книги из ГПНТБ / Палагин, Э. Г. Основы гидромеханики учебное пособие для метеорологов

Подводя итог, можно сказать, что в идеальной баротропной жидкости результирующая поверхностных сил, приложенных к еди­ нице массы жидкости, имеет потенциал, равный функции давления

и

2. Интегрирование уравнений движения. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости допускают интегрирова­ ние лишь при следующих упрощающих условиях:

1) массовая сила имеет потенциал, т. е.

F— —grad U\

2) жидкость баротропна, т. е.

g r a d e .

При выполнении этих условий уравнение движения в форме Громеко приобретает следующий вид:

150

имеет одно и то же значение во всех точках потока. Однако, по­ скольку производная от этой величины по времени, вообще говоря, не равна нулю, то рассматриваемая величина является функцией времени

Это соотношение называют интегралом Лагранжа или интегра­ лом Коши.

в) Установившееся безвихревое движение. При этом = 0 и

>

го1у = 0 п уравнение движения приобретает вид orad ( - £ - + г у + я ^ = о .

Очевидно, что теперь проектирование левой части на любое

направление дает нуль, т. е. производная от функции — -\-U-\-P

по любому направлению равна нулю, и, значит,

во всех точках потока.

Это соотношение называют интегралом Эйлера; мы будем на­ зывать его также уравнением Бернулли для установившегося безвихревого движения. Отличие смысла уравнения Бернулли в рассматриваемом случае от его смысла в общем случае устано­ вившегося движения заключается в том, что теперь удельная пол­

Уравнение Бернулли для установившегося безвихревого дви­ жения нетрудно получить также и из интеграла Лагранжа для безвихревого движения, если учесть, что в случае установившегося

движения —0, а величины и, U п Р не. зависят от времени,

поэтому С(t) = С.

г) Установившееся винтовое движение. Винтовым движением

называется такое, при котором частицы жидкости движутся вдоль

в каждой точке потока коллииеарны, поэтому

[rot нХ 1-'] = 2 [соХо] =0 .

15,'5

В случае установившегося винтового движения уравнение дви­ жения принимает вид

«Tad | + U-\-P J --О,

т. е.

(14 И)

во всех точках потока ( как и в случае установившегося безвихре­ вого движения).

3. Зависимость между изменением скорости и изменениям плотности и сечения трубки тока. Рассмотрим случай установив­ шегося движения идеальной жидкости, причем будем полагать, что частицы движутся только под действием разностей давления, т. е.. что слагающей массовой силы вдоль линии тока по сравнению со слагающей результирующей поверхностных сил можно пренебречь.

т. е. ( ==consl вдоль линии тока, причем это оказывается допусти­ мым в большом ряде задач гидромеханики. Таким образом, при выполнении указанного условия мы вправе пользоваться уравне­ нием Бернулли в виде

(14.7)

о

Последнее уравнение позволяет сделать ряд важных выводов об изменении характеристик потока при изменении скорости вдоль линии тока в общем случае сжимаемой жидкости.

а) Изменение плотности. Если частицы жидкости движутс только под действием разностей давления, то возрастание скорости в направлении движения возможно лишь в том случае когда дав­ ление в этом направлении убывает. Это означает, что при переме­ щении частиц они должны расширяться, т. е. возрастание скорости вдоль линии тока сопровождается уменьшением плотности жидкости. Напротив, уменьшение скорости, т. е. затормаживание частиц, должно сопровождаться их сжатием и соответственно воз­ растанием плотности жидкости.

Найдем количественные выражения этой закономерности. За­ пишем уравнение в дифференциальной форме, для чего возьмем дифференциал вдоль линии тока от обеих частей уравнения (14.7)

15-1

Из последнего равенства тотчас же следует, что относительное изменение плотности оказывается тем большим, чем больше ско­ рость движения. Это значит что данная жидкость может с изве­ стной точностью рассматриваться как несжимаемая, если движе­ ния, происходящие в ней, являются достаточно медленными, и в ней должна учитываться сжимаемость, если скорости движения велики.

Найдем приближенное выражение относительного изменения плотности, полагая, что скорость меняется от нуля до некоторого значения щ, а плотность — от р0 до pi, и считая, что скорость звука при этом остается постоянной. Для этого проинтегрируем уравне­ ние (14.8) в соответствующих пределах:

В виде примера установим диапазон скоростей,' в пределах ко­ торого относительное изменение плотности будет менее 1%- Пола­ гая в равенстве левую часть равной 0,01, находим М2 = 0,02, чему в условиях стандартной атмосферы у поверхности земли соответ­ ствует о= 49 м,!сек. В подавляющем большинстве случаев ско­ рость ветра у земли не достигает этой величины и изменения плот­ ности оказываются меньшими !%• Однако, если скорость меняется от нуля до величины порядка скорости звука, то относительное изменение плотности будет иметь порядка 10%.

Таким, образом, применяя уравнение Бернулли, в задачах ме­ теорологии, где имеют дело со сравнительно малыми скоростями движения воздуха, последний в большинстве случаев можно счи­ тать жидкостью несжимаемой. Напротив, в задачах газовой дина­ мики, рассматривающей движение газов с большими скоростями,

155

когда изменения плотности велики, сжимаемость играет существенную роль и пренебрегать ею нельзя.

Представим теперь равенство (14.8) в виде

Это равенство гласит, что изменение плотности по знаку про­

ного изменения скорости и во всех случаях сопровождается уве­ личением объема движущихся масс жидкости («разбуханием» по­

тока вдоль ее длины тесно связано с изменениями скорости движе­ ния и плотности жидкости. Эта связь определяется уравнением не­ разрывности для трубки тока

п • vS = const,

которое путем логарифмирования и последующего дифференциро­ вания мы представим в дифференциальной форме:

11

Но относительное изменение плотности — связано с относп-

связь между относительным изменением скорости п изменением се­ чения трубки тока.

т. е. относительное изменение сечения труоки тока противо­ положно по знаку относительному изменению скорости, но равно ему по абсолютной величине (рис. 14.2). Например, возрастание скорости на 50% должно сопровождаться уменьшением на 50% сечения трубки тока.

15(3

Если жидкость является сжимаемой, а скорости дозвуковыми,

ие сужением, как в предыдущих случаях, а расширением трубки

шает наружное, необходимо, чтобы выводная труба (сопло) имела форму насадка, вначале суживаю­

щегося для того, чтобы увеличить скорость от нуля внутри резер­ вуара до звуковой в наиболее узком сечении, затем расширяю­ щегося чтобы обеспечить дальнейшее нарастание скорости сверх скорости звука (рис. 14.3). Подобная форма придается выход­ ному соплу реактивного двигателя, когда необходимо полу'чить сверхзвуковую скорость истечения продуктов сгорания.

•1й7

§ 2. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

1. Различные формы уравнения. Примем следующие условия:

а) единственной массовой силой является сила тяжести; б) жидкость несжимаемая.

Эти условия можно считать выполняющимися в большом ряде технических задач. В частности, в гидравлике, где в основном рас­ сматриваются вопросы расчета различных трубопроводов, кана­ лов, насадков, по которым движется капельная жидкость, а так­ же в аэродинамике малых скоростей, где исследуется движение газа со скоростями, меньшими 100—150 м/сек, сжимаемостью жидкости или газа в большинстве случаев можно пренебречь.

Из первого условия следует и = £ г + со п .<

из второго

xS

I)

При этом уравнение Бернулли для установившегося движения приобретает следующий вид:

~ — \-gz~\— у - = const (i4.ll)

вдоль одной и той же лпнпп тока, причем каждое слагаемое здесь представляет собой определенный вид механической энергии, отне­ сенной к единице массы.

В аэродинамике уравнение Бернулли обычно используется в несколько иной форме, которая получается умножением урав­ нения (14.1 1) на р:

р — потенциальную энергию единицы объема в поле поверхностных сил, равную давлению.

Все члены уравнения имеют размерность давления. При этом

называют динамическим давлением или скоростным напором,

рgz — весовым давлением, а р — статическим давлением. Следует подчеркнуть условность этих названий. Действительным давле­ нием в физическом смысле этого слова является лишь статическое.

158

Итак, при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма динамического, весового и статического давлении имеет постоянное значение во всех точках одной и топ же линии тока; при установившемся безвихревом движении эта сумма остается постоянной во всех точках потока.

Уравнение Бернулли определяет собой связь между тремя пе­ ременными величинами: скоростью движения жидкости, высотой над некоторым уровнем, принятым за начало отсчета, и давлением. Рассмотрим вид этой связи в некоторых частных случаях дви­ жения.

представлено в виде

pgz-\-p = const,

где постоянная в правой части равна, очевидно, давлению р0 на уровне 2 = 0, т. е. на том уровне, от которого отсчитывается высота. Иначе говоря,

место, например, на свободной поверхности движущейся жидкости; во всех точках такой поверхности р можно считать одним и тем же и равным атмосферному давлению.

При /? = const уравнение принимает вид

г’: I

— + £ 2 = C0nSt.

Из этого соотношения следует, что в рассматриваемых усло­ виях скорость и высота меняются противоположным образом.

Приме р . При движении жидкости в открытом канале пере­ менной ширины скорость потока меняется, очевидно, обратно про­ порционально сечению канала. На свободной поверхности жидкости в сжатом сечении, где скорость велика, уровень жидкости оказывается меньшим, чем в других сечениях, где ско­ рость меньше.

в) Движение горизонтальное. При этом z = const и уравнение

вождается уменьшением давления, уменьшение скорости — ростом давления.

159