книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

В 13Идс примера рассмотрим линии тока около обтекаемого

тела, равномерно движущегося со скоростью о0 в покоющейся жидкой среде. В неподвижной системе координат линии тока имеют вид, показанный на рис. 2.5. Частицы жидкости, находя­ щиеся вблизи передней части тела, оттесняются телом вперед и в сторону, частицы, находящиеся вблизи тыловой части тела, дви­ жутся вслед за телом, заполняя пространство, освобождающееся при его перемещении. Такова будет картина движения частиц жидкости, которую увидит неподвижный наблюдатель. Это под­ тверждается моментальным снимком (рис. 2.6), сделанным непо­ движным фотоаппаратом, причем конфигурация линий тока здесь стала заметной, благодаря мелким алюминиевым стружкам, рас­ сыпанным по поверхности жидкости.

Для того, чтобы получить поле скорости в системе координат, связанной с движущимся телом в соответствии со сказанным выше достаточно к вектору скорости в неподвижной системе координат

прибавить один и тот же вектор ( сц) (рис. 2.7). При этом части­ цы жидкости, которые находились на достаточно большом удале­ нии от тела и в неподвижной системе координат были в покое,

—V

теперь приобретают скорость (—о0) ; само же тело получает ско- —^ - >

рость Ио+(—По) — 0, т. с. представляется неподвижным, что, впро­ чем, очевидно из того, что система координат жестко связана с те­ лом. В целом получается картина движения, которая имела бы место при обтекании неподвижного тела жидкостью, движущейся со скоростью (—о’о), и эту картину движения и будет видеть наблюдатель, находящийся на движущемся теле. Фотоснимок,

произведенный аппаратом, движущимся со скоростью v0, т. е. не­ подвижным относительно тела, подтверждает сказанное (рис. 2.8).

В отличие от линии тока траектория частицы жидкости пред­ ставляет собой линию, проходимую этой частицей при ее двнже-

20

пин. Таким образом, если линия тока характеризует иаправление ^короста разных частиц в одни и тот же момент времени, то траек­ тория характеризует направление скорости одной и тон же частицы в разные моменты времени.

Рио. i

Поэтому система дифференциальных уравнений траектории имеет вид:

В этих уравнениях независи­ мым переменным является вре­ мя t, а координаты х, у, z суть неизвестные функции времени. Решение получается в виде трех равенств:

/ 1 (-П У, г, 1)= С Ь )~2 (х, у, z, /) =

— С2, /з (х, у, Z, /) = Сз.

щие собой уравнения семейства траектории. Это семейство, очевидно, зависит от трех произвольных постоянных.

21

В общем случае неустаиовпвшегося движения траектории частиц жидкости не совпадают с линиями тока, построенными для какого-либо зафиксированного момента времени. В самом деле, пусть частица жидкости в момент времени U находится в точке А

(рис. 2.9). За малый промежуток' времени t2—1\ частица пройдет

—>

малый отрезок АВ — г>л (to—/1) в направлении вектора vA , т. е.

по линии тока для момента времени t\. Если движение было бы установившимся, то в течение следующего промежутка времени

межутка времени to—1\ скорость в точке В, вообще говоря, изме­ нится по направлению. Поэтому, придя в точку В, частица в тече­ ние последующего малого промежутка времени t3—to будет пере­

Как видно из этого рассуждения в частном случае установив­ шегося движения траектории частиц совпадают с линиями тока, не меняющимися во времени.

В виде иллюстрации рассмотрим линии тока и траектории в слу­ чае неустаиовпвшегося движения, скорость которого определяется равенствами: vx= k, vu — int, vz — 0 (k и in постоянные). Очевидно, что в любой зафиксированный момент времени t\ скорость во всех

22

рость во всех точках имеет другой модуль п другое направление

-Li2= |/e 2-)-//)2^ 2; tg ct2 = — J и наклон линии тока отличен от того,

тора щ, затем в направлении вектора v2 и т. д., т. е. опишет кри­ вую, отличную от линии тока, как в момент 1\, так и в момент Д Нетрудно найти вид этой кривой. Дифференциальные уравнения

траектории имеют вид:

что дает уравнения траектории в параметрической форме:

Это значит, что траектории частиц имеют вид парабол с осью, па­ раллельной Оу, параллельно смещенных друг относительно друга.

Легко видеть, что скорость частицы в каждый момент времени направлена по касательной как к траектории частицы, так и к ли­

нию тока либо траекторию. Образовавшиеся при этом цилиндриче­ ские поверхности носят название в первом случае трубки тока, во втором — струн. Если площади сечения трубки тока или струи настолько малы, что скорость в любой их точке можно считать по­ стоянной, то, соответственно, будем иметь элементарную трубку тока или элементарную струю. В силу понятных причин сквозь эти поверхности не может быть протечения жидкости, и она движется

23

вдоль стенки. При стационарном течении обе поверхности совпа­ дают друг с другом. Тривиальным примером может служить обычная трубка, стенки которой являются непроницаемыми для

т. е. все производные по z равны нулю. Таким образом, в случае плоско-параллельного движения

Легко видеть, что если пренебречь скоростью вертикальных движений в атмосфере, значительно менее интенсивных, чем гори­ зонтальные, то движение воздуха в различных барических систе­ мах удовлетворяет первому условию. Второе же условие не выпол­ няется, так как скорость ветра с высотой меняется как по модулю, так и по направлению, а оси таких барических систем, как цикло­ ны и антициклоны, имеют значительный наклон. Таким образом, движение воздуха в атмосфере, вообще говоря, не является плоско-параллельным. Впрочем, рассматривая явления в достаточ­ но тонком слое атмосферы, в ряде случаев схематизируют движе­ ние, сводя его к плоско-параллельному.

Ясно, что уравнения линий тока и траекторий в этом' случае упрощаются н принимают соответственно вид:

21

центра источника. Чтобы определить модуль скорости на расстоя­ нии г от центра, представим себе прямой цилиндр, основание ко­ торого представляет собой круг радиуса г, лежащий в плоскости движения, а высота равна единице длины. За единицу времени через боковую поверхность этого цилиндра протекает объем жидкости, равный произведению скорости на площадь боковой по­ верхности, т. с. 2nrv. В то же время из условия несжимаемости жидкости следует, что эта величина равна интенсивности Q источ­

ника. Таким образом, 2n r v = Q и и= л ^ г , т. е. модуль скорости

в случае плоского источника меняется обратно пропорционально расстоянию от центра.

Поле скорости можно представить в векторной форме, учпты-

пая, что вектор скорости коллинеареи с радиусом-вектором г точкн. имеющей начало в центре источника. Тогда

v = J l 2 . = - 9 - 7

3. Вращение жидкости как твердого тела. Допустим, ч жидкость находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ы. Благодаря силам вязкости жидкость сама будет приведена в состояние вра­ щения и, когда процесс стационируется, она будет покоиться отно­ сительно сосуда, вращаясь вместе с ним как твердое тело. Подоб­ ное движение жидкости будет, очевидно, плоско-параллельным. Скорость частицы жидкости, находящейся па расстоянии г от осп, направлена по касательной к окружности радиуса г в ту или дру­ гую сторону в зависимости от направления вращения, а по модулю равна со/', т. е. растет пропорционально расстоянию от оси

(рис. 2.15).

Введем декартову систему координат, направив ось Oz по осп вращения. Допустим, что жидкость вращается около оси Oz про­ тив часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси. Тогда:

и* ~ z 0.

28

В векторной форме у= [ о)Х/"]- 4. Безвихревое вращение жидкости. Допустим теперь, что ч

стицы жидкости движутся по круговым траекториям, как и в пре­ дыдущем случае, но в отличие от него скорость движения частиц меняется обратно пропорционально расстоянию от оси, т. е. при

удалении от оси убывает по закону ii = - y , где С —величина, по­

стоянная для всех точек данного потока (рис. 2.16). Такой тип дви­ жения мы будем называть безвихревым вращением (смысл терми­ на «безвихревое» и причины присвоения его рассматриваемому движению будут объяснены ниже).

Движение, подобное описанному, можно осуществить, поме­ стив в жидкость весьма длинный (по сравнению с поперечными размерами) цилиндр и заставив его вращаться вокруг оси. Тогда частицы жидкости, непосредственно прилегающие к поверхности цилиндра, вследствие сцепления между ними и поверхностью ци­ линдра, будут двигаться со скоростью частиц цилиндра. По мере же удаления от осп вращения скорость будет убывать, постепенно приближаясь к нулю.

Введем систему декартовых координат, направив ось Oz по осп вращения. Тогда с помощью рассуждений, совершенно аналогич­ ных тем, которые применялись в предыдущем случае, найдем, что

29