книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

Найдем теперь проекции градиента на осп любым образом за­ данной прямоугольной системы координат xyz. Для этого укажем, что формула (4.1) представляет собой запись проекции градиента на любое направление /. Если, в частности, / совпадает с осью х (I hs.v), то получим х-ю проекцию градиента:

Of Of

дх дп cos п, X)

Аналогично по осям у и 2 , соответственно:

Модуль градиента:

Отметим, что градиент часто еще обозначается как grad/. Через посредство оператора Гамильтона он может быть записан в виде V/. Таким образом

52

■ Таким образом, можно констатировать, что градиент вектора

скорости grad и выражается через посредство совокупности девяти величин, т. е. является тензором второго ранга:

Отметим, что скалярное поле при переходе к градиенту поро­ ждает векторное, а векторное - тензорное с рангом два.

§2. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЛОКАЛЬНОЙ, КОНВЕКТИВНОЙ

ИИНДИВИДУАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДНЫХ

——представляет собой изменение величины / за единицу вре­

мени при фиксированных координатах, т. е. дает скорость изме­ нения свойства в неподвижной точке пространства. В силу этого она называется локальной. Знак производной характеризует собой воз-

Показания приборов на станциях гидрометсети соответствуют измерениям локальной производной. Так, например, если имеются

53

обработанные наблюдения самописцев давления или температуры

статочно взять на барограмме или термограмме приращение соот­ ветствующей величины за малый промежуток времени ЛI и разде­

В случае установившегося движения, по определению которого, характеристики жидкости в любой зафиксированной точке про­ странства не претерпевают изменения.

2 . Конвективная производная. Это наименование предопреде­ ляется физическим смыслом рассматриваемой производной. Дей-

Of

При этом ^ представляет собой приращение f на единицу длины

df

в направлении оси Ox; vx — равно приращению / на расстоянии

их в том же направлении, т. е. приращению, обусловленному сме­ щением частицы за единицу времени на расстояние vx в направле- df

обусловленное смещением частицы в направлении Оу, и аналогич- df

приращению /, обусловленному одновременным смещением в на­ правлении каждой координатной оси за единицу времени.

Легко видеть, что конвективную производную можно рассма­ тривать как скалярное произведение двух векторов:

с = 1’х i-f-vu j -j-vz k,

51

n записывать ее в виде: (и-grad/).

Нетрудно и этому выражению дать физическое нстолковайне,- ибо

df

вицу длины по линии тока. Поэтому —у представляет собой

приращение / при смещении по линии тока на отрезок | у|, т. е. приращение, обусловленное перемещением частицы по линии тока за единицу времени. Вывод тождественный предыдущему.

Конвективная производная обращается в пуль в следующих случаях:

1) когда о—О, что соответствует отсутствию перемещения ча­ стицы;

2 ) когда g r a d /= 0, что соответствует условиям, когда во всех точках, близких к данной точке, / имеет одну и ту же величину (так как производная в данной точке по любому направлению равна нулю). При этом изменение положения частицы в простран­

стве само по себе не вызывает изменения /:

- v

3) когда o_Lgracl/. Это имеет место в том случае, когда частица смещается по эквпскалярнон поверхности функции /, и в этом слу­ чае изменение положения частицы не сопровождается изменением величины / в этой частице.

* Она еще носит название субстанциональной.

оо

Ясно, что изменение свойства / в точке может вызываться, во-первых, тем, что в нее непрерывно поступает жидкость из дру­

ний фактор, как показывает (4.6), и отражает индивидуальная производная. Иначе говоря, она характеризует изменение рассма­ триваемой величины в фиксированной частице, которое происхо­ дит в процессе ес движения за единицу времени. Указанное изме­ нение оценивается по показаниям прибора, связанного с движу­ щейся массой.

имеет место равенство индивидуальной и конвективной производ­

либо в виде (4.5), либо как:

§ 3. ПРИМЕРЫ

Пр и м е р 1. Определение барометрической тенденции по дан­ ным судовых наблюдений.

Выражение для индивидуальной производной оказывается справедливым не только применительно к движущейся частице данной среды, но и в том случае, когда нужно записать изменение во времени характеристики среды в каком-либо объекте, переме­ щающемся относительно среды произвольным образом, например

в самолете, на корабле и т. п. В этом случае в формуле (4.7) v представляет собой вектор скорости движущегося объекта, а в

5(3

формуле (4,5 ) фигурируют проекции этого вектора на оси коор­ динат. Такое обобщение позволяет применить эти формулы к ре­ шению практической задачи, с которой встречаются при анализе синоптических материалов.

Барометрической тенденцией называется изменение атмосфер­ ного давления в данном пункте за 3 час, т. е. локальная производ­ ная давления, при вычислении которой за единицу времени при­ нято 3 час. Задача ставится следующим образом. Известны ско­ рость и направление движения корабля, а также распределение давления на уровне моря (карта изобар). Зная изменение давле­ ния за 3 час, показываемое барометром па корабле, определить величину барометрической тенденции в пункте, где находится ко­ рабль.

Для определения локальной производной воспользуемся равен­ ством

за единицу времени, показываемому барометром на корабле. Конвективная производная определяется следующим выраже-

н нем:

57

Таким образом,

собой параллельные линии, расположенные в широтном направле­ нии па расстоянии 1 см друг от друга; давление растет с юга на север (рис. 4.4). Корабль в точке А движется в северо-западном направлении со скоростью 30 узлов, причем барометр на нем пока­ зывает рост давления на 2 мб за 3 часа. Определим величину ба­ рометрической тенденции в точке А:

Ю__ разности 6—4 = + 2 мб за 3 час.

Различие между показаниями барометра на корабле и истин­ ной величиной барометрической

тенденции, очевидно, оказывается тем большим, чем больше скорорость корабля, чем сильнее его курс отклоняется от направле­ ния изобар, чем гуще располагаются изобары.

58

§ 4. УСКОРЕНИЕ

1. Запись ускорения в декартовых координатах и векторно форме. Если последовательно положить f ^ v x, f ' = v y, f = vz, то, согласно (4.5), получим, соответственно, производные от проекций скорости на осп координат, т. с. проекции ускорения. Они имеют вид:

конвективного ускорений. Первое может быть оценено по показа­ ниям прибора, способного непрерывно регистрировать скорость и неподвижно укрепленного в данной точке пространства. Приме­ рами таких приборов могут служить: в метеорологии — анеморумбограф, в гидрологии — гидрометрическая вертушка. Индиви­ дуальное изменение скорости, т. е. полное ускорение частицы, легко получить через посредство показаний регистратора скорости, не­ подвижно скрепленного с движущейся частицей. По разности этих величин можно определить и конвективную составляющую.

59