книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

Поскольку движение жидкости происходит без ускорения, то работа сил тяжести должна затрачиваться только на преодоление

Как и следовало ожидать, A — D\.

ГЛАВА XI

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

§ I. ПОНЯТИЕ ПОДОБИЯ

При установлении количественных закономерностей, характе­ ризующих какой-либо физический процесс, могут быть использова­ ны два метода. Первый сводится к экспериментальному исследо­ ванию, второй основан на аналитическом решении дифференциаль­ ных уравнений, описывающих рассматриваемое явление. Достоин­ ство первого в его конкретности, непосредственной реализуемости результатов. Однако, с другой стороны, это же является его сла­ бым местом, ибо полученные выводы применимы только к данно­ му единичному факту и непосредственно не могут быть обобщены и распространены на другие сколько-нибудь отличные, пусть даже родственные по своему физическому содержанию, явления. В отличие от этого методы математической физики характеризуют-

U0

ся чрезвычайной общностью подхода, ибо выведенные уравнения, базируясь на фундаментальных законах природы, охватывают всю совокупность явлений данного класса, но и тем самым обезличи­ вают конкретное явление. Например, уравнения гидромеханики описывают класс явлений, связанных с любым движением жидкой среды, не учитывая ни геометрической конфигурации системы, ни ссловпй ее взаимодействия с окружающей средой. Для того, чтобы выделить интересующий нас процесс из всей совокупности (клас­ са), охватываемой соответствующей системой уравнений, необхо­ димо однозначно задать условия, определяющие его специфику. Сюда, как уже указывалось, относятся:

а) геометрические характеристики системы (размеры, конфи­ гурация) ;

б) параметры, характеризующие ее физические свойства (на­ пример, вязкость жидкости, ее теплопроводность и т. д.);

в) распределение искомых величин, известных для какого-либо момента времени (начальное условие);

г) значения искомых переменных на границе системы, отража­ ющих ее взаимодействие с окружающей средой.

Эти условия, вкупе с корректно записанными уравнениями, вполне достаточны для математической формулировки любой за­ дачи. Этот метод универсален. Но, к сожалению, его практическая реализация наталкивается, в большинстве случаев, на непреодо­ лимые в настоящее время математические трудности. Это связано со сложностью уравнений, а также граничных и начальных усло­ вий, обычно включающих в себя большое количество взаимозави­ симых величин.

Естественно поставить вопрос, во-первых, о возможности обоб­ щения результатов эксперимента, а, во-вторых, об уменьшении ко­ личества фигурирующих в уравнениях величин или теоретическом анализе процесса.

Ответ на него дает теория подобия, которая в известной мере синтезирует оба метода исследования.

Кроме того, и это очень важно, она позволяет выявить ряд за­ кономерностей физических явлений на основании системы диффе­ ренциальных уравнений (с соответствующими условиями одно­ значности) не прибегая к их интегрированию.

Вначале кратко остановимся на ее предпосылках. В основе здесь, но сути дела, лежит расширение простейшего понятия гео­ метрического подобия. Напомним, что две фигуры геометрически подобны, если одна из другой может быть получена умножением

на некоторый постоянный масштабный множитель к, — -у—(U и 1\

п

какие-либо размеры рассматриваемых фигур). При этом, есте­ ственно, деформации исходного геометрического образа не про­ исходит. Две точки, которые переводятся при этом одна в другую, называются сходственными. Аналогично вводится временное по-

121

жество решений. В этом смысле подобные явления образуют группу — понятие более узкое, чем класс, но более широкое, чем единичное явление.

Между понятиями подобия и размерностей существует тесная связь, ибо пересчет всех величин подобных явлений с помощью постоянных множителей, по сути дела, эквивалентен изменению соответствующих единиц измерения в к раз. К. тому же и соответ­ ствующие формулы для коэффициентов совершенно тождественны соотношениям, связывающим вторичные и первичные размерности Та к кг- = k r k r ]->{v\=L Т~1,

к, = кт-кг кг'2 - [/-] =MLT~* и т. д.

§2. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ

Подобие обусловлено, в первую очередь, физической однотип­ ностью рассматриваемых процессов. Поэтому они относятся к одному классу и описываются одними п теми же уравнениями. Последнее означает, что уравнения должны быть инвариантны по отношению к преобразованиям подобия, т. е. не могут менять своего вида при умножении всех входящих в них величин на по­ стоянные множители. Посмотрим, что это означает на практике.

Имея в виду, что во втором уравнении, на основании свойства подобия, произведен пересчет всех величин, перепишем его в виде

где С,- представляет собой комбинации из масштабных коэффи­ циентов, построенные по типу формул размерностей в виде степен­

* Как указывалось выше, при этом каждая первичная размерность просто должна быть заменена соответствующим коэффициентом.

t* Общее число отличных друг от друга приведенных множителей А'; может быть меньше числа слагаемых в уравнении, ибо часть из них при этом имеет совершенно одинаковый вид.

123

С точки зрения общего подобия систем инвариантность уравне­ ний дает необходимые, но не достаточные условия, ибо без учета начальных и граничных условий, одинаковые системы дадут оди­ наковые решения для разных по своему физическому содержанию процессов. Поэтому аналогичные требования следует наложить также па начальные и граничные условия. Их выполнение даст достаточные условия подобия.

Таким образом, можно констатировать, что для подобия двух систем необходимо и достаточно, чтобы все приведенные множи­ тели /\,, составленные па основании известных уравнении и задан­

124

в (11.7) некоторые приведенные комплексные множители К?, т. е.

Записанные равенства должны выполняться в случае подобия явлений в обоих рассматриваемых процессах, т. е. указанные комплексы, составленные из некоторых характеристик величин явления 1 п 2 должны быть одинаковыми (термин idem — одина­ ковый) .

К. более подробной расшифровке понятия характерных вели­ чин и физического смысла полученных комплексов мы обратимся несколько ниже, после введения некоторых дополнительных опре­ делений.

125

§ОБ ЕЗ РАЗМЕР И ВА НИК УРАВНЕНИИ. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

Все исследуемые величины, так же как и их производные всех порядков, непрерывно меняются во времени и пространстве. Если при этом они остаются ограниченными, то возможно ввести поня­ тие характерных масштабов, которые выбираются следующим образом. Если в математической формулировке задачи фигурируют сами искомые величины, то в качестве характерных целесообразно использовать их средние значения. Обозначив < > знак осред­ нения по ансамблю (множеству реализации) можем для любой из них / записать < /> - =/о (fa — масштаб). Для случая производной масштаб функции выбираем на основе разности ее максимальных (/о) и минимальных (/,) значении

При этом масштаб координат и времени (Лд,о) определяется

Хочется подчеркнуть, что размерность соответствующих величин переходит к масштабам. Индекс «б» и соответствует тому, что означенные им функции и аргументы являются безразмерными.

Наиболее важным выводом из приведенных соотношений является то. что при указанном выборе масштабов средние зна­ чения безразмерных функций и их производных равны единице*.

Сразу оговоримся, что масштаб для какой-либо из величин нс всегда возможно определить в условиях конкретной задачи. Так, например, если рассматривается процесс распространения тепла в неограниченном пространстве, то линейного размера задать не удается. То же но отношению к масштабу времени в случае апе­ риодического процесса.

Вновь обратимся к примеру, рассмотренному в предыдущем параграфе.

* Суть обезризмеривания заключается в том, что мы переходим к новым единицам измерения, которые постулируются самой задачей. Так, если харак­ терным размером является длина какого-либо тела, мы сопоставляем вес ли­ нейные размеры с згой длиной. Она является масштабом измерения для всех подобных процессов, т. е. по сути дела, единицей длины.

126

Сравнивая (11.11) с (11.8'). видим, что выражения тождествен­ ны, причем (11.11) эквивалентно (11.8). В этом смысле масштаб­ ные множители можно трактовать как отношение характерных (средних в указанном выше смысле) значений величин. Таким образом, например,

Следует подчеркнуть, что из всего вышеизложенного следует вывод, что обезразмеренные уравнения при подобии явлений должны быть тождественны. То же относится к начальным и гра­ ничным условиям.

Полученные безразмерные комплексы тина (11.11), состоящие из характерных масштабов для случая подобных явлений должны быть равны. Это требование подобия и, в этом смысле, они могут быть названы критериями подобия. Единичному численному зна­ чению критерия отвечает бесчисленное множество значений вхо­ дящих в них величин, т. е. подобные явления образуют группу.

Все сказанное может быть обобщено по отношению к уравне­ ниям любого типа.

Отметим, что решение безразмерного уравнения с присоедине­ нием безразмерных начальных и граничных условий универсально. Оно относится ко всей группе подобных явлений, а каждый кон­ кретный случай может быть получен из него путем простейшего пересчета, т. е. умножением на соответствующие характерные масштабы. Метод чрезвычайно эффективен, ибо, позволяя полу­ чать универсальные решения, экономит массу сил и времени.

§ 4. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ

Полученные в нашем примере критерии подобия известны как:

»о L

—;— = Re критерий Рейнольдса.

----j— — гг — критерии Фруда,

—j— = Sh— критерии Струхаля.

128

(Индексы везде опущены).

Тогда (11.10) может быть переписано в виде

(Индекс 1 также опущен).

К L

Легко видеть, что критерий Рейнольдса Re = — по фнзпчеvc0 L2

скому смыслу дает отношение сил инерции к силам вязкости

rl.L

(разумеется в среднем); Fr = — — отношение сил инерции к си­

лам тяжести; Ей -- — — —отношение статического напора к диРА’5

намнческому.

Поскольку задание соответствующих характерных значений не всегда возможно по условиям задачи, то критерии подобия могут представлять собой отношение текущих величин к эквивалентной нм по размерности комбинации из заданных внешних параметров. Примером служит: выписанный выше критерий Струхаля, где вместо масштаба времени /0 стоит величина L/v0, имеющая размер­ ность /. Однако в случае периодического процесса характерным значением /0 может служить период, и в этом случае он имеет вид

Кроме критериев подобия в задаче могут появиться критерии другого типа, которые мы будем называть параметрическими. Они возникают, если для какой-либо величины может быть задано два пли более характерных значения, и представляют собой отноше­ ние таких одноименных характеристик.

Например, если по условию имеем дело с двумя жидкостями, обладающими вязкостями у, и у2, то появится безразмерная вели­ чина Уо/'У].

Заметим, что равенство критериев подобия и параметрических критериев обеспечивает подобие двух систем, ибо в них находят отражение все внешние параметры задачи. Подобие самих явле­ ний обуславливается еще равенством безразмерных переменных.