ре—ЬЬ'-а*	= 0		(33)
для экстремалей,	определяемых уравнением
а К ) 2	4- (b + Ь') ш? ш» — а (ш32)? =	0.	(34)

Дискриминанты уравнений (33) и (34) также положительны. Поэтому уравнения (34) всегда определяют два подмногооб-

9. Заказ 6667.

129

разия, для которых р	достигает экстремума. Они	называются
распределительными	регул юсами конгруэнции.	Корни урав

нения (33) являются параметрами распределения этих регу


люсов и называются главными параметрами					распределения
конгруэнции. Из формулы (31) сразу				следует, что начало		лю
бого репера, определенного фиксацией				(13), есть одна и та же
точка — середина	отрезка	между граничными			точками.	Она
называется центром луча		конгруэнции.
Из формулы (34) следует, что для первого канонического
репера (фиксация	(15))	регулюсы	coi3 (о2 3 =		0 («координат
ные» подмногообразия)		являются	распределительными.			Из

формулы (32) заключаем, что для второго канонического ре

пера координатные подмногообразия со3! ю2 3 =						0 суть		главные
регулюсы. Так		как			( f l t e s ^ o l l e , ,			(35)
		( ^ 3 ) ш з	= 0	\\е2,
то векторы ех		и е2	для	всех	рассмотренных	в	§ 2	реперов
являются	горловыми		нормалями координатных				подмногооб
разий ©г3	= 0 и со31 =		0 соответственно.

Этим завершается геометрическая характеристика пост роенных в § 2 реперов. К числу простейших подмногобразий конгруэнции следует отнести и торсы конгруэнции. Они оп

ределяются уравнением р — О, т.	е. квадратным	уравнением
6'((«?)2 -2аш? ш\| -	6(а>5)» = 0.	(36)

Исследование этих подмногообразий приводит к основным ассоциирующимися с конгруэнцией поверхностям, к рассмот рению которых мы и переходим.

§	4. Фокальные поверхности,
средняя	поверхность,	средняя	огибающая
Так как дискриминант уравнения (36)
	\f=a*	+ bb'	(37)

может быть положительным, отрицательным или равным ну лю, то следует различать эти три случая.

Если А / > 0 ,	для данного	луча, то через этот луч проходит
два различных	торса. Такой	луч называется	гиперболическим

лучом (по аналогии с гиперболической точкой поверхности, через которую проходят две различные асимптотические ли

нии). Если Af<iO, то	через луч не проходит			ни	одного	дей
ствительного торса • (луч		называется	эллиптическим).			Если
\ f = 0, то оба торса	(36)	сливаются	в один	(луч	называется
параболическим).

130

Точки луча, принадлежащие горловым линиям проходя щих через него торсов, называются фокусами луча. Иными словами, фокусами луча конгруэнции являются фокусы про ходящих через этот луч торсов, принадлежащих конгруэнции (см. § 4, гл. 1). Гиперболический луч имеет, очевидно, два действительных фокуса, параболический луч — один, эллип тический— ни одного. Чтобы найти ф о к у с / ? = r - j - ре 3 , заме тим, что для него

то есть

dF\\e3,

ш1

-f- р и>1 = О,

или

w» + p < o j = 0

(38)

(а —- р)

ш 3

- | -

feto3 =

О,

Ь'а\

(p +

a)m 2 3 = 0.

(39)

Исключая

из

(39)

р,

снова

получим

уравнения

торсов

(36),

а исключая

ш 3 : ш 3

придем

квадратному

уравнению

для

определения

фокусов

р2 -

а2

ЬЬ' = 0.

(40)

Итак, фокусами луча являются точки

Fx,2

= r±Va2

bb'e3.

(41)

Отсюда сразу следует, что центр

луча

является

се

рединой отрезка между

фокусами для гиперболического

луча

4- F;

г =

—

В случае

параболического

луча F\^

эта

формула сохра

няет смысл: оба фокуса совпали с центром. В случае эллипти ческого луча точки (41) — мнимые, но точку г по-прежнему можно считать (формально) серединой между ними. Поэтому центр луча конгруэнции есть аффинно-инвариантное понятие. Что же касается фокусов, то они даже проективно-инвари- антны, так как понятия торса и его фокуса — проективно-ин- вариантны.


Геометрические места		фокусов Fx и F2 ,				соответствующих
всем лучам	конгруэнции	(в	той	области,		где	они действи
тельны и	где, конечно,	все	функции		удовлетворяют			всем
обычным	дифференциально-геометрическим					условиям),		суть
в общем случае поверхности, так как являются							годографами
вектор-функций двух переменных.				Эти	геометрические			мес
та называют фокальными		поверхностями			конгруэнции			(хотя,

как мы увидим ниже, они могут вырождаться в линии и да

же в точки). Их касательные	плоскости (если они существу
ют) называются фокальными	плоскостями. Каждому гипер-
э*.	131

болическому лучу соответствуют, вообще говоря, две фокаль ные плоскости, каждому параболическому лучу — одна.

Следующие	три простые			теоремы показывают			важность
фокальных элементов для изучения геометрического							строения
конгруэнции.
Т е о р е м а	1. В фокусе		гиперболического			луча все прохо-
• дящие через «его регулюсы конгруэнции (кроме одного								торса)
имеют общую касательную плоскость.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Нормаль		регулюса	(23)	в	точке
F — г + ре3 есть		вектор
«/II [dF,		е3] = (со2	+	р©\|) ех	— (с»1 + pa>J) е2,			(42)
		со3	: со\| — \ х : Х2.

Эта формула теряет смысл в силу (38) для того торса, ко

торый имеет точку F своим

фокусом. Для

остальных

же

регулюсов в силу

(19)

имеем

« / I I { Ь ' — (Р + a)w\] ех

— {(а — р) of +&«>!} е,.

( 4 3 )

Рассмотрим

два различных

регулюса

вида (24):

cof : со| =

) м : Х2 ,

ш| : со?, = p.j: р,.

Их

нормали

совпадут,

если

(а — р) Xt - f Ьк2

{а — р) t*i -4- b\>2

или

b' X, — (а +

р) Х2

b' Vi — (a + р) \>.2

(ЬЬ' + а* - Р 2 )(Х2

щ - \

сц) = 0.

Но

это равенство

имеет

место при

любых

Xf , р./ (/ =

1,2)

в силу (40). Теорема

доказана.

Т е о р е м а 2. Общая

касательная

плоскость

подмногооб

разий W\ в фокусе луча есть фокальная плоскость.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Нормаль

фокальной

поверхности

(41)

вычисляется так:

n\\[(dF)ml

= 0

№ ю з = = 0 ] | 1 { с У ( р 2 + <7) +

(44)

+ (р + a)(Pi + Р)} et - {(а -

где р! и р2 суть коэффициенты dp = р! cof

Р )(р2 + g ) - b { P l + p ) } е2,

из равенства + р 2 ю | .


Нетрудно видеть,	что вектор		п	совпадает с вектором	nf,
так как последнее	выражение		в (44) получается из правой
части (43), если положить		ш 3 : со\| = — (р2 + q): (pj + р ) ,			а вы
ражение (43) имеет одно		и то же значение при любом			зна
чении отношения	ш? : ш 3 . Теорема			доказана.
Т е о р е м а 3.	Если все лучи конгруэнции — параболиче
ские, то она состоит из касательных к асимптотическим					ли-

132

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ