книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

характер турбулентности определяется градиентом скорости и кри­ визной ее профиля, от которых зависит возможность п степень впхреобразованнй в потоке. Анализ размерностей приводит нас к простои формуле

dvx

I= X dz d1 v x '

dz-

где у. — эмпирическая константа.

Ее можно переписать несколько иначе:

d I d v . y '

dz Vdz

Если скорость потока не параллельна осп .v, то последнее вы­ ражение легко обобщается и на этот случаи, приобретая вид

IS.5)

d Г/rf-z',.

IF [ Г Д т

Формулы (18.4) или (18.5) в принципе позволяют замкнуть за­ дачу, ибо, с учетом (18.1), сможем для коэффициента турбулент­ ности записать выражение:

Здесь принято /„ = /.

Однако обе рассмотренные схемы являются с физической точки зрения весьма грубыми и, кроме того, справедливы только для слу­ чая нейтральной стратификации. Расширить сферу их применения и уточнить можно с помощью уравнения баланса турбулентной энергии, которое в данном кратком очерке мы рассматривать не будем.

§ 2. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ГЛАДКОЙ ПЛАСТИНЫ

Для иллюстрации применения идей теории пути смещения п выявления отличий между ламинарными и турбулентными тече­ ниями, обратимся к простейшему, но принципиально важному примеру. А именно, рассмотрим движение несжимаемой жидкости

22U

I

вблизи поверхности плоской гладкой стенки бесконечной протя­

в области, находящейся вблизи стенки, то в задаче справедливы приближения пограничного слоя. Это означает, что изменение на­ пряжений по // значительно превосходит изменение их по .v. Поэто­ му логично оставить только производные от напряжений по // п не учитывать производных по .v. В такой постановке уравнения лами­ нарного движения вырождаются в лишь из первого следует ра­ венство

Интегрируя это соотношение, получим o.v = C//+Cy

Таким образом, имеем линейный профиль скорости. Постоян­ ные интегрирования легко определить, зная, что vx i v о = 0 , н по­

лагая известной величину напряжений на стенке тц = р сь!

В случае турбулентного движения вся система уравнений в на­ шем случае сводится к равенству

г) v'y г[,

Интегрирование этого равенства даст

--vx'v,( = С2.

При j/->0 —>0, а следовательно, v / v , / —.>0. Поэтому С2 должно быть равно то, т. е. в самом тонком, непосредственно прилегающем к стенке слое, движение должно быть ламинарным (ламинарный подслой). При удалении от нее турбулентная вязкость начинает доминировать п влиянием молекулярного трения можно прене­ бречь. Поэтому

—[I ул/у,/ = т0= const.

221

С учетом (18.6) последнее равенство может быть переписано в виде

или, с использованием гипотезы Прандтля относительно пути сме­ шения 1 — у.ц, приходим к уравнению

После интегрирования получим

Сравнивая (18.7) и (18.8), мы убеждаемся в том, что в турбу­ лентном потоке имеет место совершенно другое распределение ско­ ростей, чем в ламинарном *. При этом, как и следовало ожидать, профиль скорости при наличии турбулентности внизу изменяется значительно быстрее, что связано с большей интенсивностью обме­ на количеством движения.

В заключение заметим, что постоянную С% следует определять из условия сопряжения турбулентного слоя с ламинарным под­ слоем. ибо логарифмически!) профиль не может быть проэкстраполирован вплоть до самой стенки.

* Разумеется, этот вывод справедлив не только по отношению к дампов за даче, во мосмт общий характер.

222

Cy.MMoii (разностью) тензоров является тензор, компоненты ко­ торого представляют собой сумму (разность) компонент слагае­ мых. Для тензора второго ранга, например, имеем

Ясно, что складывать (вычитать) можно лишь тензора одного ранга и в результате получаем тензор того же ранга. 1 1о сути дела речь идет о сложении или вычитании двух аналогичного вида матриц.

Умножение тензора на скалярную величину а сводится к умно­ жению на псе всех его компонент, т. е. а (а • J - - (а <7у ).

Внешним произведением тензоров называется новый тензор, ранг которого равен сумме рангов сомножителей. Его компоненты представляют собой всевозможные комбинации произведений ком­ понент сомножителей. Пример произведения тензоров первого

г- г — >

ранга дает диада a v (v -■ скорость)

В итоге получаем тензор второго ранга. Аналогично при умно­ жении тензоров второго ранга и,- , ft/,,,, получаем тензор четвертого

ранга аикт — аи ft,,,,,.

224

Существует тензор, называемый единичным, при умножении на который каждый тензор 2-го ранга переходит сам в себя. Он обозначается U, а его компоненты б,у , причем 6,у = 1 , если /—/

и бг/- = 0, если i ф /. Таким образом,

Тензор может быть симметричным или антисимметричным по паре индексов, если при их взаимной перестановке его компоненты или не меняются (симметричный) или изменяют свой знак на про­ тивоположный (антисимметричный).

Поэтому, если 5,- симметричный тензор, то

<?..— S-.

Легко убедиться, что это эквивалентно равенству компонент, расположенных симметрично относительно главной диагонали, так что справедливо следующее:

Следовательно, у симметричного тензора имеется лишь шесть не­ зависимых компонент.

Для антисимметричного тензора Л/у должно выполняться усло­ вие A u = — Ajt .

Ясно, что все диагональные элементы антисимметричного тен­ зора равны нулю, при i—j имеем А н = — A it, т. е. величина равна

себе самой с обратным знаком, что означает Л,•,= (). Матрица для

В этом случае имеется три независимых компоненты.

Все рассмотренные операции над тензорами отражают конкрет пые свойства величин, с которыми приходится сталкиваться в раз­ личных областях физики и, в частности, гидромеханике.

226

228

Д и ф ф е р е н ц и р у я (Б . 5) по к а ж д о й из к о о р д и н а т , п о л у ч и м

И л и , п о ск о л ь к у еу— орты , то {eyeу) = | ву| 2 = I .

П о э т о м у

В св о ю о ч е р е д ь , п р о д и ф ф е р е н ц и р о в а в (Б . 1), п р и х о д и м к с о о т ­ н о ш е н и ю

дг __ дх{ г

229