книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

оси .г, так что

имеем щ — const, //2 = const. (Здесь обозначено

к при / — 1).

Поместим начало координат на границе раздела

нижней

твердо!! границы будет г — —/;2. а верхней, имеющей сво­

бодную

поверхность, z = h\

п

ho — толщины

обоих потоков).

Если ввести еще обозначение

=

w, то, согласно

(16.26) —(16.28),

du[

,

-

du\

1

dpi

’

(16.29)

dt

1

1

dx

Pi

dx

dw1

,

-

dw i

1

dpi

(16.30)

~~оГ +

">

Av

=

?!

dz

’

du\

dz

(16.31)

dx

duo

du2

1

dp',

(16.29')

dt

2

dx

On

~ d T '

dw'o

-

dzci2

1

dp'o

(16.30')

dt

dx

1°

dz

’

da2 .

dw* -

n

(16.31 ’)

dx

r

dz

° -

•сС'[

г о —:

dz'

d"J

«1

(16.32)

dt

dt

дЦ

+ U2

dl'

(16.33)

■W2\:_q= - —

W ' . | 2-, - — 0 .

( 1 6 .3 4 )

Н а с в о б о д н о й п о в е р х н о с т и *

«'1 г- Л, —

г?:;

«I

сК{

(16.35)

т

с)х

I/)|

(A',

/) + /V (Л-, 2,

t) —р 2 (a, Z, 1) + Р2 (-С 2,

()

| г -

•

Разлагая это равенство в

ряд п пользуясь малостью t',

получим

| р\ (х, о,

/) +/>/

(х, о, I) -|----

бр[

elz

др'г

= Ро(х, п, I) +ро'

(X, О, I) +

г-0 V 4- H z'

г~0

г —О

Поскольку для невозмущенного движения выполняется равен­

ство р| (а,

о, t ) — pо (а, о, /)

и, кроме того, справедливы уравнения

гидрос.татгI к1[

др,

=

—gpj, др.г

— —g р2, то, опуская

еще

члены

OZ

малости,

OZ

можем

искомое

условие

записать

второго порядка

мы

в виде

\ Р \ —р': —§4( pl—

116.36)

Для свободной поверхности легко получить аналогичное соот­

ношение

(16.37)

1р/ =

—ёрш/ 1г

hi ■

Решая

системы

(16.29) — (16.31),

искомые

функции

будем

искать в виде

exp [i(kx-~°t) ] -

(16.38)

\'=\{z)

а уравнение поверхностей запишем:

£ =

а exp [i(kx—at) ] ,

Ci = oti exp [i(kx—o/)],

(16.39)

где а и й|

— амплитуды.

Существенно отметить, что в данном случае периодического

решения по г уже не может

быть,

ибо по этой

осп

имеются

р, (з -

kn,) и, --

kpj ;

(16.40)

р,.(з-

dp,

;

(16.41)

kiij)w,= i dz

ik

и.

dW:

(16.42)

; —-z— — 0;

'

dz

( 7 =

1,2)

сер (0) =

—ia (a—kii\);

(16.43)

(0) =

—ia(a—ku2) ;

(16.44)

w2(—h2) = 0 ;

(16.45)

bi'i (//|) =

—ia(a - kui) ;

(16.46)

/М0)—p2(0) =

(p, —p2);

(16.47)

P {hi) —

' g<h Pi •

(16.48)

Систему (16.40) —(16.42) легко свести к одному уравнению. Для

этого умножим

(16.40)

на Иг и, продифференцировав

(16.41) no z

сложим результаты.

Тогда,

с учетом (16.42),

получим

d- p

(16.49)

dz--

- * ' / ’/

="•

Общее решение уравнения

(16.49)

имеет

вид

р . =

0} ] е

.

(16.50)

) 1з (16.40) п

(16.41)

получаем

и

-

к

. -

(Си ек г +

С ^ е кг

(16.51)

о ( = - Ч )

w ,=

>k .

(C(n е кг

е~кг).

(16.52)

р,- (о —/ги/i

>

1

Условия (16.43) — (16.46) дают

возможность

найти всепостояп-

ные из (16.52), которые соответственно равны:

(а~ ku-i)~ 1 «I exp klh—а,

л )

1

/г

\

2 sh kh |

а ) '

(16.53)

^,(2)

pi (о—ku|)2

«1 ехр /е/г|—а,

C">=~

а р, (о—ки2)2exp kh2

2 к sh kh2

’

(1б.г>:Г)

Г(2) — -

а, р2(о—1ш2)2exp (—kli2)

2

к sh kh2

Условия (16.47)

п

(16.48)

позволяют

связать величины а,

иь о, к.

Таким образом,

искомые величины имеют вид:

где pj, iij, Wj выражаются через

посредство соотношений

(16.50) —(16.53). Воспользовавшись

формулой Эйлера, выделим

вещественную часть. Тогда окончательно получим:

p'j =

Pj

cos (kx—at),

j

//< =

//. cos (kx—at),

I

•Wj—

-

- .

,

(16.54)

Wj sin (kx—at).

1в (/!,)= 0.

(16.46')

В этом

случае общий

вид

решения

не изменится

и лишь

в (16.53) следует положить «| = 0.

Если длина волны значительно меньше

толщины верхнего по-

9-

тока — /V

т. с. kh\ Nl, то

можно полагать к1ц-»ос. Тогда

решение еще более упрощается. При этом условие (16.46')

вообще

отсутствует,

а из (16.53)

при а| =

0 и Шц ->оо получаем:

С,1*=

0;

С(2).

a pi (о—кп\)'-

(16.5о)

к

сс—f—с(п Л*Л-2

, I

kg (1 —a )

а к2 (и| - » 2)2dh kh2

f

г

cc+dh kh2

(ct+dliMj)2

'

^

__ A'(an.|-f/(2)

,

|

А’Я (1--а)

ak2(u\ —u2)2

------ 5+1-----

Д

~ I + Z ---------П + а С '

Случай малой

глубины А7/2<£,1

получим па (16.56),

разлагая

d h kh2 в

ряд п ограничиваясь линейным

ирнблпжеппем,

так что

clh А7г2=

1+А/ы. В

результате

приходим к зависимости

___ А’(а u{kli2+ii2)

1

£/«?2Л2(1—а)

а к3к2(щ—й2)2

,.1ГГО,

2 А7г2-{-1

~

I

а*Л2+1

(а А’/;2+ П 2

'

1

Если плотность верхней жидкости значительно меньше плот­

ности нижней, то сс~-0. Например,

для

случая

воздух

-вода

поэтому, полагая а ~ 0 , из

(16.57)

и (16.58)

получим наи­

более простые соотношения:

ГГэ =

k i l o

\

(16.59)

(7з = k U 2‘ ~ \- k y f f jlo .

(16.601

Соответствующие фазовые

скорости:

*

■

" ’ ±

1/

&

;

(16.61)

Со =

Uo~\—y^/lg.

(16.62)

- З Г = " ' ! ± - Г

«*•«>

Таким образом,

она, при отсутствии

среднего движения, со­

ставляет половину фазовой скорости одиночной волны.

Формула (16.62)

показывает, что на мелкой воде скорость дви­

(2.2), (2.3) и формулы (16.54). Мы не будем

решать конкретно

этой задачи, ибо процедура сама по себе проста,

но займет весьма

считаем несжимаемой,

т. е. f>=

р= const.

Тогда

уравнения для

волновых возмущений будут иметь вид:

ди'

-

du

1

dp’

It

(16.64)

dt

и

------ —

dx

dx

dr’

, -

dr’

1

dp'

' - In

(16.6о)

dt

1 1

dx

о

dy

du'

(16.66)

Их

( З д е с ь в в е д е н о о б о з н а ч е н и е 0 ,' = и ',

=

И Л И , П О С К О Л Ь К У С =

п

d‘lxY .

(•

/

к'1 ] Ч' =

0.

(16.68)

dv-

В качестве граничных условий по у примем, что г/

имеет максп-

Л

в нуль при у =

d

d — попереч­

мум при у — 0 и ооращается

± —, где

Из первого условия (16.69)

следует,

что С2 = 0.

Тогда

'F = C2 cos ay.

Второе условие дает

ui

О— C.cos

4

Поскольку C'i=r0 (в этом случае Чг=0),то отсюда должно слс-

ad

ad

пи

_

довать: cos —г—= 0, что может быть только при — =

Полагая

I, получим равенство

4тт-

d"

2"

из последнего соотношения легко

Или учитывая, что л = ^ - ,

получить формулу

и — С-

>■*/

(16.70)

1 +

-гг

d-

В случае

отсутствия

ограничений

по

y d - * ос, — >0 и из

(16.70) получаем формулу Россбп для

скорости

распространения

длинных волн в атмосфере

-

А2/

(16.71 )

г = и-

4~2

•

Из (16.71)

видно,

что фазовая

скорость зависит от длины вол-

~

^2/

ны. Если и>-т=, то волны движутся с запада па восток, а при

4^"

и < —,в противоположном

направлении.

При с= 0 волна

назы­

вается стационарной и ее длина

равна

-1 л

f

(16.72)

Существенно,

что величина с зависит от шпроты местности, ибо

d!

•)

d

дч>

d sin Ф

2w cos

civ

2w —р—sin

R

ch

dv

(R - —радиус Земли, dy =

Rd<\).

в виде

Тогда (16.71)

может быть записана

с= и

2ю /.‘- cos ь

116.73)

4л2

В общем случае

решение

уравнения

(16.67)

следует

искать

в виде ряда

ЧГ/=

Е Мг,„(//) exp

I'/- (k,„x

ош1)}.

m 1

Групповую скорость можно при этом получить с помощью фор­

мулы (16.71),

которая может быть представлена в виде

--hu­

/

‘

ll

Отсюда:

С,.:

da

-

)" f

(16.74)

dk

— и 4'-

4тг2

’

Сравнивая

(16.74)

с

(16.71),

мы видим,

что с , .> « > с .

ваемых турбулентных молей. Естественно, что

интенсивность

обмена, в сравнении с ламинарными

потоками, намного выше, ибо

в последнем случае этот процесс

реализуется за

счет движений

н Зак. m

209