книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

б. Безвихревое вращение жидкости. Если жидкость вращается против часовой стрелки, то для определения <р имеем уравнения:

а эквипотенциальные поверхности также, очевидно, представляют собой пучок плоскостей, проходящих через ось Oz.

Следует указать, что. используя свойство ортогональности линий тока и эквипотенциальных поверхностей, можно в ряде про­ стых случаев определить форму и положение последних непосред­ ственно, исходя из рассмотрения линий тока п не прибегая к опре­ делению ср. В частности, это можно было бы сделать и в приве­ денных выше примерах.

80

ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

ГЛАВА VII

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ГИДРОМЕХАНИКЕ

Уравнения, которыми оперирует гидромеханика, являются ма­ тематическим выражением фундаментальных физических принци­ пов, именуемых законами сохранения. Это, в первую очередь, за­ коны сохранения массы, количества движения и энергии. Первый из них выражает условия баланса массы рассматриваемого веще­ ства и на нем базируется вывод уравнения неразрывности. Закон сохранения количества движения дает возможность сформулиро­ вать уравнения движения, а закон сохранения энергии — уравне­ ние теплопроводности среды.

§ I. ВЫВОД И АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Рассмотрим массу, содержащуюся в объеме <5т, т. е. рбт. Из факта сохранения массы * вытекает, что полное изменение массы за единицу времени равно нулю, т. е.

rfpB-i _

мени, т. е. является дивергенцией скорости. Тогда из (7.2) следует

dt

*Масса может только переходить из одном формы и другую, но общее ее количество остается неизменным.

Соотношение (7.3) представляет собой уравнение неразрыв­ ности. являющееся математическим выражением условия неизмен­ ности общей массы. Раскрывая индивидуальную производную, формулу (7.3) можно переписать в виде

в точке обусловлено лишь разностью потоков .массы, втекающих п вытекающих пз единичного объема за единицу времени, а всевоз­ можные ее источники равны нулю.

Рассмотрим частный случаи движения, при котором плотность в каждой зафиксированной точке потока нс меняется во времени,

гося движения любой жидкости, во-вторых, в случае любого дви­ жения несжимаемой однородной жидкости.

(5

ности а, образованной частью трубки тока и двумя ее произволь­

82

Далее, ип в написанных интегралах представляет собой проек­

цию скорости на внешнюю по отношению к поверхности о нор- ->

маль п\ в сечении щ нормаль направлена противоположно ско­

рости. Если же ввести проекции скорости на нормаль п', направ­ ленную в сторону движения жидкости, то в сечении гч : v„ = —tv а в сечении сто: v„ = v„> и

ф Р’„с1з = | pv„>ch — j ovn, do.

С другой стороны, на на основании теоремы ОстроградскогоГаусса

ф рvndo — | cliv civ d-,

(з)

где т — объем, ограниченный поверхностью гг. Так как при усло-

Линии тока не могут ни начинаться, ни заканчиваться внутри трубки тока, ибо при отсутствии локального изменения плотности масса жидкости, протекающая за единицу времени через любое поперечное сечение трубки тока, является величиной постоянной для данной трубки тока.

Впрочем справедливость этого утверждения можно понять н непосредственно: если бы массы, протекающие через два сече­ ния одной и той же трубки тока, были бы различны, то имело бы место изменение массы жидкости, заключенной между сечениями. Это вызвало бы изменение плотности в соответствующих точках по­ тока, что противоречит условию.

Трубку тока, имеющую столь малые поперечные сечения, что в точках одного и того же сечения плотность и скорость можно считать величинами постоянными, мы будем называть элементар­ ной трубкой тока. Для элементарной трубки тока, у которой п представляет собой нормальное к линиям тока поперечное сечение,

J ptv do — puo и полученный нами результат принимает вид

(»)

во всех сечениях одной и гоп же трубки токи. Это условие назы­ вают уравнением неразрывности для. трубки тока.

которое п является самым общим видом уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости.

В декартовых координатах полученное соотношение имеет вид

Уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости можно придать форму, весьма удобную для решения практических задач.

Это значит, что в случае несжимаемой жидкости объем ее, про­ текающий в единицу времени через любое поперечное сечение труб­ ки тока, является величиной, постоянной для данной трубки тока.

В частности, при движении несжимаемой жидкости по трубе переменного сечения мы можем писать:

~ r‘4V-j -

где ciqi, п аСр. — осредненные по соответствующим сечениям зна­ чения скорости. Иначе говоря,

с ер .

т. е. в случае движения идеальной жидкости величина среднеп но сечению скорости меняется обратно пропорционально величине площади поперечного сечения трубы.

84

Для элементарной трубки тока, у которой а представляет собой поперечное сечение, нормальное к линиям тока, мы получаем

во всех сечениях одной н топ же трубки тока, т. е. в случае несжи­ маемой жидкости модуль скорости меняется вдоль элементарной трубки тока обратно пропорционально сечению трубки. Отсюда легко прийти к результату, уже найденному нами выше: расхожде­ ние (сближение) линий тока, т. е. расширение (сужение) трубок тока сопровождается соответствующим уменьшением (возраста­ нием) модуля скорости.

§ 2. УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ ДИ НАМИ КИ В НАПРЯЖЕНИЯХ

I. Внешние силы. Инерциальные и неинерциальные систем координат. Прежде, чем приступить к выводу уравнений, обсудим принципиально важный вопрос о системах координат и связанное с ним представление о действующих па частицу силах.

Перемещение тел. пли, шире, масс в пространстве фиксируется с помощью определенной системы координат. Они подразделяются па инерциальные и иепперцпальные. Примером первой является галилеева система координат, жестко связанная с квазппеподвнжпымп звездами. Известно, что если некоторая координатная систе­ ма является галилеевой, то и любая другая, движущаяся но отноше­ нию к пей прямолинейно п равномерно суть также галилеева. По отношению к ним справедлив принцип инерции Галилея—Ньютона, утверждающий, что тело, достаточно удаленное от других тел, со­ храняет состояние покоя пли равномерного прямолинейного движения. В них выполняются все законы Ньютона. Однако с практической точки зрения удобно формулировать законы дви­ жения пе в абсолютных, а относительных системах координат, имеющих ускорение по отношению к неподвижным звездам. Это. так называемые, непнерцпальиые системы координат. В них зако­ ны Ньютона в своей канонической форме не выполняются. По­ мимо сил, вызываемых действием тел друг па друга, появляются дополнительные силовые факторы, связанные с наличием ускоре­ ния системы. Это силы инерции, которые должны быть добавлены к фактическим. Само абсолютное ускорение слагается, во-первых, из относительного, связанного лишь с движением тела пли, в слу­ чае сплошной среды, частицы, во-вторых, переносного, зависящего лишь от переносного движения, и, в-третьих, ускорения, связанного с характером и относительного п переносного движений. Послед­ нее суть ускорение Кориолиса.

Подчеркнем одно важное следствие. В пепнерцпонных си­ стемах координат пе может быть изолированных систем, ибо силы инерции всегда являются внешними. Из второго закона Ньютона

85

Действительно, рассмотрим течение с распределением скоро­ стей соответствующим чертежу (рис. 7.2).

На горизонтальную площадку 1 действуют как касательные (силы трения), так п нормальные напряжения*, а на площадке 2, расположенной перпендикулярно к течению, имеет место лишь нормальная составляющая, а силы трения отсутствуют. В любом промежуточном положении, коих может быть бесчисленное мно­ жество, происходит перераспределение касательных п нормальных напряжений, т. о. характер напряжения меняется. Именно это

обстоятельство мы имели в виду, записав напряжение в внде/?->,

п

где индекс п указывает направление нормали к площадке, т. е. ее ориентацию.

При количественном описании напряжений встает вопрос о том, как избавиться от произвола в ориентации площадки. Очевидно,

для этого необходимо напряжение р >разложить на усилия, прило­

женные к площадкам, ориентация которых фиксирована с по­ мощью выбранной системы координат. Наиболее простым и есте­ ственным представляется случай, когда они совпадают с коорди­

натными плоскостями. Тогда (рис. 7.3) р . разложится на три век-

-*■ г >

тора р-х, р-ц, приложенных к элементарным площадкам, сов­ падающим, соответственно, с плоскостями yOz, xOz, хОу. Ориен­ тация последних определяется заданием их внешних нормалей, ко­ торыми являются ~х, -—у, --Z, что п отмечено индексами у запн-

87

санных выше векторов. Из принципа равенства действия и проти­ водействия следует, что р-х= —рх, р~у— —ру, ~Р-г— —р*, т. е.

Рассмотрим результирующий эффект, оказываемый действием этих сил на выделенный на рис. 7.3 объем dx— dxdydz. Ясно, что

Z

88

Аналогично по оси у будем иметь: ^J^-dxdydz и, наконец, по х:

—V

dxdydz. Таким образом, на выделенный объем действует сила

Это и есть разность потоков количества движения, приходящая­ ся на единицу объема и выражаемая дивергенцией напряжения. Заметим, что, если обе части разделить иа р, то получим силу, отне-

1

сенную к единице массы, т. е. — div р+ — массовая сила.

координат, так что:

Px = iP xx + J pxy + k P xli

Ру —1Pyx+ j Руу+ ft Руг -

P x = iP zx+ jP *y + b Pzx ■

Таким образом напряжение р-> в координатной форме выра­

жается совокупностью девяти величин, т. е. представляет собой тензор второго ранга вида

Или в тензорных обозначениях

Следовательно, р->- можно представить в виде

89