книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

Так как J0= v-Q -too или 0 (о — скорость, Q — секундный рас­ ход), то при Q-- 0, о ■■ . Это означает, что в случае весьма узкой щели, скорость велика, а расход мал. Истекающую струю можно'

ным. Выражение для импульса может быть получено из уравнения

■НО

Поскольку масштабы ,v(), /у(), МП не заданы, то комбинируя без­ размерные переменные и комплексы, придем к зависимости вида

v 70 х

I де

.V

•V

141

Перейдя к повой переменной, вместо (12.28) —(12.30) получим

Ых) ~ 10,91

Тогда

и

Решение можно найти и литературе (см. сноску на стр. 139J.

М 2

Р а з д е л III

ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

ГЛАВА ХШ

УРАВНЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

§ I. З А П И С Ь У Р А В Н Е Н И Й В Ф О Р М Е Э Й Л Е Р А

Выше мы определили идеальную жидкость как жидкость, ли­ шенную трения. По, во-первых, в реальных средах вязкость всегда есть, во-вторых, если для какого-либо случая нами получено реше­ ние уравнении с вязкими членами, а затем осуществлен переход v —>(), то полученный в итоге результат нс всегда эквивалентен ре­ шению уравнении, в которых члены с вязкостью опущены сразу. Поэтому более правильно говорить о модели идеальной жидкости, справедливой в тех случаях, когда вязкие эффекты малы в срав­ нении с прочими силовыми факторами.

Уравнения движения идеальной жидкости можно получить из

uL

(12.4) при R e = —— >0 0 . Это означает, что либо велики харак­

терные скорости или размеры, либо мала вязкость. Такая трактов­ ка физически более полноценна, ибо указывает пределы приме­ нимости модели идеальной среды. Так, например, в задачах газо­ вой динамики, где мы имеем дело с высокими скоростями, молено не учитывать действие сил вязкости, ибо они малы в сравнении с силами инерции. Или другой пример, за пределами погранич­ ного слоя, рассмотренного нами выше, жидкость также полагают идеальной, ибо вклад вязких сил быстро убывает с удалением от

стенки.

Итак, устремляя Re-»-'4, мы получим систему уравнений ди­ намики идеальной жидкости. Перейдя после этого к размерному виду, будем иметь:

1 4 3

ты между жидкостью и стейком, а это противоречит представлению о сплошном заполнении жидкостью пространства. Таким образом, должно иметь место ц„ = 0, т. е. скорость должна быть направлена по касательном к стенке.

Эти условия можно выразить в аналитической форме. Если )(х, у, z ) —- 0 представляет собой уравнение поверхности стенки, то

орт п нормали к поверхности имеет проекции:

Условие v„ — 0 равносильно равенству (v-n)— 0, т. е.

Если границей потока является подвижная непроницаемая стенка или свободная поверхность, то, поскольку жидкость не может протекать сквозь стенку или свободную поверхность п сплошным образом заполняет пространство, нормальная состав­ ляющая скорости v„ любой частицы жидкости, соприкасающейся со стенкой пли свободной поверхностью, и нормальная составляю­ щая скорости v„ ст соответствующей точки стенки пли поверх­ ности должны быть равны:

V,, — V ,1 ст .

В задачах па обтекание тел жидкостью одним из кинематиче­ ских граничных условий служит требование, чтобы на достаточно большом удалении от тела (там, где поток не возмущен, строго говоря, — в бесконечности) скорость жидкости становилась бы равной определенной скорости vQ (скорости невозмущенного по­ тока). Это условие обычно записывают так:

lim г (х, у, г) = v 0.

X>сс

2. Динамические граничные условия— это условия, определяю­ щие значения давления на границах потока. Исходя из закона о равенстве действия и противодействия, получаем, что давление, оказываемое на жидкость внешней средой или стенкой, и давле-

нне, испытываемое частицами жидкости, расположенными на стенке пли на свободной поверхности, должны быть равны по ве­ личине.

Отсюда следует, что на свободной поверхности давление жид­ кости равно атмосферному давлению.

§3. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ЗАПИСИ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ

I.Уравнения движения в натуральных координатах. При рас­

зуя выражения соответственно для касательной и нормальной со­ ставляющих ускорения, получаем:

Введя полученное выражение в левую часть первого из урав­ нений движения в форме Эйлера, приводим его к виду

146

Учитывая, что

[aXb] = (aubz—azby) /+ (azbx—axbz) /-f (axb,,—avhx) k.

мы можем предыдущее выражение записать как

и первое из уравнений движения в форме Эйлера приобретает вид

Аналогичные преобразования, примененные ко второму и третьему уравнениям, дают:

Эти три уравнения носят название уравнений движения в форме Громеко. Их можно представить в виде одного векторного уравне­ ния:

3. Уравнение А. А. Фридмана. Возьмем ротор от обеих частей векторного уравнения движения в форме Громеко:

Преобразуем каждый из членов этого уравнения, для чего вос­ пользуемся тождествами векторного анализа, в справедливости которых легко убедиться, представив их в координатной форме:

2) ro t g r a d | Д^— j - - 0:

3) rot (rot v'Xv | — (c1• Л) о -- (O . c-f-У • div v\

Это соотношение представляет собой одну на форм уравнений динамики, весьма удобную для изучения вихревых движений. Оно носит название уравнения Фридмана.

Уравнение (13.8) показывает, что изменение вихря в точке может происходить за счет: конвективного переноса (член

(у-\7)У), деформаций жидкого элемента ((О • V) и), изменения

его объема (Odix'c), а также ввиду действия внешних сил (если

ro lF -^О) п наличия фактора бароклпнпостп | 4 r ['grad />Xgi‘ad р] j.

rot F— —rot grad U= Q) п жидкость баротроппа, то левая часть уравнения (13.8), именуемая гсльмгольцианом, равна пулю. Эго обстоятельство обуславливает удобство исследования движений идеальной жидкости в указанной форме записи.

ГЛАВА XIV

ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

§I. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ В ОБЩЕЙ ФОРМЕ

1.Функция давления. Функцией давления называется величина

(14.1)

148

Очевидно, что она однозначно определяется в каждой точке пространства лишь в том случае, когда р зависит только от /; и не является функцией каких-либо других переменных, т. е. когда сре­ да представляет собой жидкость баротропную.

Установим физический смысл функции давления. Результиру­ ющая поверхностных сил, приложенных к единице объема, равна— —grad/?, а результирующая поверхностных сил, действующих на

°тас1 р единицу массы, равна - ------—. Работа сил градиента давления

при перемещении единицы массы на элементарный отрезок dr равна

Г/grad/;

Таким образом, функция давления представляет собой работу, которую должны совершить силы градиента давления, чтобы пе­ реместить единицу массы жидкости из данной точки в точку с ну­ левым давлением, пли, что то же самое, работу, которую нужно приложить к единице массы, чтобы, преодолевая силы градиента давления, переместить ее нз точки, где /; = 0, в данную точку.

Далее, элементарная работа сил градиента давления, прило­ женных к единице массы

i>

ciP(p),

о

равна, как мы видим, уменьшению функции давления, т. е. функ­ цию давления можно рассматривать как потенциальную энергию единицы массы жидкости в поле массовой силы градиента давле­ ния.

Наконец, последнее равенство можем представить в виде

149