книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов
.pdfПервый индекс каждой из компонент тензора указывает пло
щадку, к |
которой приложена |
соответствующая величина, |
а второй направление ее действия. |
Так, например, P,JZ приложена |
|
к площадке, |
перпендикулярной осп у, т. е. xOz, п действует по |
|
|
|
> |
осп г. Иначе говоря, это проекция ру на ось z. Также, естественно, интерпретируются и остальные компоненты. Подчеркнем, что ком поненты, стоящие на главной диагонали, направлены по нормали
ксоответствующим площадкам.
3.Уравнения движения в напряжениях. Из всего сказанного
выше ясно, что |
проекция |
массовой |
силы |
— ( iv |
п |
на |
осп коорди- |
|||
пат будет иметь вид: |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
—(div р - ),. — 1 |
' |
0РХХ |
ОРух |
ОРгх \ |
|
|||||
О |
|
|
дх |
ду |
|
|
dz |
)’ |
|
|
] |
|
1 |
/ |
чРху |
_ ^ |
. |
0Ргу \ |
(7.18) |
||
- (div p-r )v~ |
|
dz |
>' |
|||||||
О |
п |
0 |
\ |
d.V |
ду |
|
|
|
||
1 |
|
1 , 0РХ: |
|
|
dPzz |
\ |
|
|||
— (div/J-» 1. == |
ду |
|
|
|||||||
О |
И |
и |
\ |
дх |
|
dz |
) |
|
||
В I ензорн ых обозна чейиях |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
(<•'VPn’) i - |
1 |
OPj |
|
|
|
(7.19) |
||
|
|
0 |
д X: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, второй закон Иыотоиа о |
|
= Ф , |
где Ф сумма |
|||||||
всех сил, действующих на единицу объема, может быть представ лен в виде
з Y f =div Р + pf, (7.‘JO)
пли в проекции на осп координат:
dvx _ |
д Рлл- |
|
0Рул. |
|
дРгх |
-г |
-V |
dt |
dx |
|
dy |
1 |
dz |
||
|
|
|
|||||
d vy |
dPxy |
, |
° Р УУ |
|
dPzy |
+ |
p У |
dt |
dx |
|
dy |
|
dz |
||
|
|
|
|
||||
dvz |
dPx? |
, С)РУ: , |
dP |
|
|
||
dt |
Wl zz |
|
|
||||
dx |
1 |
dy |
1 |
dz + |
|
||
|
{f = |
[X, y , z )) |
|
|
|
||
90
В правой части (7.20) явно выделены внешние н внутренние силы. В тензорных обозначениях
|
dPji |
■ |
(7.22) |
dt |
-г |
||
dxt |
|
|
Поскольку и есть удельное, т. е. отнесенное к единице массы, количество движения, то очевидно, что три последних соотношения есть различные формы записи закона сохранения указанной суб станции.
§3. БАЛАНС МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
1.Кинетическая и потенциальная энергия. Удельная механиче ская энергия есть сумма кинетической и потенциальной энергии,
отнесенных к единице массы.
Кинетическая энергия представляет собой работу, которую
может совершить система, ооладающая скоростью и. Потенциальная энергия есть та работа, которую способна со
вершить система, находящаяся в поле консервативных сил. При этом ее отсчет ведется от некоторого условно выбранного состоя ния, при котором потенциальная энергия считается равной нулю. Таким образом, она всегда определяется с точностью до кон станты *.
Консервативными называются силы, обладающие потенциалом,
так что для |
них |
справедлива |
запись F— —grad U |
(здесь |
U — потенциал |
пли, |
иначе говоря, |
потенциальная энергия). |
Ясно, |
что работа, совершаемая ими при движении по какому-либо
замкнутому контуру (’ (Fdl) = |
f dU = 0 . Типичным примером |
) |
’< |
такой силы является сила тяжести g. Если ось г направить по ли нии ее действия п вверх, а начало координат расположить на зем ной поверхности, то потенциальная энергия единицы массы может быть записана в виде U=gz. При этом потенциальная энергия частиц на уровне земли считается равной нулю.
В отличие от приведенного примера сила Кориолиса действует всегда по нормали к вектору скорости, поэтому работы совершать не может и, следовательно, потенциальной энергией не обладает.
2. Вывод уравнения. Запишем (7.20) |
в виде |
||||
, |
dv |
— ( дРх |
■ |
дру |
дРг \ |
' |
dt |
дх |
' |
ду |
d z ) |
* Однако это не вызывает каких-либо осложнений, ибо всегда нас инте ресует лишь ее изменение.
91
и у м н о ж и м е г о е к а л я р н о н а о. |
Т о г д а п о л у ч и м |
|
|||
do |
(IPу |
у |
|
|
|
|
<)_Р |
д1± |
р (Д ■а). |
||
dt |
дх |
д\> |
|||
, dz |
|
||||
Вводя скорость под знак производных, можем получить уравне
ние оалапса уделыюп кинетической энергии |
в виде |
d |
<'(Рл ■ ') |
dt |
Ox |
I v д v | |
/ _► О v |
\ Р'"дх ) ~ l /V ~<h'
п. in
d o-
~dt — I = 11iv Чг»'-р)
>
► Оц
P: dz
0(Ру-<!)
ду
—> d t;
d r
о
OX
(/•' • r).
<ПР: ■С) dz
-I-?(F • г ) ,
() V Pv ■ <)\>
(7.23)
В (7.23) первый дивергентный член правой части дает молеку лярный приток кинетической энергии, а два последних выражают источники. При этом смысл последнего слагаемого ясен--это ра бота внешних сил, а к выяснению физического содержания вели чины
ОР |
—» |
д v |
—> дг |
Е - - Рл- ■ ох |
Ру |
Оу |
(7.24) |
мы обратимся в гл. IX.
Далее будем полагать, что внешние силы обладают потенциа
лом, так что возможна их запись через удельную потенциальную энергию:
/• = |
—grad U. |
|
Мы будем полагать, что внешние силы |
что чаще всего имеет |
|
место, не зависят от времени, |
т. е. dU = 0. |
Поэтому. |
|
dt |
|
г, dU |
(v■grad U), |
|
dt |
|
|
* Сила Кориолоиса (если система меннерциальна) в общем нестационарна, но в баланс .механической энергии, как мы уже указывали, она входить не может, ибо совершаемая ею работа равна н у л ю .
92
и л и
dU |
(v-F). |
(7.25) |
р dt. |
Складывая (7.23) и (7.25) получим уравнение баланса меха нической энергии в одной из возможных форм записи:
■' W ( " V "г г ) ',Е -
§ -I. З А К О Н С О Х Р А Н Е Н И Я Э Н Е Р Г И И . У Р А В Н Е Н И Е Б А Л А Н С А В Н У Т Р Е Н Н Е Й Э Н Е Р Г И И
Полная удельная энергия системы е слагается из удельных ки
нетической. потенциальной п |
внутренней энергии и. т. е. |
е — — |
с24 |
Внутренняя энергия по своему смыслу является кинетической и потенциальной энергией молекул.
Изменение полной энергии какой-либо системы может быть свя зано только с потоком ее через границы, ибо источники и стоки, согласно закону сохранения энергии, существовать не могут.
На этом основании |
|
|
|
tie |
-div /,., |
(7.27) |
|
dt |
|||
|
|
||
где JP - поток энергии, который с учетом (7.26) |
можно записать |
||
в виде |
|
|
|
Х =
.1 „— поток энергии, обусловленный теплопроводностью и диффу зией.
Теперь, вместо (7.27) можно записать
W (^Т + 1' + и ) =<liv(p,f^) —div •/„ • |
(7.28) |
Вычитая из (7.27) выражение (7.25), получим уравнение ба ланса внутренней энергии
0 |
^ = —div |
(7.29) |
1 |
dt |
|
Внутренняя энергия меняется за счет конвективного и молеку лярного притоков, а также в силу наличия источника. Последний, 93
как мы далее убедимся, отражает изменения энергии за счет сжа тия (расширения) объема и работы вязких сил, переходящей и тепло.
ГЛАВА VI/I
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
ВФОРМЕ НАВЬЕ — СТОКСА
§I. СВЯЗЬ /МЕЖДУ ТЕНЗОРОМ НАПРЯЖЕНИЙ И ТЕНЗОРОМ
СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИИ
1. Тензор напряжений в покоящейся жидкости. В покоящей жидкости проявление сил вязкости не может иметь места, в силу отсутствия движения. Тогда внутренние силы сведутся лишь к ги дродинамическому давлению*, которое всегда направлено по нор мали внутрь жидкости, в силу чего его следует всегда брать со
Z
Ъ
Рнс. 8.1
знаком минус (—р). В тензоре напряжений при этом должны сохраниться только члены, расположенные на главной диагонали, причем рхх— ри!1 = р.г — — р. Мы нс случайно написали равенство всех членов, ибо, как мы сейчас покажем, давление не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует. Для доказа тельства выделим в жидкости элементарный призматический объем Oa.bc (рис. 8.1).
* В дальнейшем, для краткости, будем именовать его просто давлением.
94
К. основанию призмы abc с площадью dS |
приложена сила - P%d~ |
|||
(// — орг нормали, |
//1= 1). Спроектировав се па ось |
.(', |
получи.'; |
|
/ » c o s (h , х) (IS— |
pdijdz. Аналогично, |
в проекции |
па |
ось |
pdxdz и на ось 2 : |
-pdxdy. На единичную площадь во всех слу |
|||
чаях будет действовать величина -р. Поскольку выбор |
площадки |
|||
dS произволен, то по отношению к любой из них будет правомочен сделанный выше вывод. Таким образом, величина давления не за висит от ориентации площадки, что и требовалось доказать. Также не зависит она н от выбора координатной системы, т. е. является скалярной величиной. Следовательно, тензор напряжений в не подвижной жидкости будет иметь вид
где U - единичный тензор.
2. Формулы связи. В полученных ранее уравнениях динамик в напряжениях (7.21) все компоненты тензора напряжений явля ются неизвестными величинами, и естественно попытаться выра зить пх через другие искомые величины, связь с которыми является физически достаточно очевидной, т. е. через проекции скорости. Смысл этой взаимосвязи заключается в следующем.
Прежде всего ясно, что напряженное состояние вызывает де формированное. Но, с другой стороны, мы знаем, что жидкость не оказывает сопротивления деформациям: так, камень, опущенный
вводу, может погрузиться на любую глубину. В то же время, по ложенный на гибкую, достаточно прочную, чтобы не вызывать ее разрушения, мембрану, он опустится лишь на величину ее прогиба
вместе контакта, и в дальнейшем его вес будет компенсироваться напряжениями, возникающими в материале.
Тот же камень, опускаемый с большей или меньшей скоростью, вызывает, соответственно, большие пли меньшие возмущения в жидкости. Это же испытывает на себе прыгун, неудачно входя щий в воду. Сила встречного удара зависит от предварительно набранной им скорости, т. е. от исходной высоты прыжка.
Это обстоятельство приводит нас к необходимости связать тен зор напряжений с тензором, выражающим деформированное со стояние жидкости, т .е. тензором скоростей деформации. Он, какизвестно. отражает перекос жидкого элемента п растяжение жидких линий. В последнем случае могут измениться размеры жидкой частицы, а, следовательно, и ее объем, что характеризует ся дивергенцией скорости.
В отношении характера этой связи вводится предположение, что во-первых, она носит линейный характер, и, во-вторых, соот ветствующие коэффициенты не зависят от выбора системы коорди нат, т. е. являются скалярными величинами.
Эти гипотезы вполне естественны, так как линейная зависи мость является наиболее простой п представляет собой расширен ный вариант экспериментально подтвержденной простейшей фор мулы Ньютона. (Как известно из курса физики, она устанавливает факт пропорциональности между напряжением Р:х и градиентом
д v
скорости —-р- в случае одномерного движения, направленного по
CJZ
осп .г). Второе ограничение эквивалентно условию изотропности жидкости, т. е. неизменности ее свойств по различным направле ниям, что чаще всего п имеет место*.
Общий вид линейной зависимости для тензоров имеет вид
P = a J M + a3U.
Или, если ввести обозначения «| ^2р, и а2 ^ л:
Р = 2р Г (с' +?..£/.
Раскрывая выражения для тензоров (см. формулы (7.15) и (2.20). получим
' .v.v ‘у.г 1гл |
|
|
с\ |
-у °- у |
1 |
0 |
0 |
|||
р |
р |
р |
|
|
|
|
|
|||
Pry |
Руу Ргу |
= 2р. |
Т |
|
32 |
т 6' |
0 |
1 |
0 |
|
Я, |
Ру: |
я . |
|
|
0 |
0 |
1 |
|||
|
2 - ( , |
— К |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
Равенство тензоров эквивалентно равенству элементов, находя щихся на соответствующих местах. Таким образом, имеем:
Рхх = 2ре|-)-л,
Лл/ = 2рг2+/.,
Рг2= 2ргз+/..
(8 2 )
Pxii=Ptjx = (103,
Pzx= Pxi = llQ2,
PztJ= PlJZ= р01.
Для определения л вводим еще одну гипотезу о том, что сумма напряжений, направленных перпендикулярно к соответствующим координатным плоскостям, равна утроенному гидродинамическому давлению, взятому с обратным знаком, т. е.
Рхх~рР Рzz~~ — 3 / ) .
* Разумеется, справедливость обоих положении должна оправдываться бли зостью между экспериментально определяемыми н получаемыми при решении выведенных уравнении результатами.
‘Ш
Откуда, учитывая (8.2), имеем |
|
|
|
|
|
|
2ц(е1+е2+ез)+3л = |
—3р. |
|
|
|||
|
d v r |
d v v |
|
dv, |
выра- |
|
Вводя значение г, — ——, з., = |
—т-1, г, -- |
dz |
—. последнее |
|||
1 |
дх |
ду |
|
|
' |
|
женне можно переписать в виде
2р div у+ З л= —3
Отсюда получаем
ли div V.
После подстановки полученного значения к в формулы (8.2) можно , раскрывая г,-. 0;/ , окончательно выражения для напряже
ний записать как:
/J.v.v= |
-/>+2ц |
d v x |
|
-о |
pdivt', |
||
дх |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
ри»= — Р+2 р |
дгк, |
|
|
pdivT', |
|||
------- 3- |
|||||||
/+ = |
|
dv, |
|
2 |
|
-> |
|
— ,о+2 р —-т-1------- р div v . |
|||||||
|
|
(7Z |
|
О |
|
(8 3) |
|
|
. |
д v v |
|
д v |
|
||
Рхи= Рух— ,11 ' |
дх |
' |
ду |
Г |
|||
P:x = |
P*z = Р |
д vx |
|
д v z |
|
||
дг |
1 |
дх |
Г |
||||
|
|
||||||
Pzy= Pyz = М |
dv, |
|
d v tt\ |
||||
+ |
+ |
+ |
|
)■ |
|||
Из (8.3) мы видим, что касательные напряжения вызывают пе рекос жидкого элемента, а нормальные его растяжение и связан ное с этим изменение объема, что и следовало ожидать и на что указывалось выше.
В идеальной жидкости при р = 0 все напряжения сводятся лишь к нормальному давлению и соответствующий тензор совпадает
стензором напряжений в покоящейся среде (8.1).
3.Коэффициент динамической и кинематической вязкости. Ве
личина ц называется коэффициентом динамической вязкости. Он отражает физические свойства жидкости, а именно ее вязкость, и численно равен касательному напряжению, имеющему место в случае, когда скорость на единичном расстоянии меняется также на единицу.
7 Зак. 112 |
97 |
Поскольку напряженно ость сила, приложенная к единице пло щади, то размерность компонент тензора напряжении есть ML~lT~2. Размерность составляющих тензора скоростей деформаций Т~'. Поэтому | р] —A J L _ I 7'_1. В системе СГС | р] = г ■см~' сек '. Эта единица называется пуазом.
В кинетической теории газов дается вывод закона трения, позволяющий теоретическим путем определить величину коэффи циента вязкости и ее зависимость от параметров состояния. Между слоями газа, движущимися с разными скоростями, имеет место обмен молекулами вследствие их беспорядочного теплового дви жения. Воздействие молекул «внешнего» слоя на молекулы «вну треннего» слоя сводится к тому, что при указанном обмене мо лекулы, вышедшие из первого слоя, входя в глубь «внутреннего» слоя и обладая отличной от него скоростью упорядоченного дви жения. изменяют количество движения «внутреннего» слоя. Как показывает расчет, проведенный при ряде упрощающих допуще нии, прирост количества движения «внутреннего» слоя за единице' времени, отнесенный к единице площади, определяется выраже нием
<JV
,г и rl I)п '
где и -плотность газа; г — средняя скорость движения молекул; / — средняя длина свободного пробега молекул.
То. что указанный прирост должен оыть пропорционален / ---^,
явствует из того, что последняя величина выражает собой раз ность скоростей слоя, пз которого вышла молекула, н слоя, кото рому она, пройдя расстояние /, передала свое количество движе ния. Общая масса молекул, прошедших за единице времени через единичную площадку па границе между слоями, очевидно, пропор циональна о и с п соответственно пропорционален этим величи нам прирост количества движения внутреннего слоя. Как известно
пз механики, изменение за единицу |
времени |
количества движе |
||
ния системы равно сумме действующих па |
нее |
внешних |
сил. |
|
Поэтому приведенный выше прирост |
количества |
движения |
вну |
|
треннего слоя можно рассматривать как результат действия на
этот слой со стороны внешнего |
слоя-поверхностной силы — силы |
||
вязкости. Величина этой силы, |
отнесенная |
к единице площади, |
|
т. е. касательное напряжение вязкости, как |
1 |
. dv |
|
раз равно — |
pci |
||
Отсюда следует, что
(8.4)
98
Средняя скорость с движения молекул однозначно связана с температурой газа, возрастая с увеличением Т. Средняя длина / свободного пробега молекул обратно пропорциональна числу мо лекул в единице объема и, значит, обратно пропорциональна плотности газа. Из этого следует, что при неизменной температуре коэффициент вязкости не меняется при изменении плотности и, следовательно, при изменении давления. Таким образом, коэффи циент вязкости газа зависит только от температуры, увеличиваясь при ее возрастании.
Приведем данные о величине коэффициента вязкости для су хого воздуха при различных температурах:
Г[°С] . . . —70 |
- 3 0 |
—20 |
- 1 0 |
0 |
И \г/см-сек] . . . 1,42-10-+ |
1,52-10-4 |
1,56-ЮЧ |
1,62 - !0~^ |
1,68ИГ' |
10 |
20 |
40 |
|
|
1,73- : 0~ < 1,79.10 4 1,91- 10-1
В большинстве метеорологических задач достаточно точные значения дает формула Кузнецова
!’»озя —ро+0,0057 • 10-4 Т (пуазов),
справедливая для интервала температур от —100 до 100°С. Таким образом, в этих пределах можно считать, что коэффициент вяз кости воздуха линейно зависит от температуры.
Вязкость смеси двух газов может быть вычислена по формуле
!Ах |
+ |
|
1 4- а <?•_> |
С'-?I |
где pi и р2— значения коэффициентов вязкости смешиваемых га зов; <pi и (р2 — объемное содержание каждого газа в смеси; а, Ь, с и d — константы, определяемые из опыта.
Приведенная формула может быть использована для вычисле ния точных значений коэффициента вязкости влажного воздуха. Коэффициенты вязкости капельных жидкостей с возрастанием температуры убывают. Для иллюстрации приведем значения р для воды при разных температурах:
У'Р'С]. . . |
О |
10 |
20 |
40 |
' \г'см-сек\ . . . |
179-10-4 |
130-10-4 |
ю м о л |
66-10--* |
Подобная зависимость вязкости от температуры объясняется следующим. У капельных жидкостей молекулы лишены возмож ности свободно двигаться по всем направлениям, а лишь совер шают колебания вокруг некоторого среднего положения. Силы вяз кости в этом случае в основном обусловлены силами сцепления между молекулами. При возрастании температуры усиливаются колебательные движения молекул. Силы сцепления между ними убывают и соответственно убывают силы вязкости и величина р.