книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

Определим, как дополнительный пример, для этого случая линии тока. Соответствующее уравнение:

dx dy

или

—у dy=xdx.

После интегрирования получим уравнения семейства окружпоностей:

lf+X*=C~.

Уравнения траекторий в силу стационарности процесса имеют аналогичный вид.

5. Изолированный вихрь. Под этим будем понимать такое вра­ щательное движение жидкости, при котором вблизи оси вращения

''о

Часть жидкости, вращающая­ ся как твердое тело (т. е. огра­ ниченная цилиндрической поверх­ ностью с радиусом основания г0) носит название ядра вихря. Оче­ видно, что движение, рассмо­ тренное в предыдущем примере, можно рассматривать как три­ виальный случай изолированно­ го вихря, у которого радиус ядра равен нулю.

Движение, подобное движению в изолированном вихре, имеет место в атмосфере в тайфунах, торнадо, смерчах.

§ 4. ВИХРЬ (РОТОР) СКОРОСТИ

Напомним, что в математическом анализе под ротором Q какой-

либо векторной величины а, подразумевается векторное произве­ дение

30

нин осей х, у, г).

Выражение (2.8), как и любое векторное произведение, можно

В случае плоского движения, параллельного хОу, сохраняется лишь одна вертикальная компонента ротора

31

Обратимся к физическом интерпретации ротора скорости. С этой целью рассмотрим вначале скорость вращения твердого тела вокруг каком-либо точки. Как известно, она равна

н = |соХг],

У

где /'= [ х, у, г J — радиус-вектор. В проекции на оси координат:

Найдем rot f = rol fwX'-]- В проекции на ось д- имеем

Таким образом мы убедились, что — rol.v v равна угловой ско­

рости вращения частицы жидкости как твердого тела вокруг оси х. Рассуждая совершенно аналогичным образом, легко показать, что

Следовательно, ротор скорости равен удвоенной угловом ско­ рости вращения затвердевшей (фиктивно) жидкой частицы вокруг мгновенной оси вращения проходящей через точку, принятую за центр.

>

Векторные линии ноля векторов rot о носят название вихревых

линий. Это значит, что вихревая линия представляет собой такую

—>

(рис. 2.18). Элементарные частицы жидкости, расположенные на

32

вихревой линии, вращаются вокруг этих векторов. Поэтому вихре­ вая линия является огибающей мгновенных осей вращения, т. е. играет роль криволинейной оси вращения для расположенных на этой линии частиц.

Поверхность, образуемая вихревыми линиями, проходящими через каждую точку произвольно проведенной замкнутой линии, не пересекающей саму себя и не содержащей особых точек, назы­ вается вихревой трубкой.

в общей декартовой системе, причем ось Ох отождествить с осью /, ось Оу — с осью п, ось Oz — с вертикальной осью.

В случае горизонтального движения имеем выражения проек­ ций скорости:

у/( = иж)— У, Vn( = Vy) = 0, Vz= 0.

ворот вектора скорости при смещении на единицу"длины, т. е. кри­ визна к линии тока; R - радиус кривизны; R и к будут величинами

положительными, если вектор скорости поворачивается против ча­ совой стрелки, т. е. центр кривизны располагается влево от на­ правления движения; к и R будут величинами отрицательными, если центр кривизны находится справа от направления движения. Далее

Таким образом,

Пг= kv

Ov ~5iT'

или

v dv

(2.13)

~R

Первый член правой части в обоих последних равенствах обу­ словлен кривизной линий тока, а второй — изменением модуля ско-

34 .

роста по нормали к линии тока. Он положителен, если модуль скорости убывает влево от линии тока, и отрицателен при росте модуля в этом же направлении.

§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ СКОРОСТИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ. (ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА)

Скорость v какой-либо точки твердого тела представляет собой

векторную сумму скорости о0 поступательного движения точки, выбранной за центр, и скорости вращения вокруг мгновенной осп,

проходящей через него, т. е. [шХ'']- Таким образом,

(/•= U, Л. £})■

В жидкости к обоим упомянутым скоростям добавляется еще деформационная скорость, возникающая за счет изменяемости среды. Ниже мы выведем для нее соответствующие выражения.

— V

Запишем скорость v некоторой точки, находящейся на расстоя- —>

ншг г от выбранного нами центра движения, в виде суммы скорости

поступательного движения центра и некоторого приращения би,

т. е. с'= Уо+бс'. Или в проекциях на осп координат:

Щ -— Oo.v “ Ьбо .х-,

Рассматривая весьма малую окрестность вокруг центральной

—>■

точки (малые г и, соответственно, его проекции |, г), £), мы можем, разлагая приращения в ряд по ц, £ ограничиться первыми чле­ нами, так что (2.14) запишутся в виде:

Из (2.15) следует, что приращение скорости выражается сово­ купностью девяти величин, т. е. тензором второго ранга, который мы в дальнейшем разбиваем на симметричный н антисимметрич­ ный *:

и учитывая выражения для компонент ротора скорости, можем исходный тензор переписать в виде:

Операции с тензорами и само понятие напоминаются в приложении А.

36

Подставляя полученное разложение (2.!6) в (2.15), получим:

имея в виду, что последние два слагаемых в каждом из написан­ ных выше выражений, суть компоненты векторного произведения, можно соотношения (2.17) представить в более компактном виде:

Мы видим, что в отличие от твердого тела, в разложении ско­ рости жидкости имеется в наличии еще один член, появление ко­ торого, как мы убедимся, связано с ее деформируемостью. Для этого обратимся к физическому смыслу величин, входящих в функ­ цию Ф и являющихся компонентами симметричного тензора, ко­ торый мы ниже выписываем отдельно.

37

Таким образом, ei представляет собой изменение х-ой составля­ ющей скорости на единицу расстояния параллельно оси х.

я

на х=Хг расстояние vx, за единичный отрезок времени. В итоге,

вдоль х в единицу времени. Аналогичная трактовка имеет место и

имеет место соответственно по осям у и z. Таким образом можно констатировать, что величины е.|, ег, ез отражают деформацию рас­ тяжения (сжатия *) элемента жидкости. Количественно они равны относительному удлинению, происходящему за единицу времени по осям х, у и z.

* В случае сжатия вдоль какой-либо оси соответствующая производная имеет, естественно, знак минус. Разумеется, что могут иметь место случаи одно­ временного растяжения по одной и сжатия по другой оси.

38

падает с заданной точкой А. Выделим в частице два отрезка, па­ раллельных осям Ох и Оу, имеющих малую длину Ал: и Ау и деля­ щихся точкой А пополам (рис. 2.22). За малый промежуток вре­ мени А/ отрезки, претерпев то пли иное изменение своей длины, займут новое положение, повернувшись относительно прежнего положения против часовой стрелки (если смотреть с конца оси z ) на угол Аб| и на угол Абг. Этот поворот мы можем представить себе как результат двух движений:

Рис. 2.22

а) вращения, т. е. поворота обоих отрезков против часовой стрелки (если смотреть с конца оси z) на один и тот же угол Да, причем изменения прямого угла, первоначально образованного отрезками, не происходит;

б) перекоса прямого угла в результате поворота отрезков на­ встречу друг другу на один и тот же угол Ар. Здесь имеется в виду

угол поворота частей отрезков, идущих в положительном направ­ лении осей.

39